《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第7章 立體幾何 第2講 空間幾何體的表面積和體積學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第7章 立體幾何 第2講 空間幾何體的表面積和體積學案（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2講　空間幾何體的表面積和體積 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　多面體的表面積、側(cè)面積 因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積，表面積是側(cè)面積與底面面積之和． 考點2　圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 考點3　柱、錐、臺和球的表面積和體積 [必會結(jié)論] 1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論 (1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差． (2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等． 2．幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論 (1)正方體的棱長為a，球的半徑為R， ①若球為正方體的外接球，則2R＝a； ②

2、若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a. (2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝. (3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1. [考點自測] 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.(　　) (2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為3πa2.(　　) (3)若一個球的體積為4π，則它的表面積為12π.(

3、　　) (4)將圓心角為，面積為3π的扇形作為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積等于4π.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.[2018·長春模擬]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為(　　) A. B．64 C. D. 答案　D 解析　由三視圖可知，該多面體是一個四棱錐，且由一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，長度都為4，∴其體積為×4×4×4＝.故選D. 3.[2018·合肥模擬]某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．12＋4 B．18＋8 C．28 D．20＋8 答

4、案　D 解析　由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖．則該幾何體的表面積為S＝2××2×2＋4×2×2＋2×4＝20＋8.故選D. 4．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為(　　) A．2 B．4＋2 C．4＋4 D．6＋4 答案　C 解析　由題可知，該幾何體的底面為等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜邊長為2，腰長為，棱柱的高為2，所以其側(cè)面積S＝2×2＋2×2＝4＋4.故選C. 5．[2017·全國卷Ⅱ]長方體的長、寬、高分別為3,2,1，

5、其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________． 答案　14π 解析　∵長方體的頂點都在球O的球面上， ∴長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑． 設(shè)球的半徑為R， 則2R＝＝. ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×2＝14π. 6．[2017·山東高考]由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如下，則該幾何體的體積為________． 答案　2＋　 解析　該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成， ∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　幾何體的表面積　

6、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(1)[2017·全國卷Ⅰ]某多面體的三視圖如圖所示，其中 正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10　 B．12　 C．14　 D．16 答案　B 解析　觀察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為2.三棱錐的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示．因此該多面體各個面中有2個梯形，且這兩個梯形全等，梯形的上底長為2，下底長為4，高

7、為2，故這些梯形的面積之和為2××(2＋4)×2＝12.故選B. (2)[2016·全國卷Ⅱ]下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A.20π B．24π C．28π D．32π 答案　C 解析　由三視圖可得圓錐的母線長為＝4，∴S圓錐側(cè)＝π×2×4＝8π.又S圓柱側(cè)＝2π×2×4＝16π，S圓柱底＝4π，∴該幾何體的表面積為8π＋16π＋4π＝28π.故選C. 觸類旁通 空間幾何體表面積的求法 (1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖，確定幾何體的直觀圖． (2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的

8、表面積注意銜接部分的處理． 【變式訓練1】　[2015·安徽高考]一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　) A.1＋ B．1＋2 C．2＋ D．2 答案　C 解析　由三視圖可得該四面體的直觀圖如圖所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD與△BCD為全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝.取BD的中點O，連接AO，CO，則AO⊥CO，AO＝CO＝1.由勾股定理得AC＝，因此△ABC與△ACD為全等的正三角形，由三角形面積公式得S△ABC＝S△ACD＝，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面體的表面積為2＋.故選C. 考向　幾何體的體積 命題角度1　補

9、形法求體積　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　[2017·全國卷Ⅱ]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π 答案　B 解析　(割補法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示． 將圓柱補全，并將圓柱從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故選B. 命題角度2　分割法求體

10、積　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　[2018·山西五校聯(lián)考]《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊柱的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高1丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為(　　) A．5000立方尺 B．5500立方尺 C．6000立方尺 D．6500立方尺 答案　A 解析　該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點G，CD的中

11、點H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F－GBCH與三棱柱ADE－GHF的體積之和．又可以將三棱柱ADE－GHF割補成高為EF，底面積為S＝×3×1＝平方丈的一個直棱柱，故該楔體的體積V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．故選A. 命題角度3　轉(zhuǎn)化法求體積　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例4　如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－EDF的體積為________． 答案　 解析　三棱錐D1－EDF的體積即為三棱錐F－DD1E的體積．因為E，F(xiàn)分別為A

12、A1，B1C上的點，所以正方體ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VF－DD1E＝××1＝. 觸類旁通 空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解． (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解． (3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解． 考向　與球有關(guān)的切、接問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例5　[2018·沈陽模擬]已知直三棱柱

13、ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A. B．2 C. D．3 答案　C 解析　如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝.故選C. 　本例若將直三棱柱改為“棱長為4的正方 體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？ 解　由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑．設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r. 又正方體的棱長為4，故其體對角線長為4， 從而V外接球

14、＝πR3＝π×(2)3＝32π， V內(nèi)切球＝πr3＝π×23＝. 　本例若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？ 解　正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S1＝4··a2＝a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，即r＝·a＝a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝，則＝＝. 　本例中若將直三棱柱改為“側(cè)棱和底面邊 長都是3的正四棱錐”，則其外接球的半徑是多少？ 解　依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為3×＝6，高為 ＝3， 因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3. 觸類

15、旁通 “切”“接”問題的處理規(guī)律 (1)“切”的處理 解決旋轉(zhuǎn)體、多面體的內(nèi)切球問題時首先要找準切點，通過作截面來解決．截面過球心． (2)“接”的處理 把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內(nèi)接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑． 【變式訓練2】　(1)[2017·全國卷Ⅲ]已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1， 由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知， r，R及圓柱的

16、高的一半構(gòu)成直角三角形． ∴r＝ ＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝.故選B. (2)[2018·湖北七市聯(lián)考]一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積為(　　) A．36π B. C．32π D．28π 答案　B 解析　根據(jù)三視圖，可知該幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為4的正方形，高是2.將該四棱錐補形成一個三棱柱，如圖所示，則其底面是邊長為4的正三角形，高是4，該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球．∵三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，∴底面三角形的中心到該三角形三個頂點的距離為×2＝，∴外接球的半徑為R＝＝，外接球的表面積S＝4πR2＝4π×＝

17、.故選B. 核心規(guī)律 1.表面積是各個面的面積之和，求多面體的表面積時，只需將它們沿著棱剪開后展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積．求旋轉(zhuǎn)體的表面積時，可以從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開求表面積． 2.求幾何體體積時，要選擇適當?shù)牡酌婧透撸? 滿分策略 1.利用三視圖求表面積和體積時，要正確地把它們還原成直觀圖，從三視圖中得到幾何體的相關(guān)量，再計算． 2.求不規(guī)則的幾何體的表面積和體積時，把它們分成基本的簡單幾何體再求． 3.求幾何體體積時注意運用割補法和等體積轉(zhuǎn)換法. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 題型技法

18、系列 10 ——破解切割棱柱體的三視圖問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [2018·河南質(zhì)檢]如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A.6 B．9 C．12 D．1 解題視點　根據(jù)三視圖還原幾何體，先畫出該棱柱在沒有切割前完整的圖形，然后去掉被切割下的三棱柱，結(jié)合圖形利用體積公式破解． 解析　該幾何體是一個直三棱柱截去所得，如圖所示，其體積為××3×4×2＝9.故選B. 答案　B　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答題啟示　從近年全國各地對于三視圖知識的考查來看，所涉及的幾何體往往是相對比較規(guī)則的，且多與長方體、直棱柱、圓錐及球

19、密切相關(guān).通?？疾榈牟皇沁@些簡單的幾何體，而是通過對這些簡單的幾何體的截或接所形成的幾何體. 跟蹤訓練 將正方體切去一個三棱錐得到幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D．6 答案　A 解析　由圖可知，該幾何體為正方體切去一個三棱錐形成．V＝2×2×2－××2×2×1＝.故選A. 板塊四　模擬演練·提能增分　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [A級　基礎(chǔ)達標] 1. [2018·南昌模擬]如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，則三棱錐P－BCD的正視圖

20、與側(cè)視圖的面積之比為(　　) A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 答案　A 解析　根據(jù)題意，三棱錐P－BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高．故三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1∶1.故選A. 2．《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺3寸，容納米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，則圓柱底面圓周長約為(　　) A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺 答案　B 解析

21、　設(shè)圓柱底面圓半徑為r尺，高為h尺，依題意，圓柱體積為V＝πr2h＝2000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圓柱底面圓周長為2πr≈54,54尺＝5丈4尺，則圓柱底面圓周長約為5丈4尺．故選B. 3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由三視圖，可得原圖如圖所示，即為底面是平行四邊形的四棱錐，∴V＝×1×1×1＝.故選D. 4．正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為2，且三棱柱的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 答案　B

22、 解析　由正弦定理得＝2r(其中r為正三棱柱底面三角形外接圓的半徑)，∴r＝1，∴外接球的半徑R＝＝，∴外接球的表面積S＝4πR2＝8π.故選B. 5．[2017·北京高考]某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(　　) A.60 B．30 C．20 D．10 答案　D 解析　由三視圖畫出如圖所示的三棱錐P－ACD，過點P作PB⊥平面ACD于點B，連接BA，BD，BC，根據(jù)三視圖可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱錐P－ACD＝××3×5×4＝10.故選D. 6．[2018·遵義模擬]一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是菱形，則該幾

23、何體的側(cè)面積為(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　C 解析　由三視圖還原為空間幾何體，如圖所示，則有OA＝OB＝1，AB＝. 又PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BD，PB⊥AB， ∴PD＝＝，PA＝＝， 從而有PA2＋DA2＝PD2，∴PA⊥DA， ∴該幾何體的側(cè)面積S＝2×××1＋2×××＝＋.故選C. 7．某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為(　　) A.207 B．216－ C．216－36π D．216－18π 答案　B 解析　由已知三視圖知該幾何體為一個棱長為6的正方體，切去一個底面半徑為3，高

24、為6的圓錐．其體積V＝63－××π×32×6＝216－.故選B. 8.[2017·江蘇高考]如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 答案　 解析　設(shè)球O的半徑為R， ∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切， ∴圓柱O1O2的高為2R，圓柱O1O2的底面半徑為R. ∴＝＝. 9．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，側(cè)視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的表面積是________． 答案　2(π＋) 解析　由三視圖可知此幾何體的表面積分為兩部分

25、：底面積即俯視圖的面積為2；側(cè)面積為一個完整的圓錐的側(cè)面積，且圓錐的母線長為2，底面半徑為1，所以側(cè)面積為2π.兩部分加起來即為幾何體的表面積，為2(π＋)． 10．[2018·云南昆明聯(lián)考]已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于________． 答案　 解析　由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱切去一個三棱錐，如圖所示，故該幾何體的體積為×4×4×8－××4×4×4＝64－＝. [B級　知能提升] 1．[2018·上海模擬]如圖是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　根據(jù)三視圖知此幾何體是邊長為2的

26、正方體截去一個三棱錐P－ABC剩下的部分(如圖所示)，所以此幾何體的體積為2×2×2－××1×2×2＝.故選D. 2．[2018·北京模擬]某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是(　　) A．2＋ B．4＋ C．2＋2 D．5 答案　C 解析　由三視圖分析知，該幾何體是底面為等腰三角形，其中一條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐(SA⊥平面ABC)，如圖，由三視圖中的數(shù)據(jù)可計算得S△ABC＝×2×2＝2，S△SAC＝××1＝，S△SAB＝××1＝，S△SBC＝×2×＝，所以S表面積＝2＋2.故選C. 3．[2017·全國卷Ⅰ]已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的

27、球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 答案　36π 解析　如圖，連接OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB. 設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱錐S－ABC的體積 V＝×·OA＝， 即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π. 4.如圖，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD

28、，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5.求此幾何體的體積． 解　解法一：如圖，取CM＝AN＝BD，連接DM，MN，DN，用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐． 則V幾何體＝V三棱柱＋V四棱錐． 由題知三棱柱ABC－NDM的體積為V1＝×8×6×3＝72. 四棱錐D－MNEF的體積為： V2＝×S梯形MNEF×DN ＝××(1＋2)×6×8＝24， 則幾何體的體積為：V＝V1＋V2＝72＋24＝96. 解法二：用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96. 5．[2018

29、·杭州模擬]已知一個三棱臺的上、下底面分別是邊長為20 cm和30 cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求棱臺的體積． 解　如圖所示，在三棱臺ABC－A′B′C′中，O′，O分別為上、下底面的中心，D，D′分別是BC，B′C′的中點，則DD′是等腰梯形BCC′B′的高， 又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm， 所以S側(cè)＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′. S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)． 由S側(cè)＝S上＋S下，得75DD′＝325， 所以DD′＝ cm， 又因為O′D′＝×20＝(cm)， OD＝×30＝5(cm)， 所以棱臺的高h＝O′O ＝ ＝ ＝4(cm)， 由棱臺的體積公式，可得棱臺的體積為 V＝(S上＋S下＋) ＝× ＝1900(cm3)． 故棱臺的體積為1900 cm3. 25