《（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.2 導數(shù)的運算 3.2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)學案 蘇教版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.2 導數(shù)的運算 3.2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)學案 蘇教版選修1-1（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.2.2　函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù) 學習目標：1.掌握導數(shù)的和、差、積、商的四則運算法則．(重點)　2.會利用導數(shù)公式表及導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)．(難點) [自 主 預 習·探 新 知] 函數(shù)和、差、積、商的求導法則 公式 語言敘述 [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x) 兩個函數(shù)和的導數(shù)等于這兩個函數(shù)導數(shù)的和 [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x) 兩個函數(shù)差的導數(shù)等于這兩個函數(shù)導數(shù)的差 [C(f(x)]′＝Cf′(x) (C為常數(shù)) 常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)與函數(shù)的導數(shù)的積 [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f

2、(x)g′(x) 兩個函數(shù)積的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導數(shù) ′＝ (g(x)≠0) 兩個函數(shù)商的導數(shù)等于分母上的函數(shù)乘上分子的導數(shù)，減去分子乘以分母的導數(shù)所得的差除以分母的平方 [基礎自測] 1．判斷正誤： (1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，則f′(a)＝2a＋2x.(　　) (2)運用法則求導時，不用考慮f′(x)，g′(x)是否存在．(　　) (3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)．(　　) 【解析】　(1)×.∵f′(x)＝2a＋2x，∴f′(a)＝2a＋2a＝4a. (2)×.運用法則求導時，要首先保證

3、f′(x)、g′(x)存在． (3)×.[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× 2．若f(x)＝，則f′(x)＝________. 【導學號：95902205】 【解析】　f′(x)＝＝－. 【答案】　－ [合 作 探 究·攻 重 難] 導數(shù)運算法則的應用 　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x·tan x； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3); (4)y＝. [思路探究]　仔細觀察和分析各函數(shù)的結構規(guī)律，緊扣導數(shù)公式，不具備求導條件的可進行適當?shù)暮?/p>

4、等變形，再結合基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，小心計算． 【自主解答】　(1) y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5. (2) y′＝(x·tan x)′＝ ＝ ＝＝. (3)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (4)方法一：y′＝ ＝ ＝＝－. 方法二：y＝＝＝1＋ y′＝′＝＝－. [規(guī)律方法]　深刻理解和掌握導數(shù)的四則運算法則是解決求函數(shù)的和、差、積、

5、商的導數(shù)問題的前提.在具體求導時，可結合給定函數(shù)本身的特點，先分清函數(shù)結構，再將各部分的導數(shù)求出，具體的求解策略主要有以下幾種. (1)直接求導：利用導數(shù)運算法則直接求導數(shù)，此法適用于一些比較簡單的函數(shù)的求導問題. (2)先化簡后求導：在求導中，有些函數(shù)形式上很復雜，可以先進行化簡再求導，以減少運算量. (3)先分離常數(shù)后求導：對于分式形式的函數(shù)，往往可利用分離常數(shù)的方法使分式的分子不含變量，從而達到簡化求導過程的目的. 1．求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)f(x)＝x＋； (2)f(x)＝sin x－cos x； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝exsin x. 【導學號：

6、95902206】 (2)f′(x)＝(sin x－cos x)′＝(sin x)′－(cos x)′ ＝cos x＋sin x. (3)f′(x)＝＝ ＝＝－－. (4)f′(x)＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′ ＝exsin x＋excos x＝ex(sin x＋cos x). 復雜曲線的切線問題 　(1)曲線y＝x(3ln x＋1)在點(1,1)處的切線方程為________． (2)曲線y＝在點(1,1)處的切線方程為________． [思路探究]　利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標，代入直線的點斜式方程得

7、切線方程． 【自主解答】　(1)∵y′＝3ln x＋4，∴k＝3×ln 1＋4＝4，故切線方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0. (2)由y′＝＝－， 所以k＝－1，得切線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. 【答案】　(1)4x－y－3＝0　(2)x＋y－2＝0 [規(guī)律方法]　利用常見函數(shù)的導數(shù)與導數(shù)運算公式來簡化曲線切線的求法. (1)在點P(x0，y0)處的切線方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)； (2)過點P(x1，y1)的切線方程：設切點坐標為(x0，y0)，則切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，代入點P(x1，y1)求出x0，即

8、可得出切線方程(求出的x0的個數(shù)就是過這點的切線的條數(shù)). [跟蹤訓練] 2．若直線y＝kx是曲線y＝x3－x2＋x的切線，則k的值為__________． 【解析】　設切點為(x0，y0)，y′＝3x2－2x＋1，則k＝3x－2x0＋1，又k＝＝＝x－x0＋1，∴3x－2x0＋1＝x－x0＋1，解得x0＝0或x0＝，∴k＝1或k＝. 【答案】　1或 導數(shù)的綜合應用 [探究問題] 1．在曲線y＝f(x)上有一點(x0，f(x0))，那么曲線在這一點處切線的斜率是什么？ 【提示】 　 k＝f′(x0)． 2．在探究1中，若還已知切線上另外一點(x1，f(x1))，那么該切線

9、的斜率還可以如何表示？和探究1中得到的結論有什么關系？ 【提示】　k＝，f′(x0)＝. 3．若已知曲線y＝ax2在點P處的切線方程為y＝2x－1，能否求出切點P的坐標？能否求出曲線的方程？ 【提示】　設切點P的坐標為(x0，y0)，因為y′＝2ax，所以切線的斜率為2ax0＝2，又因為切點(x0，y0)在曲線y＝ax2和切線y＝2x－1上，所以有y0＝ax，且y0＝2x0－1， 即 解之得，所以切點P的坐標為(1,1)，曲線的方程為y＝x2. 4．通過以上討論，你認為如何解決有關曲線切線的問題？ 【提示】　解決曲線的切線問題應充分利用切點滿足的三個關系式：一是切線的斜率是函數(shù)在

10、此切點處的導數(shù)；二是切點的坐標滿足切線的方程；三是切點的坐標滿足切線的方程．可根據(jù)上述三個方面的條件建立相關的方程(組)求解未知數(shù)． 　設函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值. 【導學號：95902207】 [思路探究]　(1)利用已知切線的斜率、切點的坐標滿足曲線的方程和切線的方程構建方程組可求出a，b的值，可得函數(shù)f(x)的解析式； (2)根據(jù)已知條件求出曲線y＝f(x)上任一點處的切

11、線方程，得到所求面積的表達式即知其為定值． 【自主解答】　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.當x＝2時，y＝， ∴f(2)＝， ① 又∵f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝. ② 由①②得解得故f(x)＝x－. (2)證明：設P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1＋知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－， 從而得切線與直線x＝0的交點坐標為. 令y＝x

12、，得y＝x＝2x0， 從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)．所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為：|－||2x0|＝6.故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6. [規(guī)律方法]　利用導數(shù)來處理與切線斜率有關的問題是一種非常有效的方法，它適用于任何導數(shù)存在的函數(shù)，一般可以根據(jù)條件建立相關的方程(組)求解未知量. [跟蹤訓練] 3．已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax與g(x)＝bx2＋cx的圖象都過點P(2,0)，且在點P處有公共切線．求f(x)和g(x)的表達式及在點P處的公切線的方程．

13、【解】　由題意，得f′(2)＝g′(2)，f(2)＝g(2)＝0. ∵f′(x)＝6x2＋a，g′(x)＝2bx＋c， ∴ 解得 ∴f(x)＝2x3－8x，g(x)＝8x2－16x，即f′(x)＝6x2－8，∴f′(2)＝16，∴在點P處的公切線方程為y＝16(x－2)． [構建·體系] [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．函數(shù)y＝x3cos x的導數(shù)是______． 【解析】　y′＝3x2cos x＋x3(－sin x)＝3x2cos x－x3sin x. 【答案】　3x2cos x－x3sin x 2．函數(shù)y＝的導數(shù)為 ________. 【導學號：95902

14、208】 【解析】　∵y′＝＝＝＝. 【答案】　 3．函數(shù)f(x)＝，則f′(0)的值為__________． 【解析】　f′(x)＝ ＝ ＝，∴f′(0)＝＝1. 【答案】　1 4．曲線f(x)＝x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為________. 【導學號：95902209】 【解析】　f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切線的傾斜角為. 【答案】　 5．求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝； 【解】　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝＝(ln x)′＋＝－. (3)y′＝＝＝－. 7