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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式《教案》 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1. (2)商數(shù)關(guān)系:=tan α. 2.下列各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α 圖示 與角α 終邊的 關(guān)系 相同 關(guān)于原點對稱 關(guān)于x軸對稱 角 π-α -α +α 圖示 與角α 終邊的 關(guān)系 關(guān)于y軸對稱 關(guān)于直線y=x對稱 3.六組誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(

2、k∈Z) -α π-α π+α -α +α 正弦 sin α -sin α sin α -sin α cos α cos α 余弦 cos α cos α -cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α -tan α -tan α tan α 口訣 函數(shù)名不變 符號看象限 函數(shù)名改變 符號看象限 【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)sin(π+α)=-sin α成立的條件是α為銳角.( × ) (2)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角.( × ) (3)

3、若cos(nπ-θ)=(n∈Z),則cos θ=.( × ) (4)已知sin θ=,cos θ=,其中θ∈[,π],則m<-5或m≥3.( × ) (5)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,則tan θ的值為-或-.( × ) (6)已知tan α=-,則的值是-.( √ ) 1.已知α是第二象限角,sin α=,則cos α= . 答案?。? 解析 ∵sin α=,α是第二象限角, ∴cos α=-=-. 2.已知sin(π-α)=log8,且α∈(-,0),則tan(2π-α)的值為 . 答案  解析 sin(π-α)=sin

4、α=log8=-, 又α∈(-,0), 得cos α==, tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α =-=. 3.已知cos=,則sin= . 答案?。? 解析 sin=sin =-sin =-cos=-. 4.已知函數(shù)f(x)=則f[f(2 015)]= . 答案 -1 解析 ∵f[f(2 015)]=f(2 015-15)=f(2 000), ∴f(2 000)=2cos=2cos π=-1. 題型一 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用 例1 (1)已知cos(π+x)=,x∈(π,2π),則tan x= . (2)

5、已知=5,則sin2α-sin αcos α的值是 . 答案 (1) (2) 解析 (1)∵cos(π+x)=-cos x=,∴cos x=-. 又x∈(π,2π), ∴sin x=-=-=-, ∴tan x==. (2)由=5,得=5, 即tan α=2, ∴sin2α-sin αcos α===. 思維升華 (1)利用sin2α+cos2α=1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化. (2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用:對于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個式子,利用(sin α±co

6、s α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. (3)注意公式逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.  (1)已知=-,那么的值是 . (2)已知tan θ=2,則sin θcos θ= . 答案 (1) (2) 解析 (1)由于·==-1, 故=. (2)sin θcos θ= ===. 題型二 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 例2 (1)已知cos=,求cos的值; (2)已知π<α<2π,cos(α-7π)=-,求sin(3π+α)·tan的值. 思維點撥 (1)將+α看作一個整體,

7、觀察+α與-α的關(guān)系. (2)先化簡已知,求出cos α的值,然后化簡結(jié)論并代入求值. 解 (1)∵+=π, ∴-α=π-. ∴cos=cos =-cos=-, 即cos=-. (2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α) =cos(π-α)=-cos α=-, ∴cos α=. ∴sin(3π+α)·tan =sin(π+α)· =sin α·tan =sin α· =sin α·=cos α=. 思維升華 熟練運用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系,并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號是解題的關(guān)鍵.另外,切化弦是常用的規(guī)律技巧.  (1)已知sin=,則cos的值為

8、 . (2)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,則·tan2(π-α)= . 答案 (1)- (2)- 解析 (1)cos=cos =-sin=-. (2)∵方程5x2-7x-6=0的根為-或2, 又α是第三象限角,∴sin α=-, ∴cos α=-=-, ∴tan α===, ∴原式=·tan2α=-tan2α=-. 題型三 三角函數(shù)式的求值與化簡 例3 (1)已知α為銳角,且有2tan(π-

9、α)-3cos(+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,則sin α的值是 . (2)已知α是三角形的內(nèi)角,且sin α+cos α=,則tan α= . 答案 (1) (2)- 解析 (1)2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0化簡為 -2tan α+3sin β+5=0,① tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0化簡為 tan α-6sin β-1=0.② 由①②消去sin β, 解得tan α=3. 又α為銳角,根據(jù)sin2α+cos2α=1, 解得sin α=. (2)因為sin α+cos α=,

10、所以(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α=()2, 即2sin α·cos α=-, 所以(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=1+=, 又2sin α·cos α=-<0,0<α<π, 所以sin α>0,cos α<0,即sin α-cos α>0, 故sin α-cos α==, 由得 所以tan α=-. 思維升華 在三角函數(shù)式的求值與化簡中,要注意尋找式子中的角,函數(shù)式子的特點和聯(lián)系,可以切化弦,約分或抵消,減少函數(shù)種類,對式子進行化簡.  (1)若α為三角形的一個內(nèi)角,且sin α+cos α=,則這個三角形是

11、 三角形(填“銳角”“直角”“鈍角”). (2)已知tan α=2,sin α+cos α<0, 則= . 答案 (1)鈍角 (2)- 解析 (1)∵(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=, ∴sin αcos α=-<0,∴α為鈍角. ∴此三角形為鈍角三角形. (2)原式==sin α, ∵tan α=2>0,∴α為第一象限角或第三象限角. 又sin α+cos α<0,∴α為第三象限角, 由tan α==2, 得sin α=2cos α代入sin2α+cos2α=1, 解得sin α=-. 分類討論思想在三角函數(shù)求值化簡中

12、的應(yīng)用 典例:(1)已知A=+(k∈Z),則A的值構(gòu)成的集合是 . (2)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),則C= . 思維點撥 (1)角中含有整數(shù)k,應(yīng)對k是奇數(shù)還是偶數(shù)進行討論;(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的平方關(guān)系時,要對開方的結(jié)果進行討論. 解析 (1)當(dāng)k為偶數(shù)時,A=+=2; k為奇數(shù)時,A=-=-2. ∴A的值構(gòu)成的集合是{2,-2}. (2)由已知得 ①2+②2得2cos2A=1,即cos A=±, 當(dāng)cos A=時,cos B=, 又A、B是三角形的內(nèi)角, ∴A=,B=

13、, ∴C=π-(A+B)=π. 當(dāng)cos A=-時,cos B=-. 又A、B是三角形的內(nèi)角,∴A=π,B=π,不合題意. 綜上,C=π. 答案 (1){2,-2} (2)π 溫馨提醒 (1)本題在三角函數(shù)的求值化簡過程中,體現(xiàn)了分類討論思想,即使討論的某種情況不合題意,也不能省略討論的步驟;(2)三角形中的三角函數(shù)問題,要注意隱含條件的挖掘及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用. 方法與技巧 同角三角函數(shù)基本關(guān)系是三角恒等變形的基礎(chǔ),主要是變名、變式. 1.同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響,尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時,進行開方時要根據(jù)角的象限或范圍,判斷符號

14、后,正確取舍. 2.三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ),在求值與化簡時,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan x=化成正弦、余弦函數(shù);(2)和積轉(zhuǎn)換法:如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化;(3)巧用“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ=tan=…. 失誤與防范 1.利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值時,先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟:去負(fù)—脫周—化銳. 特別注意函數(shù)名稱和符號的確定. 2.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時,若開方,要特別注意判斷符號. 3.注意求值與化簡后的

15、結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化. A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間:40分鐘) 1.α是第四象限角,tan α=-,則sin α= . 答案?。? 解析 ∵tan α==-,∴cos α=-sin α, 又sin2α+cos2α=1, ∴sin2α+sin2α=sin2α=1. 又sin α<0,∴sin α=-. 2.若sin=,則cos= . 答案?。? 解析 ∵+=, ∴sin=sin =cos=. 則cos=2cos2-1=-. 3.已知sin(π-α)=-2sin(+α),則sin α·cos α= . 答案 -

16、解析 由sin(π-α)=-2sin(+α)得sin α=-2cos α, 所以tan α=-2, 所以sin α·cos α===-. 4.已知f(α)=,則f的值為 . 答案  解析 ∵f(α)==cos α, ∴f=cos =cos=cos =. 5.函數(shù)y=3cos(x+φ)+2的圖象關(guān)于直線x=對稱,則φ的取值是 . 答案 kπ-(k∈Z) 解析 ∵y=cos x+2的對稱軸為x=kπ(k∈Z), ∴x+φ=kπ(k∈Z),即x=kπ-φ(k∈Z),令=kπ-φ(k∈Z)得φ=kπ-(k∈Z). 6.如果sin α=,且α為第二象限

17、角,則sin= . 答案  解析 ∵sin α=,且α為第二象限角, ∴cos α=-=-=-, ∴sin=-cos α=. 7.已知α為鈍角,sin(+α)=,則sin(-α)= . 答案?。? 解析 由題意可得cos(+α)=±,又因為α為鈍角,所以cos(+α)=-,所以sin(-α)=cos[-(-α)]=cos(+α)=-. 8.化簡:= . 答案 1 解析 原式===1. 9.已知sin θ=,<θ<π. (1)求tan θ的值; (2)求的值. 解 (1)∵sin2

18、θ+cos2θ=1,∴cos2θ=. 又<θ<π,∴cos θ=-. ∴tan θ==-. (2)由(1)知,==-. 10.已知sin θ,cos θ是關(guān)于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的兩個根,求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(已知:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)) 解 由已知原方程的判別式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0, ∴a≥4或a≤0. 又∵ ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, 則a2-2a-1=0,從而a=1-或a=1+(舍去), 因此sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-. ∴cos3(-θ)

19、+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ =(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ) =(1-)[1-(1-)]=-2. B組 專項能力提升 (時間:25分鐘) 1.已知sin θ=-,θ∈(-,),則sin(θ-5π)sin(π-θ)的值是 . 答案 - 解析 ∵sin θ=-,θ∈(-,), ∴cos θ==. ∴原式=-sin(π-θ)·(-cos θ)=sin θcos θ =-×=-. 2.已知2tan α·sin α=3,-<α<0,則sin α= . 答案?。? 解析 由2tan α·sin

20、α=3得,=3, 即2cos2α+3cos α-2=0, 又-<α<0, 解得cos α=(cos α=-2舍去), 故sin α=-. 3.已知角θ的頂點在坐標(biāo)原點,始邊與x軸正半軸重合,終邊在直線2x-y=0上,則= . 答案 2 解析 由題意可得tan θ=2, 原式===2. 4.已知cos=a (|a|≤1),則cos+sin的值是 . 答案 0 解析 cos=cos =-cos=-a. sin=sin=cos=a, ∴cos+sin=0. 5.(1)已知tan α=,求的值; (2)化簡:. 解 (1)因為tan α=, 所以= ==. (2)原式= ===-1. 6.已知f(x)=(n∈Z). (1)化簡f(x)的表達(dá)式; (2)求f()+f()的值. 解 (1)當(dāng)n為偶數(shù),即n=2k(k∈Z)時, f(x)= = = =sin2x; 當(dāng)n為奇數(shù),即n=2k+1(k∈Z)時, f(x)= = = = =sin2x, 綜上得f(x)=sin2x. (2)由(1)得f()+f() =sin2+sin2 =sin2+sin2(-) =sin2+cos2=1.

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