《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 7 第7講 n次獨立重復(fù)試驗與二項分布教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 7 第7講 n次獨立重復(fù)試驗與二項分布教學(xué)案（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講　n次獨立重復(fù)試驗與二項分布 1．事件的相互獨立性 (1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立． (2)性質(zhì)： ①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)， P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也相互獨立． 2．獨立重復(fù)試驗與二項分布 獨立重復(fù)試驗 二項分布 定 義 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗 在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B

2、(n，p)，并稱p為成功概率 計 算 公 式 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n) [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)相互獨立事件就是互斥事件．(　　) (2)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　) (3)二項分布是一個概率分布，其公式相當于(a＋b)n二項展開式的通項公式，其中a＝p，b＝1－p.(　　) 答案：(1)×　

3、(2)×　(3)× [教材衍化] 1．(選修2-3P55練習(xí)T3改編)天氣預(yù)報，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為________． 解析：設(shè)甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為AB＋AB， 所以P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38. 答案：0.38 2．(教材習(xí)題改編)國慶期間，甲去北京旅游的概率為，乙去北京旅游的概率為，假定二人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至

4、少有1人去北京旅游的概率為________． 解析：記在國慶期間“甲去北京旅游”為事件A，“乙去北京旅游”為事件B，又P( )＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝＝，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的對立事件為甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率為1－P( )＝1－＝. 答案： [易錯糾偏] (1)相互獨立事件恰有一個發(fā)生的概率的理解有誤； (2)獨立重復(fù)試驗公式應(yīng)用錯誤． 1．計算機畢業(yè)考試分為理論與操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，只有兩部分考試都“合格”者，才給頒發(fā)計算機“合格證書”．甲、乙兩人在理論考試中“合格”的概率依次為，，在操作考試中

5、“合格”的概率依次為，，所有考試是否合格相互之間沒有影響．則甲、乙進行理論與操作兩項考試后，恰有一人獲得“合格證書”的概率為________． 解析：甲獲得“合格證書”的概率為×＝，乙獲得“合格證書”的概率是×＝，兩人中恰有一個人獲得“合格證書”的概率是×＋×＝. 答案： 2．設(shè)隨機變量X～B，則P(X＝3)＝________． 解析：因為X～B，所以P(X＝3)＝C×＝. 答案： 　　　　　　相互獨立事件的概率 (2020·麗水模擬)甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為. (1)求乙投球的命中率p； (2)求

6、甲投球2次，至少命中1次的概率． 【解】　(1)設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”為事件B. 由題意得：P()P()＝， 于是P()＝或P()＝－(舍去)． 故p＝1－P()＝. (2)法一：由題設(shè)知，P(A)＝，P()＝. 故甲投球2次，至少命中1次的概率為1－P(·)＝. 法二：由題設(shè)知，P(A)＝，P()＝.故甲投球2次，至少命中1次的概率為CP(A)P()＋P(A)P(A)＝. 利用相互獨立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路 (1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥簡單事件的和． (2)將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個已知(易求)概率的相互獨立事

7、件的積事件． (3)代入概率的積、和公式求解．　 　從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，. (1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列； (2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率． 解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3. P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. 所以，隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈

8、的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) ＝×＋×＝. 所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為. 　　　　　　獨立重復(fù)試驗與二項分布 (1)(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)箱中裝有標號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎．現(xiàn)有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是________． (2)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要

9、么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立． ①設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列． ②玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ 【解】　(1)由題意知，首先求出摸一次中獎的概率，從6個球中摸出2個，共有C＝15種結(jié)果，兩個球的號碼之積是4的倍數(shù)，共有(1，4)，(3，4)，(2，4)，(2，6)，(4，5)，(4，6)，所以摸一次中獎的概率是＝，4個人摸獎，相當于發(fā)生4次試驗，且每一次獲獎的概率是，所以有4人參與

10、摸獎，恰好有3人獲獎的概率是C××＝.故填. (2)①X可能的取值為10，20，100，－200. 根據(jù)題意，有 P(X＝10)＝C××＝， P(X＝20)＝C××＝， P(X＝100)＝C××＝， P(X＝－200)＝C××＝. 所以X的分布列為 X 10 20 100 －200 P ②設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i＝1，2，3)，則 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝. 所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為 1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是.

11、 (1)獨立重復(fù)試驗滿足的條件 獨立重復(fù)試驗是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗．在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的． (2)二項分布滿足的條件 ①每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的． ②各次試驗中的事件是相互獨立的． ③每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生． ④隨機變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)．　 1．設(shè)隨機變量X服從二項分布X～B，則函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C.因為函

12、數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點，所以Δ＝16－4X≥0，所以X≤4.因為X服從X～B，所以P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝. 2．在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場投6個球，至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎；否則不獲獎．已知教師甲每次投進的概率都是. (1)記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，求X的分布列； (2)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率． 解：(1)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6.依條件可知，X～B(6，)，P(X＝k)＝C·()k·()6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)． 所以X的分布列為 X 0 1 2 3

13、4 5 6 P (2)設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎為事件A， 則P(A)＝C·()2·()4＋C··()5＋()6＝，即教師甲在一場比賽中獲獎的概率為. [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·東北四市高考模擬)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為P，則n的最小值為(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析：選A.由題意得P＝1－≥，則≤，所以n≥4，故n的最小值為4. 2．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一個發(fā)

14、生的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C.依題意，得P(A)＝，P(B)＝，且事件A，B相互獨立，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率為1－P(·)＝1－P()·P()＝1－×＝，故選C. 3．(2020·紹興調(diào)研)設(shè)隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥2)的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.因為隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，則P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝. 4．(2020·杭州七校聯(lián)考)如果

15、X～B，則使P(X＝k)取最大值的k值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．3或4 解析：選D.觀察選項，采用特殊值法． 因為P(X＝3)＝C， P(X＝4)＝C， P(X＝5)＝C， 經(jīng)比較，P(X＝3)＝P(X＝4)＞P(X＝5)， 故使P(X＝k)取最大值時k＝3或4. 5．某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2棵．設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且每棵大樹是否成活互不影響，則移栽的4棵大樹中至少有1棵成活的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選D.設(shè)Ak表示第k棵甲種大樹成活，k＝1，2；Bl表示第l棵乙種大樹成活，l＝1，

16、2，則A1，A2，B1，B2相互獨立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝，則至少有1棵大樹成活的概率為1－P(A1·A2·B1·B2)＝1－P(A1)·P(A2)·P(B1)·P(B2)＝1－×＝. 6.如圖所示的電路有a，b，c三個開關(guān)，每個開關(guān)開和關(guān)的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為________． 解析：設(shè)“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則甲燈亮應(yīng)為事件AC，且A，，C之間彼此獨立，P(A)＝P()＝P(C)＝. 所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝. 答案： 7．某機械研究所對新研發(fā)的某批次機械元件進行壽命追蹤調(diào)

17、查，隨機抽查的200個機械元件情況如下： 使用時 間/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 個數(shù) 10 40 80 50 20 若以頻率為概率，現(xiàn)從該批次機械元件中隨機抽取3個，則至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為____________． 解析：由表可知元件使用壽命在30天以上的頻率為＝，則所求概率為C×＋＝. 答案： 8．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層停靠，若該電梯在底層有5個乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率都為，用X表示5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(X＝4)＝________

18、． 解析：考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復(fù)試驗，故X～B，即有P(X＝k)＝C×，k＝0，1，2，3，4，5. 故P(X＝4)＝C×＝. 答案： 9．小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個． (1)若小王發(fā)放5元的紅包2個，求甲恰得1個的概率； (2)若小王發(fā)放3個紅包，其中5元的2個，10元的1個．記乙所得紅包的總錢數(shù)為X，求X的分布列． 解：(1)設(shè)“甲恰得1個紅包”為事件A， 則P(A)＝C××＝. (2)X的所有可能取值為0，5，10，15，20. P(X＝0)＝＝， P(X＝5)＝C××＝， P(X

19、＝10)＝×＋×＝， P(X＝15)＝C××＝， P(X＝20)＝＝. X的分布列為 X 0 5 10 15 20 P 10.已知某種動物服用某種藥物一次后當天出現(xiàn)A癥狀的概率為.某小組為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的情況，進行了藥物試驗．試驗設(shè)計為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個用藥周期．假設(shè)每次用藥后當天是否出現(xiàn)A癥狀與上次用藥無關(guān)． (1)若出現(xiàn)A癥狀，則立即停止試驗，求試驗至多持續(xù)一個用藥周期的概率； (2)若在一個用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則在這個用藥周期結(jié)束后終止試驗．若試驗至多持續(xù)兩個周期，設(shè)藥物試驗持續(xù)的用藥周期為η，求η

20、的分布列． 解：(1)法一：記試驗持續(xù)i天為事件Ai，i＝1，2，3，4，試驗至多持續(xù)一個周期為事件B， 易知P(A1)＝，P(A2)＝×，P(A3)＝×，P(A4)＝×， 則P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝. 法二：記試驗至多持續(xù)一個周期為事件B，則為試驗持續(xù)超過一個周期， 易知P()＝＝， 所以P(B)＝1－＝. (2)隨機變量η的所有可能取值為1，2， P(η＝1)＝C·＋＝， P(η＝2)＝1－＝， 所以η的分布列為 η 1 2 P [綜合題組練] 1．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都

21、是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎． (1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率； (2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的分布列． 解：(1)記事件A1＝{從甲箱中摸出的1個球是紅球}， A2＝{從乙箱中摸出的1個球是紅球}， B1＝{顧客抽獎1次獲一等獎}，B2＝{顧客抽獎1次獲二等獎}，C＝{顧客抽獎1次能獲獎}． 由題意知A1與A2相互獨立，A1A2與A1A2互斥，B1與B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A

22、2＋A1A2，C＝B1＋B2. 因為P(A1)＝＝，P(A2)＝＝， 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝， P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A1A2) ＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2) ＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2) ＝×＋×＝. 故所求概率為P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝. (2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復(fù)試驗，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以X～B. 于是P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝C＝， P(X＝3)

23、＝C＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 2.(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)高三月考)某校課改實行選修走班制，現(xiàn)有甲，乙，丙，丁四位學(xué)生準備選修物理，化學(xué)，生物三個科目．每位學(xué)生只選修一個科目，且選修其中任何一個科目是等可能的． (1)求恰有2人選修物理的概率； (2)求學(xué)生選修科目個數(shù)ξ的分布列． 解：(1)這是等可能性事件的概率計算問題． 法一：所有可能的選修方式有34種， 恰有2人選修物理的方式C·22種， 從而恰有2人選修物理的概率為＝. 法二：設(shè)每位學(xué)生選修為一次試驗，這是4次獨立重復(fù)試驗． 記“選修物理”為事件A，則P(A)＝，從而

24、， 由獨立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人選修物理的概率為P＝C＝. (2)ξ的所有可能值為1，2，3， P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； 綜上知，ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 3.現(xiàn)有4個人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動，該活動有甲、乙兩個項目可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯(lián)歡，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲項目聯(lián)歡，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙項目聯(lián)歡． (1)求這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率； (2)求這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目

25、聯(lián)歡的人數(shù)的概率； (3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙項目聯(lián)歡的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機變量ξ的分布列． 解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲項目聯(lián)歡的概率為，去參加乙項目聯(lián)歡的概率為. 設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲項目聯(lián)歡”為事件Ai(i＝0，1，2，3，4)， 則P(Ai)＝C·. (1)這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率P(A2)＝C＝. (2)設(shè)“這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4. 故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C＋C＝. 所以，這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的

26、人數(shù)的概率為. (3)ξ的所有可能取值為0，2，4. P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 2 4 P 4.某次飛鏢比賽中，規(guī)定每人至多發(fā)射三鏢．在M處每射中一鏢得3分，在N處每射中一鏢得2分，如果前兩次得分之和超過3分即停止發(fā)射，否則發(fā)射第三鏢．某選手在M處的命中率q1＝0.25，在N處的命中率為q2.該選手選擇先在M處發(fā)射一鏢，以后都在N處發(fā)射，用X表示該選手比賽結(jié)束后所得的總分，其分布列為 X 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2

27、 P3 P4 (1)求隨機變量X的分布列； (2)試比較該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率與選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率的大小． 解：(1)設(shè)該選手在M處射中為事件A，在N處射中為事件B，則事件A，B相互獨立，且P(A)＝0.25，P()＝0.75，P(B)＝q2，P()＝1－q2. 根據(jù)分布列知：當X＝0時， P( )＝P()P()P()＝0.75(1－q2)2＝0.03， 所以1－q2＝0.2，q2＝0.8. 當X＝2時，P1＝P( B＋ B)＝P()P(B)P()＋P()P()P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝0.24， 當X＝3時，P2

28、＝P(A)＝P(A)P()P()＝0.25(1－q2)2＝0.01，當X＝4時， P3＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.75q＝0.48， 當X＝5時，P4＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P()P(B)＋P(A)P(B) ＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 (2)該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為0.48＋0.24＝0.72. 該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為 P(BB＋BB＋BB)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB) ＝2(1－q2)q＋q＝0.896. 所以該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率大． 14