高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第十四章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理
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1、高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第十四章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理 一、選擇題 1.(xx?安徽高考理)在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別 為 ( ) A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2 B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2 C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R) 和ρcos θ=1 解析:選B 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線和圓的位置關(guān)系.檢查考生對公式的記憶情況.由ρ=2c
2、os θ,可得圓的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1,所以垂直于x軸的兩條切線方程分別為x=0和x=2,即所求垂直于極軸的兩條切線方程分別為θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2,故選B. 2.(xx?北京高考理)在極坐標(biāo)系中,圓ρ=-2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是 ( ) A.(1,) B.(1,-) C.(1,0) D.(1,π) 解析:選B 因為該圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=-2y,即為x2+(y+1)2=1,圓心的直角坐標(biāo)方程為(0,-1),化為極坐標(biāo)可以為(1,-),故選B. 3.(2011
3、?安徽高考理)在極坐標(biāo)系中,點(2,)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離為 ( ) A.2 B. C. D. 解析:選D 由可知,點(2,)的直角坐標(biāo)為(1,),圓ρ=2cosθ的方程為x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,則圓心到點(1,)的距離為. 二.填空題 4.(xx?陜西高考文)圓錐曲線(t為參數(shù))的焦點坐標(biāo)是________. 解析:本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化,涉及拋物線的方程和幾何性質(zhì).代入法消參,得到圓錐曲線的方程為y2=4x,則焦點坐標(biāo)為(1,0). 答案:(1,0
4、) 5.(xx?廣東高考文)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ.以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,則曲線C的參數(shù)方程為________. 解析:本題主要考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識,考查函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法,意在考查考生的運算求解能力.極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1,令即(θ為參數(shù)). 答案:(θ為參數(shù)) 6.(xx?重慶高考理)在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若極坐標(biāo)方程為ρcos θ=4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A,B兩點,則|AB|=________. 解析:本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化
5、、參數(shù)方程與普通方程的互化,意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力.ρcos θ=4化為直角坐標(biāo)方程為x=4①, 化為普通方程為y2=x3②, ①②聯(lián)立得A(4,8),B(4,-8),故|AB|=16. 答案:16 7.(xx?北京高考理)在極坐標(biāo)系中,點到直線ρsin θ=2的距離等于________. 解析:本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,考查等價轉(zhuǎn)化思想以及考生的運算求解能力.由題意知,點的直角坐標(biāo)是(,1),直線ρsin θ=2的直角坐標(biāo)方程是y=2,所以所求的點到直線的距離為1. 答案:1 8.(xx?陜西高考理)如圖,以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù),則圓x2+y2-x=0的參
6、數(shù)方程為________. 解析:本題考查圓的普通方程與參數(shù)方程的互化,涉及圓的方程和性質(zhì).由題意得圓的方程為2+y2=,圓心在x軸上,半徑為,則其圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),注意α為圓心角,θ為同弧所對的圓周角,則有α=2θ,有即(θ為參數(shù)). 答案:(θ為參數(shù)) 9.(xx?江西高考理)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為________. 解析:本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.消去曲線C中的參數(shù)t得y=x2,將x=ρcos θ,y=ρsi
7、n θ代入y=x2中,得ρ2cos2θ=ρsin θ,即ρcos2θ-sin θ=0. 答案:ρcos2θ-sinθ=0 10.(xx?廣東高考理)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),C在點(1,1)處的切線為l,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則l的極坐標(biāo)方程為________. 解析:本題考查極坐標(biāo)方程,考查考生對將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程的能力,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的理解、應(yīng)用程度及運算求解能力.曲線C的普通方程為:x2+y2= ( cos t)2+( sin t)2=(cos2t+sin2t)=2,由圓的知識可知,圓心(0,0)與切點(
8、1,1)的連線垂直于切線l,從而l的斜率為-1,由點斜式可得直線l的方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.由ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng),可得l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ-2=0. 答案:ρcos θ+ρsin θ-2=0或ρ(cos θ+sin θ)=2 11.(xx?湖北高考理)在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù),a>b>0).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsin=m(m為非零常數(shù))與ρ=b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點,且與圓 O相切,則橢圓C的離心率為
9、________. 解析:本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,參數(shù)方程與普通方程的互化以及橢圓的相關(guān)知識.由題意知,橢圓C的普通方程為+=1,直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=m,圓O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=b2,設(shè)橢圓C的半焦距為c,則根據(jù)題意可知,|m|=c,=b,所以有c=b,所以橢圓C的離心率e===. 答案: 12.(xx?天津高考理) 已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ, 圓心為C, 點P的極坐標(biāo)為,則|CP|=________. 解析:本題考查圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力.圓ρ=4cos θ的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4x,圓心C
10、(2,0).點P的直角坐標(biāo)為(2,2),所以|CP|=2. 答案:2 13.(xx?廣東高考文)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(θ為參數(shù),0≤θ≤)和(t為參數(shù)),則曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為________. 解析:因為0≤θ≤,所以曲線C1的普通方程為x2+y2=5(x≥0,y≥0),把直線的參數(shù)方程代入,得到(1-t)2+(-t)2=5,且即t2-t-4=0(t≤0),所以t=-,此時所以曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為(2,1). 答案:(2,1) 14.(xx?湖南高考文)在極坐標(biāo)系中,曲線C1:ρ(cos θ+sin θ)=1與曲線C2:ρ=a(a>0
11、)的一個交點在極軸上,則a=________. 解析:曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x+y=1,曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=a2,C1與x軸的交點坐標(biāo)為(,0),此點也在曲線C2上,代入解得a=. 答案: 15.(xx?廣東高考理)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(θ為參數(shù)),則曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為________. 解析:由得y=,又由 得x2+y2=2. 由得 即曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為(1,1). 答案:(1,1) 16.(xx?江西高考理)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極
12、坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為________. 解析:將x2+y2=ρ2,x=ρcos θ代入x2+y2-2x=0得ρ2-2ρcos θ=0,整理得ρ=2cos θ. 答案:ρ=2cos θ 17.(xx?陜西高考理)直線2ρcos θ=1與圓ρ=2cos θ相交的弦長為________. 解析:直線的方程為2x=1,圓的方程為x2+y2-2x=0,圓心為(1,0),半徑r=1,圓心到直線的距離為d==,設(shè)所求的弦長為l,則12=()2+()2,解得l=. 答案: 18.(xx?湖北高考理) 在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知射線θ=與曲
13、線(t為參數(shù))相交于A,B兩點,則線段AB的中點的直角坐標(biāo)為________. 解析:記A(x1,y1),B(x2,y2),將θ=,轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為y=x(x≥0),曲線為y=(x-2)2,聯(lián)立上述兩個方程得x2-5x+4=0,所以x1+x2=5,故線段AB的中點坐標(biāo)為(,). 答案:(,) 19.(xx?安徽高考理)在極坐標(biāo)系中,圓ρ=4sin θ的圓心到直線θ=(ρ∈R)的距離是________. 解析:將ρ=4sin θ化成直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,圓心為(0,2).將θ=(ρ∈R)化成直角坐標(biāo)方程為x-y=0,由點到直線的距離公式可知圓心到直
14、線的距離d==. 答案: 20.(2011?江西高考理)若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ+4cosθ,以極點為原點,極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,則該曲線的直角坐標(biāo)方程為____. 解析:由,ρ2=x2+y2,得,ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ?ρ2=2y+4x?x2+y2-4x-2y=0. 答案:x2+y2-4x-2y=0 21.(2011?湖南高考理)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,曲線C2的方程為ρ(cosθ-sinθ)+1=0,則C1與C2的交點個數(shù)為___
15、___. 解析:曲線C1的普通方程是x2+(y-1)2=1,曲線C2的直角坐標(biāo)方程是x-y+1=0,由于直線x-y+1=0經(jīng)過圓x2+(y-1)2=1的圓心,故兩曲線的交點個數(shù)是2. 答案:2 22.(2011?廣東高考理)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ≤π)和 (t∈R),它們的交點坐標(biāo)為______________. 解析:由(0≤θ≤π)得+y2=1(y≥0), 由(t∈R)得x=y(tǒng)2. 聯(lián)立方程可得則5y4+16y2-16=0, 解得y2=或y2=-4(舍去),則x=y(tǒng)2=1, 又y≥0,所以其交點坐標(biāo)為(1,). 答案:(1,) 23.(2011?陜西高考)直
16、角坐標(biāo)系xOy中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點A,B分別在曲線C1:(θ為參數(shù))和曲線C2:ρ=1上,則|AB|的最小值為________. 解析:消掉參數(shù)θ,得到C1的普通方程(x-3)2+(y-4)2=1,表示以(3,4)為圓心,以1為半徑的圓;C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1表示的是單位圓,|AB|的最小值為-1-1=3. 答案: 3 三.解答題 24.(xx?江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).試求直線l和曲線C的普通方程,并求出它們的公共點的坐標(biāo). 解:因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))
17、,由x=t+1,得t=x-1,代入y=2t,得到直線l的普通方程為2x-y-2=0. 同理得到曲線C的普通方程為y2=2x. 聯(lián)立方程組解得公共點的坐標(biāo)為(2,2),. 25.(xx?新課標(biāo)Ⅱ全國高考文)已知動點P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點. (1)求M的軌跡的參數(shù)方程; (2)將M到坐標(biāo)原點的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點. 解:本題主要考查參數(shù)方程及參數(shù)的意義、兩點間的距離公式及三角等變換,意在考查考生綜合運用知識和運算求解的能力. (1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2c
18、os 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). 故M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù),0<α<2π). (2)M點到坐標(biāo)原點的距離d==(0<α<2π). 當(dāng)α=π時,d=0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點. 26.(xx?新課標(biāo)Ⅰ全國高考文)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程; (2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π). 解:本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化. (1)將消去參數(shù)t,化為
19、普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 將代入x2+y2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C1的極坐標(biāo)方程為 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2的普通方程為x2+y2-2y=0. 由解得或 所以C1與C2交點的極坐標(biāo)分別為,. 27.(xx?遼寧高考文) 在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C1,直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sin θ,ρcos=2. (1)求C1與C2交點的極坐標(biāo); (2)設(shè)P為C1的圓心,Q為C
20、1與C2交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù)).求a,b的值. 解:本題主要考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程知識,意在綜合考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化. (1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4, 直線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0. 解得 所以C1與C2交點的極坐標(biāo)為,. 注:極坐標(biāo)系下點的表示不唯一. (2)由(1)可得,P點與Q點的直角坐標(biāo)分別為(0,2),(1,3). 故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0. 由參數(shù)方程可得y=x-+1, 所以解得a=-1,b=2. 28.(xx?福建高考理)
21、在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點A的極坐標(biāo)為,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos=a,且點A在直線l上. ①求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程; ②圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系. 解:①由點A在直線ρcos=a上, 可得a=. 所以直線l的方程可化為ρcos θ+ρsin θ=2, 從而直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0. ②由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1, 所以圓C的圓心為(1,0),半徑r=1, 因為圓心C到直線l的距離d==<1, 所以直線l與圓C相交. 29.(xx?遼寧高考理
22、)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓C1,直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sin θ,ρcos=2. (1)求C1與C2交點的極坐標(biāo); (2)設(shè)P為C1的圓心,Q為C1與C2交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù)),求a,b的值. 解:本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及普通方程與參數(shù)方程的互化,試題側(cè)重對基本知識和基本能力的考查,難度不大. (1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4, 直線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0. 解得 所以C1與C2交點的極坐標(biāo)為,. 注:極坐標(biāo)系下點的表示不唯一. (2)由(1)
23、可得,P點與Q點的直角坐標(biāo)分別為(0,2),(1,3). 故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0, 由參數(shù)方程可得y=x-+1. 所以解得a=-1,b=2. 30.(xx?新課標(biāo)Ⅰ全國高考理) 已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ . (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程; (2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π). 解:本題主要考查圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓與圓的位置關(guān)系,意在考查考生通過消參把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,利用公式轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程的能力. (
24、1)將消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 將代入x2+y2-8x-10y+16=0, 得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C1的極坐標(biāo)方程為 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2的普通方程為x2+y2-2y=0. 由解得或 所以C1與C2交點的極坐標(biāo)分別為,. 31.(xx?新課標(biāo)Ⅱ全國高考理) 已知動點P,Q在曲線C:(t為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α為(0<α<2π),M為PQ的中點. (1)求M的軌跡的參數(shù)方程; (2)將M到坐標(biāo)原點的距離
25、d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點. 解:本題主要考查參數(shù)方程的相關(guān)知識,運用中點坐標(biāo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等是求解本題的關(guān)鍵. (1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù),0<α<2π). (2)M點到坐標(biāo)原點的距離 d==(0<α<2π). 當(dāng)α=π時,d=0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點. 32.(xx?遼寧高考文) 在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以O(shè)為極點,x
26、軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別寫出圓C1,C2的極坐標(biāo)方程,并求出圓C1,C2的交點坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示); (2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程. 解:(1)圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2, 圓C2的極坐標(biāo)方程ρ=4cos θ. 解得ρ=2,θ=±, 故圓C1與圓C2交點的坐標(biāo)為(2,),(2,-). 注:極坐標(biāo)系下點的表示不唯一. (2)法一:由得圓C1與C2交點的直角坐標(biāo)分別為(1,),(1,-). 故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為-≤t≤. (或參數(shù)方程寫成-≤y≤) 法二:將x=1代入得ρcos θ=1,從而 ρ=. 于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為-≤θ
27、≤. 33.(xx?新課標(biāo)高考文) 已知曲線C1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=2.正方形ABCD的頂點都在C2上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標(biāo)為(2,). (1)求點A,B,C,D的直角坐標(biāo); (2)設(shè)P為C1上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍. 解:(1)由已知可得 A(2cos ,2sin ),B(2cos(+),2sin(+)), C(2cos(+π),2sin(+π)),D(2cos(+), 2sin(+)), 即A(1,),B(-,1),C(
28、-1,-),D(,-1). (2)設(shè)P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,則 S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 因為0≤sin2φ≤1,所以S的取值范圍是[32,52]. 34.(xx?遼寧高考理)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1:x2+y2=4, 圓C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別寫出圓C1,C2的極坐標(biāo)方程,并求出圓C1,C2的交點坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示); (2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程. 解:(1)圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2, 圓C2
29、的極坐標(biāo)方程ρ=4cos θ. 解得ρ=2,θ=±, 故圓C1與圓C2交點的坐標(biāo)為(2,),(2,-). 注:極坐標(biāo)系下點的表示不唯一. (2)法一:由得圓C1與C2交點的直角坐標(biāo)分別為(1,),(1,-). 故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為-≤t≤. (或參數(shù)方程寫成-≤y≤). 法二:將x=1代入得ρcos θ=1, 從而ρ= . 于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為 -≤θ≤. 35.(xx?江蘇高考)在極坐標(biāo)系中,已知圓C經(jīng)過點P(,),圓心為直線ρsin(θ-)=-與極軸的交點,求圓C的極坐標(biāo)方程. 解:在ρsin(θ-)=-中令θ=0,得ρ=1,
30、所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0). 因為圓C經(jīng)過點P(,), 所以圓C的半徑PC= =1,于是圓C過極點,所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ. 36.(xx?福建高考理)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l上兩點M,N的極坐標(biāo)分別為(2,0),(,),圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)設(shè)P為線段MN的中點,求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程; (2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系. 解:(1)由題意知,M,N的平面直角坐標(biāo)分別為(2,0),(0,), 又P為線段MN的中點,從而點P的平面直角坐標(biāo)為(1,), 故直線OP的平面直角坐標(biāo)方程
31、為y=x.
(2)因為直線l上兩點M,N的平面直角坐標(biāo)分別為(2,0),(0,),
所以直線l的平面直角坐標(biāo)方程為x+3y-2=0.
又圓C的圓心坐標(biāo)為(2,-),半徑r=2,
圓心到直線l的距離d== 32、值范圍.
解:(1)由已知可得
A(2cos,2sin),B(2cos(+),2sin(+)),
C(2cos(+π),2sin(+π)),
D(2cos(+),2sin(+)),
即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).
(2)設(shè)P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,則
S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因為0≤sin2φ≤1,所以S的取值范圍是[32,52].
38.(xx?新課標(biāo)高考)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),M是C1上的動點,P點滿足OP― 33、→=2OM―→,P點的軌跡為曲線C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線θ=與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求|AB|.
解:(1)設(shè)P(x,y),則由條件知M(,).由于M點在C1上,所以
即
從而C2的參數(shù)方程為
(α為參數(shù))
(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ1=8sinθ.
射線θ=與C1的交點A的極徑為ρ1=4sin,
射線θ=與C2的交點B的極徑為ρ2=8sin.
所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
39.(2011?福建高考理)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l 34、的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).
(Ⅰ)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,點P的極坐標(biāo)為(4,),判斷點P與直線l的位置關(guān)系;
(Ⅱ)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值.
解:(Ⅰ)把極坐標(biāo)系下的點P(4,)化為直角坐標(biāo),得P(0,4).
因為點P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x-y+4=0,所以點P在直線l上.
(Ⅱ)因為點Q在曲線C上,故可設(shè)點Q的坐標(biāo)為(cosα,sinα),從而點Q到直線l的距離為
d===cos(α+)+2.
由此得,當(dāng)cos(α+)=-1時,d 35、取得最小值,且最小值為.
40.(2011?江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點,且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程.
解:由題設(shè)知,橢圓的長半軸長a=5,短半軸長b=3,從而c==4,所以右焦點為(4,0).將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程:x-2y+2=0.
故所求直線的斜率為,因此其方程為y=(x-4),即x-2y-4=0.
41.(2011?遼寧高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為(a>b>0,φ為參數(shù)).在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線l:θ=α與C1,C2各有一個交點.當(dāng)α 36、=0時,這兩個交點間的距離為2,當(dāng)α=時,這兩個交點重合.
(1)分別說明C1,C2是什么曲線,并求出a與b的值;
(2)設(shè)當(dāng)α=時,l與C1,C2的交點分別為A1,B1,當(dāng)α=-時,l與C1,C2的交點分別為A2,B2,求四邊形A1A2B2B1的面積.
解:(1)C1是圓,C2是橢圓.
當(dāng)α=0時,射線l與C1,C2交點的直角坐標(biāo)分別為(1,0),(a,0),因為這兩點間的距離為2,所以a=3.
當(dāng)α=時,射線l與C1,C2交點的直角坐標(biāo)分別為(0,1),(0,b),因為這兩點重合,所以b=1.(5分)
(2)C1,C2的普通方程分別為x2+y2=1和+y2=1.
當(dāng)α=時,射線l與C1交點A1的橫坐標(biāo)為x=,與C2交點B1的橫坐標(biāo)為x′=.(7分)
當(dāng)α=-時,射線l與C1,C2的兩個交點A2,B2分別與A1,B1關(guān)于x軸對稱,因此四邊形A1A2B2B1為梯形,故四邊形A1A2B2B1的面積為=.(10分)
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