《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項和學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項和學(xué)案（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第3講　等比數(shù)列及其前n項和 板塊一　知識梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識] 考點1　等比數(shù)列的有關(guān)概念 1．定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為＝q. 2．等比中項 如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab(ab≠0)． 考點2　等比數(shù)列的有關(guān)公式 1．通項公式：an＝a1qn－1. 2．前n項和公式：Sn＝ [必會結(jié)論] 等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：a

2、n＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝a. (3)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列． (4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk. (5)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn. (6)等比數(shù)列{an}滿足或時，{an}是遞增數(shù)列；滿足或時，{an}是遞減數(shù)列．

3、[考點自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的比都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等比數(shù)列．(　　) (2)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　　) (3)G為a，b的等比中項?G2＝ab.(　　) (4)如果{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　　) (5)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．[2018·河南名校聯(lián)考]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an

4、}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，則公比q的值為(　　) A. B. C．2 D．3 答案　D 解析　由a9＝a2a3a4得a1q8＝aq6，所以q2＝a，因為等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，所以q＝a1＝3.故選D. 3．[課本改編]等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　由已知條件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝9. 所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝.故選C. 4．[2018·黃岡調(diào)研]設(shè)等比數(shù)列{an}中，公比

5、q＝2，前n項和為Sn，則的值(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根據(jù)等比數(shù)列的公式，得＝＝＝＝. 5．[2015·全國卷Ⅰ]在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________. 答案　6 解析　∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6. 6．[2018·衡中檢測]在等比數(shù)列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，則a3＝________. 答案　4或－4 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，則

6、兩式相除，得＝，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝. 所以或故a3＝4或a3＝－4. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　等比數(shù)列的基本運算 例　1　(1)[2017·全國卷Ⅱ]我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 答案　B 解析　設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.

7、故選B. (2)[2017·江蘇高考]等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________. 答案　32 解析　設(shè){an}的首項為a1，公比為q， 則 兩式相除得＝＝， 解得所以a8＝×27＝25＝32. 觸類旁通 等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)所求問題可迎刃而解．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運用，在運算過程中，還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算的過程． 【變式訓(xùn)練1】　(1)[2018·東北師大附中月考

8、]已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，則＝(　　) A．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1 答案　D 解析　設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意， 得解得 則an＝a1·n－1＝，Sn＝＝，所以＝2n－1.故選D. (2)[2018·安徽皖江名校聯(lián)考]已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和，若a2·a4＝16，S3＝7，則a8＝________. 答案　128 解析　∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(負值舍去)， ∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝＝＝3， ∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，

9、∵an>0，∴q＝－舍去，∴q＝2，∴a1＝1，∴a8＝27＝128. 考向　等比數(shù)列的性質(zhì) 命題角度1　等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例　2　(1)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．4 答案　A 解析　(a1a2a3)×(a7a8a9)＝a＝50，a4a5a6＝a＝5.選A. (2)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則S5＝________. 答案　31 解析　a3a5＝a2a6＝64，因為a3＋a5＝20，所以a3和a5為方

10、程x2－20x＋64＝0的兩根，因為an>0，q>1，所以a3

11、，則S4n等于(　　) A．80 B．30 C．26 D．16 答案　B 解析　由題意知公比大于0，由等比數(shù)列性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列． 設(shè)S2n＝x，則2，x－2,14－x成等比數(shù)列． 由(x－2)2＝2×(14－x)， 解得x＝6或x＝－4(舍去)． ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故選B. 觸類旁通 等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用問題 (1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項

12、和公式的變形．根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． (2)巧用性質(zhì)，減少運算量，在解題中非常重要． 考向　等比數(shù)列的判定與證明 例　4　[2018·蘭州模擬]已知數(shù)列{an}滿足對任意的正整數(shù)n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8. (1)證明：數(shù)列{an－3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解　(1)因為an＋1＝5an－2·3n， 所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)， 又a1＝8，所以a1－3＝5≠0， 所以數(shù)列{an－3n}是首項為5

13、、公比為5的等比數(shù)列． 所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n. (2)由(1)知，bn＝＝＝1＋n， 則數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝1＋1＋1＋2＋…＋1＋n＝n＋＝＋n－. 觸類旁通 等比數(shù)列的判定方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (2)等比中項公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (4)前n項和公式法：若數(shù)列{

14、an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列． 提醒　前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中． 【變式訓(xùn)練2】　已知數(shù)列{an}滿足2a1＋4a2＋…＋2nan＝. (1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的前n項和Tn. 解　(1)證明：當(dāng)n＝1時，由2a1＝1，得a1＝， 當(dāng)n≥2時，由2a1＋4a2＋…＋2nan＝，得 2a1＋4a2＋…＋2n－1an－1＝， 于是2nan＝－＝n， 整理得＝n，又a1＝符合上式， 所以數(shù)列是等比數(shù)列． (2)由(1)得，an＝n·n，Tn＝1×1＋2

15、×2＋3×3＋…＋n×n，① Tn＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×n＋1，② 由①－②得Tn＝1＋2＋3＋4＋…＋n－n×n＋1， 即Tn＝1＋1＋2＋3＋…＋n－1－n×n＝－n×n＝2－2×n－n×n＝2－. 核心規(guī)律 1.已知a1、q、n、an、Sn中的任意三個，即可求得其余兩個，這體現(xiàn)了方程思想． 2.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法或等比中項法，其他方法用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可． 滿分策略 1.求解等比數(shù)列的問題，要注意等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用以減少運算量，而提高解題速度． 2.在運用等比數(shù)列的前

16、n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯警示系列7——數(shù)列中的思維定式致誤 [2018·武漢檢測]已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項的和S3的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪[1，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 錯因分析　本題易錯的原因是受q>0的思維定式的影響，遺漏當(dāng)q<0時的情況，認為S3＝＋1＋q≥3. 解析　因為等比數(shù)列{an}中a2＝1，設(shè)其公比為q，所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋. 當(dāng)公比q>0時

17、，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)q＝1時，等號成立； 當(dāng)公比q<0時，S3＝1－≤1－2＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)q＝－1時，等號成立． 所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案　D 答題啟示　等比數(shù)列的公比q<0時，相鄰兩項一定異號，相隔一項的兩項符號一定相同；等比數(shù)列的公比q>0時，數(shù)列中的各項符號相同；用等比數(shù)列前n項和公式時，如果其公比q不確定，要分q＝1和q≠1兩種情況進行討論. 跟蹤訓(xùn)練 已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 答案　D 解析　由已知得 解得或 當(dāng)

18、a4＝4，a7＝－2時，易得a1＝－8，a10＝1， 從而a1＋a10＝－7； 當(dāng)a4＝－2，a7＝4時，易得a10＝－8，a1＝1， 從而a1＋a10＝－7. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達標(biāo)] 1．在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q等于(　　) A．3 B．－3 C．－1 D．1 答案　A 解析　兩等式相減得a4－a3＝2a3，從而求得＝3＝q.故選A. 2．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　C 解析　設(shè)等比數(shù)列{

19、an}的公比為q，a1＝，a3a5＝4(a4－1)，由題可知q≠1，則a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，∴×q6＝4，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝.故選C. 3．[2018·江西九江一模]已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(　　) A．2n－2－ B．2n－1－ C．2n－1 D．2n＋1－2 答案　B 解析　因為a2·a6＝16，所以a3·a5＝16，又a3＋a5＝10，等比數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以a3＝2，a5＝8，所以公比q＝2，a1＝，所以Sn

20、＝＝2n－1－.故選B. 4．[2018·延慶模擬]等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn＝(　　) A．n(n＋1) B．n(n－1) C. D. 答案　A 解析　∵a2，a4，a8成等比數(shù)列， ∴a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)， 將d＝2代入上式，解得a1＝2， ∴Sn＝2n＋＝n(n＋1)．故選A. 5．[2015·全國卷Ⅱ]已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 答案　B 解析　設(shè)等比數(shù)

21、列{an}的公比為q，則a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故選B. 6．已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和．若a3a5＝a1，且a4與a7的等差中項為，則S5等于(　　) A．35 B．33 C．31 D．29 答案　C 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，所以a3a5＝aq6＝a1，得a1q6＝，即a7＝.又a4＋a7＝2×，解得a4＝2，所以q3＝＝，所以q＝，a1＝16，故S5＝＝＝31.故選C. 7．[2018·昆明模擬]設(shè)Sn是等比

22、數(shù)列{an}的前n項和，若＝3，則＝(　　) A．2 B. C. D．1或2 答案　B 解析　設(shè)S2＝k，S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k， ∴S6＝7k，S4＝3k，∴＝＝.故選B. 8．已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則的值為________． 答案　 解析　因為1，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以b＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3，所以＝. 9．商家通常依

23、據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b(b>a)以及實數(shù)x(0a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－

24、1＝0，解得x＝或x＝(舍去)． 10．等比數(shù)列{an}滿足：對任意n∈N*,2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1>an，則公比q＝________. 答案　2 解析　由題知2(anq2－an)＝3anq，即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－，又an＋1>an，故q＝2. [B級　知能提升] 1．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝x·3n－1－，則x的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　解法一：∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－， 由上述結(jié)論，得＝，∴x＝. 解法二：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝x－； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1

25、＝2x·3n－2. ∵{an}是等比數(shù)列，∴n＝1時也應(yīng)適合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－，解得x＝.故選C. 2．記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m的值為(　　) A．4 B．7 C．10 D．12 答案　A 解析　因為{an}是等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝a.又am－1am＋1－2am＝0，則a－2am＝0.所以am＝2. 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前2m－1項積T2m－1＝a，即22m－1＝128，故m＝4.選A. 3．[2016·全國卷Ⅰ]設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2

26、＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________． 答案　64 解析　設(shè){an}的公比為q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，所以an＝n－4(n∈N*)，即數(shù)列為遞減數(shù)列．當(dāng)n≤4時，an≥1；當(dāng)n≥5時，0

27、n}的公差為d. 因為a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10， 解得d＝2，所以an＝2n－1. (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q， 因為b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3， 所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1. 從而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝. 5．已知在數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝4，且an＋1＝3an－2an－1(n≥2)． (1)證明：數(shù)列{an＋1－an}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解　(1)由an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，得an＋1－an＝2(an－an－1)， 因此數(shù)列{an＋1－an}是公比為2，首項為a2－a1＝2的等比數(shù)列． 所以當(dāng)n≥2時，an－an－1＝2×2n－2＝2n－1， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1＋2n－2＋…＋2)＋2＝2n， 當(dāng)n＝1時，也符合，故an＝2n. (2)由(1)知bn＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋①， Tn＝＋＋＋…＋②， ①－②，得 Tn＝＋＋＋＋…＋－ ＝＋2－ ＝＋2×－ ＝＋1－－ ＝－， 所以Tn＝3－. 13