《（贛豫陜）2018-2019學年高中數學 第一章 集合 1 第1課時 集合的含義學案 北師大版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（贛豫陜）2018-2019學年高中數學 第一章 集合 1 第1課時 集合的含義學案 北師大版必修1（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第1課時　集合的含義 學習目標　1.了解集合與元素的含義.2.理解集合中元素的特征，并能利用它們進行解題.3.理解集合與元素的關系.4.掌握數學中一些常見的集合及其記法． 知識點一　集合的概念 (1)集合：一般地，指定的某些對象的全體稱為集合．集合常用大寫字母A，B，C，D，…標記． (2)元素：集合中的每個對象叫作這個集合的元素．常用小寫字母a，b，c，d，…表示集合中的元素． 知識點二　元素與集合的關系 思考　1是整數嗎？是整數嗎？有沒有這樣一個數，它既是整數，又不是整數？ 答案　1是整數；不是整數；沒有． 梳理　元素與集合的關系有且只有兩種，分別為屬于、不屬于，數

2、學符號分別為∈、?. 知識點三　元素的三個特性 思考1　某班所有的“帥哥”能否構成一個集合？某班身高高于175厘米的男生能否構成一個集合？集合元素確定性的含義是什么？ 答案　某班所有的“帥哥”不能構成集合，因“帥哥”無明確的標準．高于175厘米的男生能構成一個集合，因標準確定．元素確定性的含義：集合中的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合A，那么任何一個對象a是不是這個集合中的元素就確定了． 思考2　構成單詞“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少個？ 答案　2個．集合中的元素互不相同，這叫元素的互異性． 思考3　“中國的直轄市”構成的集合中，元素包括哪些？甲同學說：“北京

3、、上海、天津、重慶”；乙同學說：“上海、北京、重慶、天津”，他們的回答都正確嗎？由此說明什么？怎么說明兩個集合相等？ 答案　兩個同學都說出了中國直轄市的所有城市，因此兩個同學的回答都是正確的．由此說明，集合中的元素是無先后順序的，這就是元素的無序性．只要構成兩個集合的元素一樣，我們就稱這兩個集合是相等的． 梳理　元素的三個特性是指確定性、互異性、無序性． 知識點四　常用數集及表示符號 名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集 符號 N N＋或N* Z Q R 1．y＝x＋1上所有點構成集合A，則點(1,2)∈A.(　√　) 2．0∈N但0

4、?N＋.(　√　) 3．由形如2k－1，其中k∈Z的數組成集合A，則4k－1?A.(　×　) 類型一　判斷給定的對象能否構成集合 例1　考察下列每組對象能否構成一個集合． (1)不超過20的非負數； (2)方程x2－9＝0在實數范圍內的解； (3)某班的所有高個子同學； (4)的近似值的全體． 考點　集合的概念 題點　集合的概念 解　(1)對任意一個實數能判斷出是不是“不超過20的非負數”，所以能構成集合． (2)能構成集合． (3)“高個子”無明確的標準，對于某個人算不算高個子無法客觀地判斷，因此不能構成一個集合． (4)“的近似值”不明確精確到什么程度，因此很

5、難判斷一個數如“2”是不是它的近似值，所以不能構成集合． 反思與感悟　判斷給定的對象能不能構成集合，關鍵在于是否給出一個明確的標準，使得對于任何一個對象，都能按此標準確定它是不是給定集合的元素． 跟蹤訓練1　下列各組對象可以組成集合的是(　　) A．數學必修1課本中所有的難題 B．小于8的所有素數 C．直角坐標平面內第一象限的一些點 D．所有小的正數 考點　集合的概念 題點　集合的概念 答案　B 解析　A中“難題”的標準不確定，不能構成集合；B能構成集合；C中“一些點”無明確的標準，對于某個點是否在“一些點”中無法確定，因此“直角坐標平面內第一象限的一些點”不能構成集合；D

6、中沒有明確的標準，所以不能構成集合． 類型二　元素與集合的關系 命題角度1　判定元素與集合的關系 例2　給出下列關系： ①∈R；②?Q；③|－3|?N；④|－|∈Q；⑤0?N，其中正確的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點　元素與集合的關系 題點　判斷元素與集合的關系 答案　B 解析　是實數，①對； 不是有理數，②對； |－3|＝3是自然數，③錯； |－|＝為無理數，④錯； 0是自然數，⑤錯． 故選B. 反思與感悟　要判斷元素與集合的關系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用數集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要

7、求的條件． 跟蹤訓練2　用符號 “∈”或“?”填空． －______R；－3______Q；－1______N；π______Z. 考點　元素與集合的關系 題點　判斷元素與集合的關系 答案　∈　∈　?　? 命題角度2　根據已知的元素與集合的關系推理 例3　集合A中的元素x滿足∈N，x∈N，則集合A中的元素為________． 考點　元素與集合的關系 題點　伴隨元素問題 答案　0,1,2 解析　∵x∈N，∈N， ∴0≤x≤2且x∈N. 當x＝0時，＝＝2∈N； 當x＝1時，＝＝3∈N； 當x＝2時，＝＝6∈N. ∴A中元素有0,1,2. 反思與感悟　判斷元素

8、和集合關系的兩種方法 (1)直接法 ①使用前提：集合中的元素是直接給出的． ②判斷方法：首先明確集合是由哪些元素構成，然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)． (2)推理法 ①使用前提：對于某些不便直接表示的集合． ②判斷方法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征． 跟蹤訓練3　已知集合A中的元素x滿足2x＋a>0，a∈R，若1?A,2∈A，則(　　) A．a>－4 B．a≤－2 C．－4

9、＋a≤0，a≤－2. 又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4， ∴－4

10、當x＝0,1，－1時，都有x2∈B， 但考慮到集合元素的互異性，x≠0，x≠1，故x＝－1. (3)顯然a2＋1≠0.由集合元素的無序性， 只可能a－3＝0或2a－1＝0. 若a－3＝0，則a＝3，A包含的元素為0,5,10，與集合B中元素不相同． 若2a－1＝0，則a＝，A包含的元素為0，－，，與集合B中元素不相同． 故不存在實數a，x，使集合A與集合B中元素相同． 反思與感悟　元素的無序性主要體現(xiàn)在：①給出元素屬于某集合，則它可能表示集合中的任一元素；②給出兩集合元素相同，則其中的元素不一定按順序對應相等． 元素的互異性主要體現(xiàn)在求出參數后要代入檢驗，同一集合中的元素要互不

11、相等． 跟蹤訓練4　已知集合M中含有三個元素：a，，1，集合N中含有三個元素：a2，a＋b,0，若集合M與集合N中元素相同，求a，b的值． 考點　元素與集合的關系 題點　由元素與集合的關系求參數的值 解　∵集合M與集合N中元素相同． ∴ 解得或 由集合中元素的互異性，得a≠1，∴a＝－1，b＝0. 1．下列給出的對象中，能組成集合的是(　　) A．一切很大的數 B．好心人 C．漂亮的小女孩 D．方程x2－1＝0的實數根 考點　集合的概念 題點　集合的概念 答案　D 2．下面說法正確的是(　　) A．所有在N中的元素都在N＋中 B．所有不在N＋中的數都在Z

12、中 C．所有不在Q中的實數都在R中 D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中 考點　常用的數集及表示 題點　常用的數集及表示 答案　C 3．由“book中的字母”構成的集合中元素的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點　元素與集合的關系 題點　集合中元素的個數 答案　C 4．下列結論不正確的是(　　) A．0∈N B.∈Q C．0?Q D．－1∈Z 考點　常用的數集及表示 題點　常用的數集及表示 答案　C 5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數m的值為(　　) A．2 B．3 C．0或3

13、D．0,2,3均可 考點　元素與集合的關系 題點　由元素與集合的關系求參數的值 答案　B 解析　由2∈A可知：若m＝2，則m2－3m＋2＝0， 這與m2－3m＋2≠0相矛盾； 若m2－3m＋2＝2，則m＝0或m＝3， 當m＝0時，與m≠0相矛盾， 當m＝3時，此時集合A的元素為0,3,2，符合題意． 1．考察對象能否構成一個集合，就是要看是否有一個確定的特征(或標準)，依此特征(或標準)能確定任何一個個體是否屬于這個總體．如果有，能構成集合；如果沒有，就不能構成集合． 2．元素a與集合A之間只有兩種關系：a∈A，a?A. 3．集合中元素的三個特性 (1)確定性：指的

14、是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬不屬于這個集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否構成集合． (2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的． (3)無序性：集合與其中元素的排列順序無關，如由元素a，b，c與由元素b，a，c組成的集合是相等的集合．這個性質通常用來判斷兩個集合的關系. 一、選擇題 1．已知集合A由滿足x<1的數x構成，則有(　　) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1?A 考點　元素與集合的關系 題點　判斷

15、元素與集合的關系 答案　C 解析　很明顯3,1不滿足不等式，而0，－1滿足不等式． 2．由實數x，－x，|x|，，－所組成的集合，最多含(　　) A．2個元素 B．3個元素 C．4個元素 D．5個元素 考點　元素與集合的關系 題點　集合中元素的個數 答案　A 解析　由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中總有兩個相等，所以最多含2個元素． 3．下列結論中，不正確的是(　　) A．若a∈N，則－a?N B．若a∈Z，則a2∈Z C．若a∈Q，則|a|∈Q D．若a∈R，則∈R 考點　常用的數集及表示 題點　常用的數集及表示 答案

16、　A 解析　A不對．反例：0∈N，－0∈N. 4．已知x，y為非零實數，代數式＋的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是(　　) A．0?M B．1∈M C．－2?M D．2∈M 考點　元素與集合的關系 題點　判斷元素與集合的關系 答案　D 解析?、佼攛，y為正數時，代數式＋的值為2；②當x，y為一正一負時，代數式＋的值為0；③當x，y均為負數時，代數式＋的值為－2， 所以集合M的元素共有3個：－2,0,2，故選D. 5．已知集合S中三個元素a，b，c是△ABC的三邊長，那么△ABC一定不是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等

17、腰三角形 考點　集合中元素的特征 題點　集合中參數的取值范圍 答案　D 解析　由元素的互異性知a，b，c均不相等． 6．已知A中元素x滿足x＝3k－1，k∈Z，則下列表示正確的是(　　) A．－1?A B．－11∈A C．3k2－1∈A D．－34?A 考點　元素與集合的關系 題點　判斷元素與集合的關系 答案　C 解析　令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A. 令3k－1＝－11，解得k＝－?Z，∴－11?A； ∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A. 令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A. 二、填空題 7．在方程x2－4x＋4＝0

18、的解集中，有________個元素． 考點　元素與集合的關系 題點　集合中元素的個數 答案　1 解析　易知方程x2－4x＋4＝0的解為x1＝x2＝2，由集合元素的互異性知，方程的解集中只有1個元素． 8．下列所給關系正確的個數是________． ①π∈R；②?Q；③0∈N＋；④|－4|?N＋. 考點　常用的數集及表示 題點　常用的數集及表示 答案　2 解析　∵π是實數，是無理數，0不是正整數，|－4|＝4是正整數，∴①②正確，③④不正確，正確的個數為2. 9．如果有一個集合含有三個元素：1，x，x2－x，則實數x的取值范圍是________． 考點　集合中元素的特征

19、 題點　集合中參數的取值范圍 答案　x≠0,1,2， 解析　由集合元素的互異性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，. 10．已知集合P中元素x滿足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三個元素，則整數a＝________. 考點　元素與集合的關系 題點　由元素與集合的關系求參數的值 答案　6 解析　∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三個元素，∴結合數軸知a＝6. 三、解答題 11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三個元素組成的，且－3∈A，求實數a的值． 考點　元素與集合的關系 題點　由元素與集合的關系求參數的值 解　由－3∈A，可得－3＝

20、a－2或－3＝2a2＋5a， ∴a＝－1或a＝－. 當a＝－1時，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不滿足集合中元素的互異性，故a＝－1舍去． 當a＝－時，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，滿足題意． ∴實數a的值為－. 12．已知集合A含有兩個元素a－3和2a－1，a∈R.若a∈A，試求實數a的值． 考點　集合中元素的特征 題點　集合中參數的取值范圍 解　因為a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1. 當a＝a－3時，有0＝－3，不成立； 當a＝2a－1時，有a＝1，此時A中有兩個元素－2,1， 符合題意． 綜上所述，滿足題意的實數a的值為1. 13．數集A滿足條件：若a

21、∈A，則∈A(a≠1)． (1)若2∈A，試求出A中其他所有元素； (2)自己設計一個數屬于A，然后求出A中其他所有元素； (3)從上面的解答過程中，你能悟出什么道理？并大膽證明你發(fā)現(xiàn)的“道理”． 考點　元素與集合的關系 題點　伴隨元素問題 解　(1)2∈A，則∈A，即－1∈A，則∈A， 即∈A，則∈A，即2∈A， 所以A中其他所有元素為－1，. (2)如：若3∈A，則A中其他所有元素為－，. (3)分析以上結果可以得出：A中只能有3個元素， 它們分別是a，，(a≠0，且a≠1)，且三個數的乘積為－1. 證明如下： 若a∈A，a≠1，則有∈A且≠1， 所以又有＝∈A

22、且≠1， 進而有＝a∈A. 又因為a≠(因為若a＝，則a2－a＋1＝0， 而方程a2－a＋1＝0無解)， 同理≠，a≠. 又因為a··＝－1， 所以A中只能有3個元素，它們分別是a，，(a≠0，且a≠1)， 且三個數的乘積為－1. 四、探究與拓展 14．已知集合A中有3個元素a，b，c，其中任意2個不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.則集合A中的任意2個不同元素的差的絕對值的集合中的元素是________． 考點　元素與集合的關系 題點　根據新定義求集合 答案　1,2 解析　由題意知解得 ∴集合A＝{0,1,2}，則集合A中的任意2個不同元素的差的絕對值分別是1

23、,2.故集合A中的任意2個不同元素的差的絕對值的集合是{1,2}． 15．已知集合A中的元素x均滿足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求證： (1)3∈A； (2)偶數4k－2(k∈Z)不屬于集合A. 考點　元素與集合的關系 題點　判斷元素與集合的關系 證明　(1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z， 得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A. (2)假設4k－2∈A，則存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立． ①當m，n為同奇或同偶時，m＋n，m－n均為偶數， 所以(m＋n)(m－n)為4的倍數與4k－2不是4的倍數矛盾． ②當m，n為一奇一偶時，m＋n，m－n均為奇數， 所以(m＋n)(m－n)為奇數，與4k－2是偶數矛盾． 所以假設不成立． 綜上，4k－2?A. 12