《（浙江專用版）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用版）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修2（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §1.6　三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題.2.體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型． 知識點　利用三角函數(shù)模型解釋自然現(xiàn)象 在客觀世界中，周期現(xiàn)象廣泛存在，潮起潮落、星月運轉(zhuǎn)、晝夜更替、四季輪換，甚至連人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況都呈現(xiàn)周期性變化． 思考　現(xiàn)實世界中的周期現(xiàn)象可以用哪種數(shù)學(xué)模型描述？ 答案　三角函數(shù)模型． 梳理　(1)利用三角函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟 第一步：閱讀理解，審清題意． 讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字，理解題目所反映的實際背景，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么、求什么，從中提煉出相應(yīng)的

2、數(shù)學(xué)問題． 第二步：收集、整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型． 根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)找出變化規(guī)律，運用已掌握的三角函數(shù)知識、物理知識及相關(guān)知識建立關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，即建立三角函數(shù)模型，從而實現(xiàn)實際問題的數(shù)學(xué)化． 第三步：利用所學(xué)的三角函數(shù)知識對得到的三角函數(shù)模型予以解答． 第四步：將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案． (2)三角函數(shù)模型的建立程序 如圖所示： 類型一　三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用 例1　一根細線的一端固定，另一端懸掛一個小球，當(dāng)小球來回擺動時，離開平衡位置的位移S(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系是S＝6sin. (1)畫出它的圖象

3、； (2)回答以下問題： ①小球開始擺動(即t＝0)，離開平衡位置是多少？ ②小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少？ ③小球來回擺動一次需要多少時間？ 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 解　(1)周期T＝＝1(s)． 列表： t 0 1 2πt＋ π 2π 2π＋ 6sin 3 6 0 －6 0 3 描點畫圖： (2)①小球開始擺動(即t＝0)，離開平衡位置為3 cm. ②小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6 cm. ③小球來回擺動一次需要1 s(即周期)． 反思與感悟

4、　此類問題的解決關(guān)鍵是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言，其中，讀圖、識圖、用圖是數(shù)形結(jié)合的有效途徑． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖是一個簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是(　　) A．該質(zhì)點的振動周期為0.7 s B．該質(zhì)點的振幅為－5 cm C．該質(zhì)點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大 D．該質(zhì)點在0.3 s和0.7 s時的加速度為零 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案　D 解析　由圖象及簡諧運動的有關(guān)知識知T＝0.8 s，A＝5 cm，當(dāng)t＝0.1 s及t＝0.5 s時，v＝0，故排除選項A，B，C. 類型二　三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用 例2

5、　如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑為40米．如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請解答下列問題： (1)求出你與地面的距離y(米)與時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)你第4次距離地面60.5米時，用了多長時間？ 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 解　(1)由已知可設(shè)y＝40.5－40cos ωt，t≥0， 由周期為12分鐘可知，當(dāng)t＝6時，摩天輪第1次到達最高點，即此函數(shù)第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝， 所以y＝40.

6、5－40cos t(t≥0)． (2)設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時，第t0分鐘時距離地面60.5米． 由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－， 所以t0＝或t0＝， 解得t0＝4或t0＝8， 所以t＝8(分鐘)時，第2次距地面60.5米， 故第4次距離地面60.5米時，用了12＋8＝20(分鐘)． 反思與感悟　解決三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題必須按照一般應(yīng)用題的解題步驟執(zhí)行：(1)認真審題，理清問題中的已知條件與所求結(jié)論；(2)建立三角函數(shù)模型，將實際問題數(shù)學(xué)化；(3)利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決關(guān)于三角函數(shù)的問題，求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)根據(jù)實際問題的意義，得出實際問題的解；(

7、5)將所得結(jié)論返回、轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，一個摩天輪半徑為10 m，輪子的底部在距離地面2 m處，如果此摩天輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每300 s轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點P處(點P與摩天輪中心高度相同)時開始計時． (1)求此人相對于地面的高度關(guān)于時間的關(guān)系式； (2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，大約有多長時間此人相對于地面的高度不小于17 m. 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 解　(1)設(shè)在t s時，摩天輪上某人在高h m處．這時此人所轉(zhuǎn)過的角為 t＝ t，故在t s時，此人相對于地面的高度為h＝10sin t＋12(t≥0)． (

8、2)由10sint＋12≥17，得sint≥， 則25≤t≤125. 故此人有100 s相對于地面的高度不小于17 m. 1．彈簧振子的振幅為2 cm，在6 s內(nèi)振子通過的路程是32 cm，由此可知該振子振動的(　　) A．頻率為1.5 Hz B．周期為1.5 s C．周期為6 s D．頻率為6 Hz 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案　B 解析　振幅為2 cm，振子在一個周期內(nèi)通過的路程為8 cm，易知在6 s內(nèi)振動了4個周期，所以T＝1.5 s. 2．電流強度I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系式是I＝5sin，則當(dāng)t＝ s時

9、，電流強度I為(　　) A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案　B 解析　當(dāng)t＝時，I＝5sin ＝5sin＝5cos ＝＝2.5(A)． 3．一根長l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝3cos，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動的周期是1 s時，線長l＝________ cm. 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案　 解析　∵T＝＝1，∴ ＝2π，∴l(xiāng)＝. 4．下圖表示相

10、對于平均海平面的某海灣的水面高度h(m)在某天0～24時的變化情況，則水面高度h關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為____________________． 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 答案　h＝－6sin t，t∈[0,24] 解析　根據(jù)題圖設(shè)h＝Asin(ωt＋φ)， 則A＝6，T＝12，＝12，∴ω＝. 點(6,0)為“五點”作圖法中的第一點， ∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π， ∴h＝6sin＝－6sin t，t∈[0,24]． 5．某實驗室一天的溫度(單位：℃)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)＝10－2sin，t∈[0,2

11、4)． (1)求實驗室這一天的最大溫差； (2)若要求實驗室溫度不高于11℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？ 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 解　(1)因為f(t)＝10－2sin， 又0≤t<24， 所以≤t＋<，－1≤sin≤1. 當(dāng)t＝2時，sin＝1； 當(dāng)t＝14時，sin＝－1. 于是f(t)在[0,24)上的最大值為12，最小值為8. 故實驗室這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃. (2)依題意，當(dāng)f(t)>11時實驗室需要降溫． 由(1)得f(t)＝10－2sin， 故有10－2sin>11， 即sin<

12、－. 又0≤t<24，因此

13、 B．6 C．8 D．10 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 答案　C 解析　由題干圖易得ymin＝k－3＝2，則k＝5. ∴ymax＝k＋3＝8. 3．彈簧上掛的小球做上下振動，它在時間t(s)時離開平衡位置的位移s(cm)滿足函數(shù)關(guān)系式s＝2sin.給出下列三種說法：①小球開始時在平衡位置上方 cm處；②小球下降到最低點時在平衡位置下方2 cm處；③經(jīng)過2π s小球重復(fù)振動一次．其中正確的說法是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案　D 解析　

14、當(dāng)t＝0時，s＝2sin＝，故①正確；smin＝－2，故②正確；函數(shù)的最小正周期T＝2π，故③正確． 4．如圖所示為2018年某市某天中6 h至14 h的溫度變化曲線，其近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個周期的圖象，則該天8 h的溫度大約為(　　) A．16 ℃ B．15 ℃ C．14 ℃ D．13 ℃ 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 答案　D 解析　由題意得A＝×(30－10)＝10， b＝×(30＋10)＝20， ∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝， ∴y＝10sin＋20， 將x＝6，y＝10代入得10si

15、n＋20＝10， 即sin＝－1， 由于<φ<π，可得φ＝， ∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]． 當(dāng)x＝8時，y＝10sin＋20＝20－5≈13， 即該天8 h的溫度大約為13 ℃，故選D. 5.一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中O為輪軸的中心，距地面32 m(即OM長)，巨輪的半徑長為30 m，AM＝BP＝2 m，巨輪逆時針旋轉(zhuǎn)且每12分鐘轉(zhuǎn)動一圈．若點M為吊艙P的初始位置，經(jīng)過t分鐘，該吊艙P距離地面的高度為h(t) m，則h(t)等于(　　) A．30sin＋30 B．30sin＋30 C．30sin＋32 D．30sin 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用

16、 題點　三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 答案　B 解析　過點O作地面的平行線作為x軸，過點O作x軸的垂線作為y軸，過點B作x軸的垂線BN交x軸于N點，如圖，點A在圓O上逆時針運動的角速度是＝，所以t分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t. 設(shè)θ＝t，當(dāng)θ>時，∠BON＝θ－， h＝OA＋BN＝30＋30sin， 當(dāng)0<θ<時，上述關(guān)系式也適合． 故h＝30＋30sin＝30sin＋30. 6．如圖所示，有一廣告氣球，直徑為6 cm，放在公司大樓上空，當(dāng)行人仰望氣球中心的仰角∠BAC＝30°時，測得氣球的視角為β＝1°，當(dāng)θ很小時，可取sin θ≈θ，試估算氣球的高BC的值約為(　　) A．

17、70 m B．86 m C．102 m D．118 m 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 答案　B 解析　AC＝＝≈×180≈172(m)， 又∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝86 m. 7．(2017·襄陽高一檢測)設(shè)y＝f(t)是某港口水的深度y(m)關(guān)于時間t(h)的函數(shù)，其中0≤t≤24.下表是該港口某一天從0到24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 經(jīng)長期觀測，

18、函數(shù)y＝f(x)的圖象可以近似地看成函數(shù)y＝Asin(ωt＋φ)＋k的圖象．下面的函數(shù)中，最能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是(　　) A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24] B．y＝12＋3sin，t∈[0,24] C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24] D．y＝12＋3sin，t∈[0,24] 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 答案　A 解析　由已知數(shù)據(jù)，可得y＝f(t)的周期T＝12， 所以ω＝＝. 由已知可得振幅A＝3，k＝12. 又當(dāng)t＝0時，y＝12，所以令×0＋φ＝0得φ＝0， 故y＝12＋3sin t，t∈[

19、0,24]． 二、填空題 8．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，則此人每分鐘心跳的次數(shù)是________． 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 答案　80 解析　T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)． 9．已知某種交流電電流I(A)隨時間t(s)的變化規(guī)律可以擬合為函數(shù)I＝5sin，t∈[0，＋∞)，則這種交流電在0.5 s內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)為________． 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案　25 解析　因為f＝＝＝＝50，

20、所以0.5 s內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)為0.5×50＝25. 10．如圖所示，彈簧下掛著的小球做上下振動．開始時小球在平衡位置上方2 cm處，然后小球向上運動，小球的最高點和最低點與平衡位置的距離都是4 cm，每經(jīng)過π s小球往復(fù)振動一次，則小球離開平衡位置的位移y與振動時間x的關(guān)系式可以是________． 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案　y＝4sin 解析　不妨設(shè)y＝Asin(ωx＋φ)． 由題意知A＝4，T＝π，所以ω＝＝2. 當(dāng)x＝0時，y＝2，且小球開始向上運動， 所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝， 故所求關(guān)系式可以為y＝4

21、sin. 11.一個單擺的平面圖如圖．設(shè)小球偏離鉛錘方向的角為α(rad)，并規(guī)定當(dāng)小球在鉛錘方向右側(cè)時α為正角，左側(cè)時α為負角．α作為時間t(s)的函數(shù)，近似滿足關(guān)系式α＝Asin，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)時，α＝，且每經(jīng)過π s小球回到初始位置，那么A＝________；α關(guān)于t的函數(shù)解析式是____________________． 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案　　α＝sin，t∈[0，＋∞) 解析　∵當(dāng)t＝0時，α＝， ∴＝Asin，∴A＝. 又∵周期T＝π，∴＝π，解得ω＝2. 故所求的函數(shù)解析式是α＝s

22、in，t∈[0，＋∞)． 三、解答題 12.如圖，一個水輪的半徑為4 m，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動1圈，如果當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間． (1)將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)； (2)點P第一次到達最高點大約需要多少時間？ 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 解　(1)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)角φ是以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角． OP每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為＝， 則OP在時間t(s)內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為t. 由題意可知水輪逆時針轉(zhuǎn)動， 得z＝4sin＋2. 當(dāng)t＝0時，z＝0

23、，得sin φ＝－，即φ＝－. 故所求的函數(shù)關(guān)系式為z＝4sin＋2. (2)令z＝4sin＋2＝6， 得sin＝1， 令t－＝，得t＝20， 故點P第一次到達最高點大約需要20 s. 13．(2017·廣東汕頭金山中學(xué)高一月考)據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每月的價格滿足函數(shù)關(guān)系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x為月份．已知3月份該商品的價格首次達到最高，為9萬元，7月份該商品的價格首次達到最低，為5萬元． (1)求f(x)的解析式； (2)求此商品的價格超過8萬元的月份． 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 解　(1)由題意可知＝7－3＝4

24、，∴T＝8， ∴ω＝＝. 又∴ 即f(x)＝2sin＋7.(*) 又f(x)過點(3,9)，代入(*)式得2sin＋7＝9， ∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<，∴φ＝－， ∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)． (2)令f(x)＝2sin＋7>8， ∴sin>， ∴＋2kπ

25、n的圖象，若其在區(qū)間[0，t]上至少有2個波峰，則正整數(shù)t的最小值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用 答案　C 15．(2017·福建龍巖一中高一月考)某海濱浴場一天的海浪高度y(m)是時間t(0≤t≤24)(h)的函數(shù)，記作y＝f(t)，下表是某天各時的浪高數(shù)據(jù)： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個海濱浴場的海浪高度y(m)與時間

26、t(h)的函數(shù)關(guān)系； (2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度不少于1 m時才對沖浪愛好者開放海濱浴場，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8 h至20 h之間，有多少時間可供沖浪愛好者進行沖浪？ 考點　三角函數(shù)模型的應(yīng)用 題點　三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用 解　(1)以時間為橫坐標(biāo)，海浪高度為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點圖，如圖所示： 依據(jù)散點圖，可以選用函數(shù)y＝Asin(ωt＋φ)＋h來近似描述這個海濱浴場的海浪高度y(m)與時間t(h)的函數(shù)關(guān)系． 從表中數(shù)據(jù)和散點圖，可知A＝＝，T＝12， 所以＝12，得ω＝. 又h＝＝1，于是y＝sin＋1. 由圖，知×0＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|≤，所以φ＝， 從而y＝sin＋1， 即y＝cos t＋1(0≤t≤24)． (2)由題意，可知y≥1， 所以cos t＋1≥1，即cos t≥0， 所以2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)， 即12k－3≤t≤12k＋3(k∈Z)． 又0≤t≤24，所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24. 故一天內(nèi)的8 h至20 h之間有6個小時可供沖浪愛好者進行沖浪，即9 h至15 h． 17