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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性練習(xí)
一、選擇題
1.(xx·廣東深圳第一次調(diào)研)下列函數(shù)中,為奇函數(shù)的是( )
A.y=2x+ B.y=x,x∈{0,1}
C.y=x·sin x D.y=
[解析] ∵y=2x+≥2,∴它的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故A不是奇函數(shù);選項(xiàng)B定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故B不是奇函數(shù);設(shè)f(x)=xsin x,∵f(-x)=(-x)sin (-x)=xsin x=f(x),∴y=xsin x是偶函數(shù).故選D.
[答案] D
2.(xx·新課標(biāo)高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù)
2、,g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是( )
A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)
C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)
[解析] 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),所以有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),于是f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),即f(x)g(x)為奇函數(shù),A錯(cuò);
|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)為偶函數(shù),B錯(cuò);
f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|為奇函數(shù),C正確;
|f(-x)g(-x)|=|f(x)
3、g(x)|,即f(x)g(x)為偶函數(shù),所以D也錯(cuò).
[答案] C
3.(xx·長(zhǎng)春調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=,若f(a)=,則f(-a)=( )
A. B.-
C. D.-
[解析] 根據(jù)題意,f(x)==1+,而h(x)=是奇函數(shù),故f(-a)=1+h(-a)=1-h(huán)(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-=,故選C.
[答案] C
4.已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=2x2,則f(7)等于 ( )
A.-2 B.2
C.-98 D.98
[解析] ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期為4的
4、函數(shù),
∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1),又∵f(x)在R上是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1),而當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=2x2,∴f(1)=2×12=2,∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2,故選A.
[答案] A
5.函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集為( )
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)
[解析] f(x)的圖像如圖.
當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),由xf(x)>0得x∈(-1,0);
5、
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),由xf(x)<0得x∈?;
當(dāng)x∈(1,3)時(shí),由xf(x)>0得x∈(1,3).
故x∈(-1,0)∪(1,3).
[答案] C
6.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,最小正周期T=3,若f(1)≥1,f(2)=,則a的取值范圍是( )
A.a(chǎn)<-1或a≥ B.a(chǎn)<-1
C.-1
6、ln(e3x+1)+ax是偶函數(shù),則a=________.
[解析] 由偶函數(shù)的定義可得f(-x)=f(x),即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,∴2ax=-ln e3x=-3x,∴a=-.
[答案]?。?
8.(xx·廣州市調(diào)研)已知f(x)是奇函數(shù),g(x)=f(x)+4,g(1)=2,則f(-1)的值是________.
[解析] ∵g(x)=f(x)+4,∴f(x)=g(x)-4,又f(x)是奇函數(shù),∴f(-1)=-f(1)=-g(1)+4=2.
[答案] 2
9.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且f(x)-g(x)=()x,則f
7、(1),g(0),g(-1)之間的大小關(guān)系是________.
[解析] 在f(x)-g(x)=()x中,用-x替換x,得f(-x)-g(-x)=2x,由于f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.于是解得f(x)=,g(x)=-,于是f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,故f(1)>g(0)>g(-1).
[答案] f(1)>g(0)>g(-1)
10.函數(shù)f(x)=lg (x≠0,x∈R),有下列命題:
①f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;
②f(x)的最小值是2;
③f(x)在(-
8、∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上是增函數(shù);
④f(x)沒有最大值.
其中正確命題的序號(hào)是________.(請(qǐng)?zhí)钌纤姓_命題的序號(hào))
[解析] 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),因?yàn)閒(-x)=lg =lg =f(x),所以f(x)為偶函數(shù),圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,故①正確;由=|x|+≥2,得f(x)≥lg 2,故f(x)的最小值為lg 2,故②錯(cuò);函數(shù)g(x)=|x|+在(0,1)上為減函數(shù),故f(x)=lg 在(0,1)上為減函數(shù),故③錯(cuò);函數(shù)g(x)=|x|+在(1,+∞)上為增函數(shù),故f(x)沒有最大值,故④正確.
[答案]?、佗?
三、解答題
11.已知函
9、數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且它的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
(1)求證:f(x)是周期為4的周期函數(shù);
(2)若f(x)= (0
10、1],f(x)=-f(-x)=-.
故x∈[-1,0]時(shí),f(x)=-.
x∈[-5,-4]時(shí),x+4∈[-1,0],
f(x)=f(x+4)=-.
從而,x∈[-5,-4]時(shí),函數(shù)f(x)=-.
12.已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[解] (1)設(shè)x<0,則-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),
于是x<0時(shí),f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2)由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),
要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增.
結(jié)合f(x)的圖像知
所以1