《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案 文 蘇教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案 文 蘇教版（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　直線與圓 [2019考向?qū)Ш絔 考點(diǎn)掃描 三年考情 考向預(yù)測(cè) 2019 2018 2017 1．直線方程與兩直線的位置關(guān)系 第12題 本講命題熱點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長(zhǎng)、切線問題)，此類問題難度屬于中等，一般以填空題的形式出現(xiàn)，多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識(shí)． 2．圓的方程 3．直線與圓的位置關(guān)系 第13題 1．必記的概念與定理 (1)直線方程的五種形式 ①點(diǎn)斜式：y－y1＝k(x－x1)(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直

2、線)． ②斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)． ③兩點(diǎn)式：＝(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線)． ④截距式：＋＝1(a、b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線)． ⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)． (2)圓的方程的兩種形式 ①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ②圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 2．記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論 (

3、1)點(diǎn)到直線的距離公式 點(diǎn)P(x1，y1)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝． (2)兩條平行線間的距離公式 兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝． (3)若直線l1和l2有斜截式方程l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2，則直線l1⊥l2的充要條件是k1·k2＝－1． (4)設(shè)l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0．則l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0． (5)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是： ①B＝0；②A＝C≠0；③D2＋E2－4AF＞0． (6)常用到的圓的幾個(gè)性質(zhì)

4、①直線與圓相交時(shí)應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長(zhǎng)，弦心距，圓半徑)； ②圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上； ③圓心在任一弦的中垂線上； ④兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線； ⑤圓的對(duì)稱性：圓關(guān)于圓心成中心對(duì)稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成軸對(duì)稱． 兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程． 3．需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn) (1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在，兩條直線都有斜率時(shí)，可根據(jù)斜率的關(guān)系作出判斷，無斜率時(shí)，要單獨(dú)考慮． (2)在使用點(diǎn)到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式時(shí)，直線方程必須先化為Ax＋

5、By＋C＝0的形式，否則會(huì)出錯(cuò)． 直線方程與兩直線的位置關(guān)系 [典型例題] (1)(2018·高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若·＝0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為________． (2)(2019·徐州、淮安、宿遷、連云港四市模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線ax＋by－6＝0與直線2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，則2a＋3b的最小值為________． 【解析】　(1)因?yàn)椤ぃ?，所以AB⊥CD，又點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，所以∠BAD＝45°．設(shè)直線l的傾斜角為θ，直線AB的斜率為k，則

6、tan θ＝2，k＝tan＝－3．又B(5，0)，所以直線AB的方程為y＝－3(x－5)，又A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立直線AB與直線l的方程，得解得所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3． (2)法一：由兩條直線平行得－＝－且≠－，化簡(jiǎn)得a＝＞0，得b＞3，故2a＋3b＝＋3b＝＋3(b－3)＋9＝13＋＋3(b－3)≥13＋2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)＝3(b－3)，即b＝5或b＝1(舍去)時(shí)等號(hào)成立，故(2a＋3b)min＝25． 法二：由兩條直線平行得－＝－且≠－，化簡(jiǎn)得＋＝1，故2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋＋≥13＋2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)＝且＋＝1， 即a＝b＝5時(shí)等號(hào)成立，故(2a＋3

7、b)min＝25． 【答案】　(1)3　(2)25 (1)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件．對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用． (2)求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”．若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．直線4ax＋y＝1與直線(1－a)x＋y＝－1互相垂直，則a＝________． [解析] 由題可得：4a(1－a)＋1＝0，即4a2－4a－1＝0， 故a＝． [答案] 2．(2019·南京、鹽城高三模擬)在平

8、面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky－2＝0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線x－y－4＝0的距離的最大值為________． [解析] 由題意可得直線l1恒過定點(diǎn)A(0，2)，直線l2恒過定點(diǎn)B(2，0)，且l1⊥l2，則點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓，圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2．圓心(1，1)到直線x－y－4＝0的距離為＝2，則點(diǎn)P到直線x－y－4＝0的距離的最大值為3． [答案] 3 圓的方程 [典型例題] (1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1，0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大

9、的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________． (2)(2019·南通市高三第一次調(diào)研測(cè)試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x2＋y2＝4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)，且AB⊥AC，則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為________． 【解析】　(1)直線mx－y－2m－1＝0經(jīng)過定點(diǎn)(2，－1)． 當(dāng)圓與直線相切于點(diǎn)(2，－1)時(shí)，圓的半徑最大，此時(shí)半徑r滿足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2． (2)設(shè)BC的中點(diǎn)為M(x，y)， 因?yàn)镺B2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2， 所以4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2， 化簡(jiǎn)

10、得＋＝， 所以點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，為半徑的圓， 又A與的距離為， 所以AM的取值范圍是， 所以BC的取值范圍是[－，＋]． 【答案】　(1)(x－1)2＋y2＝2　(2)[－，＋] 在解題時(shí)選擇設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程的一般原則是：如果由已知條件易得圓心坐標(biāo)、半徑或可用圓心坐標(biāo)、半徑列方程(組)，則通常選擇設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，否則選擇設(shè)圓的一般方程． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 3．圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4，0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________． [解析] 因?yàn)閳AC經(jīng)過原點(diǎn)O(0，0)和點(diǎn)P(4，0)， 所以線段OP的垂直平分線x＝2過圓C的圓心， 設(shè)圓C的方程為(

11、x－2)2＋(y－b)2＝r2， 又圓C過點(diǎn)O(0，0)且與直線y＝1相切，所以b2＋22＝r2，且|1－b|＝r，解得b＝－，r＝， 所以圓C的方程為(x－2)2＋＝． [答案] (x－2)2＋＝ 直線與圓的位置關(guān)系 [典型例題] (1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長(zhǎng)為________． (2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2，4)． ①設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； ②設(shè)平行于OA的直線l

12、與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程； ③設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得 ＋＝，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 【解】　(1)圓心為(2，－1)，半徑r＝2． 圓心到直線的距離d＝＝， 所以弦長(zhǎng)為2＝2＝． 故填． (2)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圓心M(6，7)，半徑為5． ①由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)．因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0

13、率為＝2． 設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m， 即2x－y＋m＝0， 則圓心M到直線l的距離 d＝＝． 因?yàn)锽C＝OA＝＝2， 而MC2＝d2＋，所以25＝＋5， 解得m＝5或m＝－15． 故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0． ③設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 因?yàn)锳(2，4)，T(t，0)，＋＝， 所以(ⅰ) 因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25．(ⅱ) 將(ⅰ)代入(ⅱ)，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25． 于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上， 從而圓(x

14、－6)2＋(y－7)2＝25與圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共點(diǎn)， 所以5－5≤≤5＋5， 解得2－2≤t≤2＋2． 因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2－2，2＋2]． (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量．研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系判斷依據(jù)兩個(gè)圓心距離與半徑差與和的比較． (2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式．通過過圓外一點(diǎn)的圓的切線條數(shù)可以判斷此點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

15、．過圓外一點(diǎn)求解切線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)距離利用勾股定理處理． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 4．(2019·蘇州市高三調(diào)研測(cè)試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過點(diǎn)M(1，1)的直線l與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且與直線ax＋y－1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝________． [解析] 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線x＝1與圓不相切．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l：y－1＝k(x－1)，因?yàn)橹本€kx－y＋1－k＝0與圓相切，圓心的坐標(biāo)為(－1，2)，半徑為，則＝，化簡(jiǎn)得k2－4k＋4＝0，解得k＝2，又直線l與直線ax＋y－1＝0垂直，所以－a＝－，則a＝． [答案] 5．(2019·

16、南通高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P(－2，0)的直線與圓x2＋y2＝1相切于點(diǎn)T，與圓(x－a)2＋(y－)2＝3相交于點(diǎn)R，S，且PT＝RS，則正數(shù)a的值為________． [解析] 因?yàn)閳A(x－a)2＋(y－)2＝3的圓心(a，)在第一象限，且與x軸相切，故切線PT必過第一、二、三象限，由OP＝2，OT＝1得∠TPO＝30°，從而切線PT的方程為y＝(x＋2)，線段PT＝，圓心(a，)到直線PT的距離為＝， 故RS＝2，從而＝2， 解得a＝4或－2(舍去)． [答案] 4 1．若圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．

17、 [解析] 由題意知 ＞1，解得－＜k＜． [答案] (－， ) 2．(2019·揚(yáng)州期末)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為________． [解析] 兩圓圓心分別為(－2，0)，(2，1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝＝．因?yàn)?－2＜d＜3＋2，所以兩圓相交． [答案] 相交 3．已知?jiǎng)又本€l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒過點(diǎn)P(1，m)，且Q(4，0)到動(dòng)直線l0的最大距離為3，則＋的最小值為________． [解析] 動(dòng)直線l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒過點(diǎn)P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0．

18、 又Q(4，0)到動(dòng)直線l0的最大距離為3， 所以 ＝3，解得m＝0．所以a＋c＝2． 又a>0，c>0，所以＋＝(a＋c)＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)c＝2a＝時(shí)取等號(hào)． [答案] 4．已知以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線l：y＝mx＋(3－4m)，(m∈R)恒有公共點(diǎn)，且要求使圓O的面積最小，則圓O的方程為________． [解析] 因?yàn)橹本€l：y＝mx＋(3－4m)過定點(diǎn)T(4，3)，由題意，要使圓O的面積最小，則定點(diǎn)T(4，3)在圓上，所以圓O的方程為x2＋y2＝25． [答案] x2＋y2＝25 5．(2019·南京高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M：(x－a)2＋(y＋a－3)

19、2＝1(a>0)，點(diǎn)N為圓M上任意一點(diǎn)．若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的最小值為________． [解析] 由題意可得圓N與圓M內(nèi)切或內(nèi)含，則|ON|≥2恒成立，即|ON|min＝|OM|－1≥2，|OM|≥3，即a2＋(a－3)2≥9，又a>0，得a≥3，則a的最小值是3． [答案] 3 6．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)已知直線l：mx＋y－2m－1＝0，圓C：x2＋y2－2x－4y＝0，當(dāng)直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)m＝________． [解析] 直線l被圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝5所截得的弦長(zhǎng)最短，即圓心C到直線l的距離最大，d

20、＝＝＝，當(dāng)d取最大值時(shí)，m＜0，此時(shí)d＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)－m＝1，即m＝－1 時(shí)取等號(hào)，即d取得最大值，弦長(zhǎng)最短． [答案] －1 7．(2019·江蘇省六市高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圓C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9．若圓心在x軸上的圓C同時(shí)平分圓C1和圓C2的圓周，則圓C的方程是________． [解析] 因?yàn)樗髨A的圓心在x軸上，所以可設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋F＝0．用它的方程與已知兩圓的方程分別相減得，(D＋8)x＋16y＋F－79＝0，(D＋12)x－12y＋F－63＝0，由題意，圓心C1(4，8)，C2(6，－

21、6)分別在上述兩條直線上，從而求得D＝0，F(xiàn)＝－81，所以所求圓的方程為x2＋y2＝81． [答案] x2＋y2＝81 8．(2019·南京模擬)過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于________． [解析] 令P(，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，△AOB的面積取得最大值，此時(shí)過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，則|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直

22、線AB的斜率為tan 150°＝－． [答案] － 9．(2019·南京市四校第一學(xué)期聯(lián)考)已知圓O：x2＋y2＝1，半徑為1的圓M的圓心M在線段CD：y＝x－4(m≤x≤n，m

23、與圓(x－a)2＋(y－a＋4)2＝4的公共點(diǎn)，所以2－1≤OM≤2＋1，即1≤≤3，得解得2－≤a≤2＋．所以n≥2＋，m≤2－，所以n－m≥． [答案] 10．(2019·蘇北四市高三質(zhì)量檢測(cè))已知A，B是圓C1：x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，AB＝，P是圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋|的取值范圍為________． [解析] 取AB的中點(diǎn)C，則|＋|＝2||，C的軌跡方程是x2＋y2＝，C1C2＝5，由題意，||的最大值為5＋1＋＝，最小值為5－1－＝，所以|＋|的取值范圍為[7，13]． [答案] [7，13] 11．(2019·南通模擬)已知兩條直線l1

24、：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且l1過點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等． [解] (1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a． 若k2＝0，則1－a＝0，a＝1． 因?yàn)閘1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0． 又因?yàn)閘1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)． 所以此種情況不存在，所以k2≠0． 即k1，k2都存在，因?yàn)閗2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， 所以k1k2＝－1，即(1－a)＝－1．① 又因?yàn)閘1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3

25、a＋b＋4＝0．② 由①②聯(lián)立，解得a＝2，b＝2． (2)因?yàn)閘2的斜率存在，l1∥l2，所以直線l1的斜率存在， k1＝k2，即＝1－a．③ 又因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2， 所以l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b，④ 聯(lián)立③④，解得或 所以a＝2，b＝－2或a＝，b＝2． 12．(2019·江蘇高考研究原創(chuàng)卷)已知圓心為C的圓滿足下列條件：圓心C位于x軸的正半軸上，圓C與直線3x－4y＋7＝0相切，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為2，圓C的面積小于13． (1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)過點(diǎn)M(0，3)的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，以O(shè)A，OB

26、為鄰邊作平行四邊形OADB，是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由． [解] (1)設(shè)圓C：(x－a)2＋y2＝R2(a>0)，由題意知，解得a＝1或a＝． 又圓C的面積S＝πR2<13，所以a＝1， 所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4． (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x＝0，不滿足題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又直線l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)， 聯(lián)立，消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0， 所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝

27、12k2－24k－20>0， 解得k<1－或k>1＋， x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝． 在?OADB中，＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3)，假設(shè)OD∥MC，則－3(x1＋x2)＝y(tǒng)1＋y2，所以3×＝，解得k＝． 但∈/(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)， 所以不存在直線l，使得直線OD與MC恰好平行． 13．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(三))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝4，F(xiàn)(0，2)，點(diǎn)A，B是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且FA·FB＝4． (1)若FB＝1，且點(diǎn)B在第二象限，求直線AB的方程； (2)是否存在與動(dòng)直線AB

28、恒相切的定圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． [解] (1)顯然直線FB的斜率存在，故可設(shè)直線FB的方程為y＝kx＋2(k＞0)， 聯(lián)立方程得，消去y得，(k2＋1)x2＋4kx＝0， 得， 故FB＝＝＝1， 得k＝，點(diǎn)B． 因?yàn)镕B＝1，且FA·FB＝4，所以FA＝4， 又圓O的半徑為2，所以A(0，－2)， 故直線AB的方程為y＝－x－2． (2)由(1)的求解方法易知，若FB＝1，且點(diǎn)B在第一象限， 則直線AB的方程為y＝x－2， 故若存在符合題意的圓，則圓心在y軸上． 設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，m)，易知當(dāng)AB∥x軸時(shí)，直線AB的方程為y＝1， 故|m

29、－1|＝＝，解得m＝或m＝2． 若直線FB，F(xiàn)A的斜率存在，不妨設(shè)直線FB，F(xiàn)A的方程分別為y＝k1x＋2，y＝k2x＋2(k1≠k2)， 由(1)的求解方法易知，B， A，F(xiàn)B＝，F(xiàn)A＝． 又FA·FB＝4，所以·＝4，化簡(jiǎn)得15kk＝k＋k＋1(*)． 當(dāng)直線AB的斜率存在且不等于0時(shí)，直線AB的方程為＝， 化簡(jiǎn)得(k1＋k2)x＋(k1k2－1)y＋2(k1k2＋1)＝0， 則點(diǎn)(0，2)到直線AB的距離d＝＝， 把(*)代入上式得d＝1．又|m－1|＝1＝d，故存在定圓x2＋(y－2)2＝1與動(dòng)直線AB恒相切． 同理點(diǎn)到直線AB的距離d＝＝， 顯然不是定值，故不符合

30、題意． 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，易知可取A(1，)，B(1，－)，或A(－1，)，B(－1，－)，顯然直線AB與圓x2＋(y－2)2＝1相切． 綜上所述，存在定圓：x2＋(y－2)2＝1與動(dòng)直線AB恒相切． 14．(2019·南京市高三年級(jí)第三次模擬考試)如圖，某摩天輪底座中心A與附近的景觀內(nèi)某點(diǎn)B之間的距離AB為160 m．摩天輪與景觀之間有一建筑物，此建筑物由一個(gè)底面半徑為15 m的圓柱體與一個(gè)半徑為15 m的半球體組成．圓柱的底面中心P在線段AB上，且PB為45 m．半球體球心Q到地面的距離PQ為15 m．把摩天輪看作一個(gè)半徑為72 m的圓C，且圓C在平面BPQ內(nèi)，點(diǎn)C到地面的距

31、離CA為75 m．該摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一周需要30 min，若某游客乘坐該摩天輪(把游客看作圓C上一點(diǎn))旋轉(zhuǎn)一周，求該游客能看到點(diǎn)B的時(shí)長(zhǎng)．(只考慮此建筑物對(duì)游客視線的遮擋) [解] 以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BP所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)． 過點(diǎn)B作直線l與半圓Q相切，與圓C交于點(diǎn)M，N，連結(jié)CM，CN，過點(diǎn)C作CH⊥MN，垂足為H． 設(shè)直線l的方程為y＝kx，即kx－y＝0， 則點(diǎn)Q到l的距離為＝15， 解得k＝或k＝0(舍)． 所以直線l的方程為y＝x，即3x－4y＝0． 所以點(diǎn)C(160，75)到直線l的距離CH＝＝36． 因?yàn)樵赗t△CHM中，CH＝36，CM＝72， 所以cos∠MCH＝＝． 又∠MCH∈(0，)，所以∠MCH＝，所以∠MCN＝2∠MCH＝， 所以該游客能看到點(diǎn)B的時(shí)長(zhǎng)為30×＝10(min)． - 14 -