《（通用版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題二 數(shù)列教學(xué)案 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題二 數(shù)列教學(xué)案 文（40頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題二 數(shù)列 [研高考·明考點(diǎn)] 年份 卷別 小題考查 大題考查 2017 卷Ⅰ ———— T17·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，等差數(shù)列的判定 卷Ⅱ ———— T17·等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和 卷Ⅲ ———— T17·數(shù)列的遞推關(guān)系及通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和 2016 卷Ⅰ ———— T17·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列求和 卷Ⅱ ———— T17·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和 卷Ⅲ ———— T17·數(shù)列的遞推關(guān)系及通項(xiàng)公式 2015 卷Ⅰ T7·等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式 ———— T13·等比數(shù)列的概念及前n項(xiàng)

2、和公式 卷Ⅱ T5·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式 ———— T9·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì) [析考情·明重點(diǎn)] 小題考情分析 大題考情分析 ?？键c(diǎn) 1.等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(3年2考) 2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(3年2考) ?？键c(diǎn) 高考對數(shù)列的考查若只出現(xiàn)在解答題中時，常以數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)以及關(guān)系式，或an與Sn的關(guān)系入手，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義展開考查，題型主要有： 1.等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 2.數(shù)列求和問題 3.等差、等比數(shù)列的判斷與證明 偶考點(diǎn) 1.三角函數(shù)的綜合問題 2.平面向量與解三角形、三角函數(shù)的綜合問題 偶考點(diǎn)

3、數(shù)列與其他知識的綜合問題 第一講 小題考法——等差數(shù)列與等比數(shù)列 考點(diǎn)(一) 主要考查方式有兩種：一是利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn；二是利用an與an＋1的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn. 數(shù)列的遞推關(guān)系式 [典例感悟] [典例]　(1)(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(　　) A．(n＋1)3 B．(2n＋1)2 C．8n2 D．(2n＋1)2－1 (2)(2017·成都模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an

4、(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. [解析]　(1)當(dāng)n＝1時，4×(1＋1)×(a1＋1)＝(1＋2)2×a1，解得a1＝8.當(dāng)n≥2時，4(Sn＋1)＝，則4(Sn－1＋1)＝，兩式相減得，4an＝－，整理得，＝，所以an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3.檢驗(yàn)知，a1＝8也符合，所以an＝(n＋1)3. (2)根據(jù)a1＋＋＋…＋＝an，① 有a1＋＋＋…＋＝an－1，② ①－②得，＝an－an－1，即n2an－1＝(n2－1)an， 所以＝＝， 所以an＝a1×××…× ＝1×××…×＝ ＝ ＝. [答案]　(1)A　(2)

5、 [方法技巧] 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式的注意事項(xiàng) (1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n＝1和n≥2兩種情況討論，特別注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，當(dāng)n＝1時，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫”)． (3)由Sn－Sn－1＝an推得an，當(dāng)n＝1時，a1不適合，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an＝ [演練沖關(guān)] 1．(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，則＋＋…＋＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋

6、n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2－＋－＋…＋－＝2＝，故選A. 2．(2017·石家莊質(zhì)檢)數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為(　　) A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析：選D　不妨令a1＝1，根據(jù)題意，得a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以當(dāng)n為奇數(shù)時，an＝1，當(dāng)n為偶數(shù)時構(gòu)成以a2＝2為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列．所以{an}的前60項(xiàng)和為S60＝30＋2×30＋×4＝1 830. 3．設(shè)數(shù)列{an

7、}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則S5＝________. 解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，∴數(shù)列是 公比為3的等比數(shù)列，∴＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴S5＋＝×34＝×34＝，∴S5＝121. 答案：121 考點(diǎn)(二) 主要考查與等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式有關(guān)的五個基本量間的“知三求二”運(yùn)算. 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 [典例感悟] [典例]　(1)(2016·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100

8、 B．99 C．98 D．97 (2)(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 (3)(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________. [解析]　(1)∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴ ∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98，故選C. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因

9、為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a， 即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2. 又a1＝1，所以d2＋2d＝0. 又d≠0，則d＝－2， 所以{an}前6項(xiàng)的和 S6＝6×1＋×(－2)＝－24. (3)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由S6≠2S3，得q≠1，則解得 則a8＝a1q7＝×27＝32. [答案]　(1)C　(2)A　(3)32 [方法技巧] 等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路 (1)設(shè)基本量：首項(xiàng)a1和公差d(公比q)． (2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量． [演

10、練沖關(guān)] 1．(2017·合肥質(zhì)檢)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋S7的值是(　　) A．20 B．36 C．24 D．72 解析：選C　由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得解得∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.故選C. 2．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1， a1－a3＝a1(1－q2)＝－3， 兩式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1， 所以a4＝a1q3＝－

11、8. 答案：－8 3．(2018屆高三·河南十校聯(lián)考)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4S4，則a10＝________. 解析：∵{an}是公差為1的等差數(shù)列， ∴S8＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4， ∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， ∴a10＝a1＋9d＝＋9＝. 答案： 考點(diǎn)(三) 主要考查利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量及與前n項(xiàng)和有關(guān)的最值問題. 等差、等比數(shù)列的性質(zhì) [典例感悟] [典例]　(1)(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3

12、＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12＝(　　) A．40 B．60 C．32 D．50 (2)(2017·長沙模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，則a＋2a2a6＋a3a7＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．8－4 (3)(2018屆高三·湖南名校聯(lián)考)若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是(　　) A．2 016 B．2 017 C．4 032 D．4 033 [解析]　(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S

13、3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，所以S9－S6＝16，S12－S9＝32，所以S12＝(S12－S9)＋(S9－S6)＋(S6－S3)＋S3＝32＋16＋8＋4＝60，故選B. (2)在等比數(shù)列{an}中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8，故選C. (3)因?yàn)閍1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝＝>0，S4 033＝＝4

14、 033a2 017<0，所以使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 032，故選C. [答案]　(1)B　(2)C　(3)C [方法技巧] 等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略 (1)解題關(guān)鍵：抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解． (2)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題． [演練沖關(guān)] 1．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，前10項(xiàng)和等于前5項(xiàng)和，若am＋a6＝0，則m＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．2 解析：選A　記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

15、Sn，由題意S10＝S5，所以S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，又a6＋a10＝a7＋a9＝2a8，于是a8＝0，又am＋a6＝0，所以m＋6＝2×8，解得m＝10. 2．(2017·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝.若對任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－8，－7) B．[－8，－7) C．(－8，－7] D．[－8，－7] 解析：選A　因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，所以an＝n＋a－1，因?yàn)閎n＝＝1＋，又對任意的n∈N*都有bn≥b8成立，所以1＋≥1＋，即

16、≥對任意的n∈N*恒成立，因?yàn)閿?shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，所以{an}是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以即解得－8

17、 主要考查等差、等比數(shù)列相結(jié)合的基本量的計(jì)算以及數(shù)列有關(guān)最值問題的求解. 等差、等比數(shù)列的綜合問題 [典例感悟] [典例]　(1)(2018屆高三·西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan的值為(　　) A．－ B．－1 C．－ D． (2)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，記數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn.若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)，則＝________. [解析]　(1)依題意得，a＝(－)3，a6＝－，3b6＝7π，b6＝，所以＝＝－， 故tan

18、 ＝tan ＝tan ＝－tan ＝－. (2)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q. 由a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)， 得解得 故＝＝＝＝－. [答案]　(1)A　(2)－ [方法技巧] 等差、等比數(shù)列綜合問題的求解策略 (1)對于等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運(yùn)用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)等性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便． (2)數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列的有關(guān)最值問題． [演練沖關(guān)] 1．(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a

19、1－1，a3－3，a5－5依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：選C　依題意，得2a3＝a1＋a5,2a3－6＝a1＋a5－6，即2(a3－3)＝(a1－1)＋(a5－5)，所以a1－1，a3－3，a5－5成等差數(shù)列．又a1－1，a3－3，a5－5依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，因此有a1－1＝a3－3＝a5－5，q＝＝1. 2．(2017·望江調(diào)研)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ，已知S10＝0，S15＝25，則nSn 的最小值為(　　) A．－47 B．－48 C．－49 D．－50 解析：選C　由已知得

20、 解得那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函數(shù)f(x)＝－在x＝處取得極小值，又6<<7，從而檢驗(yàn)n＝6時，6S6＝－48，n＝7時，7S7＝－49.所以nSn 的最小值為－49. 3．(2017·太原模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和S6＝6，且1－為a1，a3的等差中項(xiàng)，則a7＋a8＋a9＝________. 解析：依題意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，由等比數(shù)列的性質(zhì)，知數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，即數(shù)列2,4，S9－S6成等比數(shù)列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8. 答案：8 [必備知能·自主補(bǔ)缺]

21、 (一) 主干知識要記牢 1．等差數(shù)列、等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項(xiàng)公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前n項(xiàng)和公式 Sn＝＝ na1＋d (1)q≠1，Sn＝＝； (2)q＝1，Sn＝na1 2．判斷等差數(shù)列的常用方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (2)通項(xiàng)公式法：an＝pn＋q(p，q為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)中項(xiàng)公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)

22、列． (4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． 3．判斷等比數(shù)列的常用方法 (1)定義法：＝q(q是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (2)通項(xiàng)公式法：an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (3)中項(xiàng)公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (二) 二級結(jié)論要用好 1．等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝

23、0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)連續(xù)k項(xiàng)的和(如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列． (4)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝. (5)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m－1，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝. [針對練1]　一個等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝

24、________. 解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d. 由已知條件，得 解得 又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5. 答案：5 2．等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)an＝a1qn－1＝amqn－m；p＋q＝m＋n?ap·aq＝am·an. (2){an}，{bn}成等比數(shù)列?{anbn}成等比數(shù)列． (3)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意：這連續(xù)m項(xiàng)的和必須非零才能成立)． (4)若等比數(shù)列有2n項(xiàng)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則＝q. (5)對于等比數(shù)列前n

25、項(xiàng)和Sn，有： ①Sm＋n＝Sm＋qmSn； ②＝(q≠±1)． (三) 易錯易混要明了 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求an，易忽視n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事實(shí)上，當(dāng)n＝1時，a1＝S1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1. [針對練2]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為________． 解析：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又當(dāng)n＝1時，2×1－1＝1≠2. ∴an＝ 答案：an＝ [課時跟蹤檢測]

26、 A組——12＋4提速練 一、選擇題 1．(2017·成都模擬)在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，則a5＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 解析：選B　∵a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78，解得q2＝3，∴a5＝a3q2＝6×3＝18.故選B. 2．(2017·蘭州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，則S9＝(　　) A．36 B．72 C．144 D．288 解析：選B

27、　∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，∴S9＝＝72. 3．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選C　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則由得 即解得d＝4. 4．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S1＝a2－，S2＝a3－，則公比q＝(　　) A．1 B．4 C．4或0 D．8 解析：選B　∵S1＝a2－，S2＝a3－， ∴ 解得或(舍去)， 故所求的公比q＝4. 5．已知Sn是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且S1，S

28、2，S4成等比數(shù)列，則的值為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：選C　設(shè)數(shù)列的公差為d，則S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以＝＝＝8. 6．(2018屆高三·湖南十校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝(　　) A．72 B．88 C．92 D．98 解析：選C　由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，所以數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝＝＝92. 7．已知數(shù)列滿足an＋1＝若a1＝，則a2 0

29、18＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　因?yàn)閍1＝，根據(jù)題意得a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，所以數(shù)列以4為周期，又2 018＝504×4＋2，所以a2 018＝a2＝，故選A. 8．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選D　設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則第2,3,4項(xiàng)分別為a1q，a1q2，a1q3，依題意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1·a1q·a1q2·a1q3＝，化簡得aq3＝，則＋＋＋＝＝2. 9．(2017·廣州模擬)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，

30、且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，所以＝＝＝＝＝，故選A. 10．(2017·張掖模擬)等差數(shù)列{an}中，是一個與n無關(guān)的常數(shù)，則該常數(shù)的可能值的集合為(　　) A．{1} B. C. D. 解析：選B　＝＝，若a1＝d≠0，則＝；若a1≠0，d＝0，則＝1.∵a1－d＋nd≠0，∴≠0，∴該常數(shù)的可能值的集合為. 11．(2018屆高三·湖南十校聯(lián)考)等差數(shù)列{an

31、}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1<0，若存在自然數(shù)m≥3，使得am＝Sm，則當(dāng)n>m時，Sn與an的大小關(guān)系是(　　) A．Snan D．大小不能確定 解析：選C　若a1<0，存在自然數(shù)m≥3，使得am＝Sm，則d>0，否則若d≤0，數(shù)列是遞減數(shù)列或常數(shù)列，則恒有Sm0，當(dāng)m≥3時，有am＝Sm，因此am>0，Sm>0，又Sn＝Sm＋am＋1＋…＋an，顯然Sn>an.故選C. 12．(2017·洛陽模擬)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為，公比為－，前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)n∈N*時，Sn－的最大值與最小值之和為(　　

32、) A．－ B．－ C. D. 解析：選C　依題意得，Sn＝＝1－n.當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝1＋隨著n的增大而減小，1

33、n＋1－2an)2＝0，所以an＋1＝2an，又因?yàn)閍1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故S9＝＝210－2＝1 022. 答案：1 022 14．(2017·蘭州模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n≥2時，有＝1成立，則S2 017＝________. 解析：當(dāng)n≥2時，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S＝－SnSn－1，∴－＝1，又＝2，∴是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴＝n＋1，故Sn＝，則S2 017＝. 答案： 15．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4

34、＝5，則a1a2…an的最大值為________． 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8. 故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n· ＝23n－＋＝2－＋n. 記t＝－＋＝－(n2－7n)＝－2＋， 結(jié)合n∈N*可知n＝3或4時，t有最大值6. 又y＝2t為增函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64. 答案：64 16．(2017·廣州模擬)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝2，對任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap＋aq，則f(n)＝(n∈N*)的最小值

35、為________． 解析：a1＝2，對任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap＋aq，令p＝1，q＝n，則有an＋1＝an＋a1＝an＋2.故{an}是等差數(shù)列，所以an＝2n，Sn＝2×＝n2＋n，f(n)＝＝＝＝n＋1＋－1.當(dāng)n＋1＝8，即n＝7時，f(7)＝8＋－1＝；當(dāng)n＋1＝7，即n＝6時，f(6)＝7＋－1＝，因?yàn)?，則f(n)＝(n∈N*)的最小值為. 答案： B組——能力小題保分練 1．若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值為(　　) A．6 B

36、．7 C．8 D．9 解析：選D　不妨設(shè)a＞b，由題意得 ∴a＞0，b＞0， 則a，－2，b成等比數(shù)列，a，b，－2成等差數(shù)列， ∴∴∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9. 2．(2017·鄭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且對任意n∈N*都有＋＋…＋

37、. 3．(2017·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 依題意有解得 所以Sn＝，＝＝2， 因此＝2＝. 答案： 4．(2017·蘭州模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，當(dāng)n≥2時，有bn＝bn－1＋an－1，則b2 018＝________. 解析：由bn＝bn－1＋an－1，得bn－bn－1＝an－1，∴b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，∴b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即b

38、n－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，∵b1＝0，∴bn＝，∴b2 018＝. 答案： 5．(2017·石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{an}為，，，，，，，，，，…，，，…，，…，若Sk＝14，則ak＝________. 解析：因?yàn)椋剑剑?，＋＋…＋＝＝，所以?shù)列，＋，＋＋，…，＋＋…＋是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以該數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn＝＋1＋＋…＋＝.令Tn＝＝14，解得n＝7(n＝－8舍去)，所以ak＝. 答案： 6．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，a1＝1，b1＝1.設(shè)cn

39、＝＋，則數(shù)列{cn}的前2 018項(xiàng)和為________． 解析：由已知an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－得an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，又a1＋b1＝2，所以數(shù)列{an＋bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即an＋bn＝2n，將an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－相乘并化簡，得an＋1bn＋1＝2anbn，即＝2.所以數(shù)列{anbn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以anbn＝2n－1，因?yàn)閏n＝＋，所以cn＝＝＝2，數(shù)列{cn}的前2 018項(xiàng)和為2×2 018＝4 036. 答案：4 036 第二講 大題考法——數(shù)　列 題型(一) 主要考查等

40、差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求解，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題. 等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算 [典例感悟] [典例1]　(2017·全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若T3＝21，求S3. [解]　設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q， 則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝2得d＋q＝3. ① (1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6. ② 聯(lián)立①②解得(舍去)或 因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式

41、為bn＝2n－1. (2)由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0， 解得q＝－5或q＝4. 當(dāng)q＝－5時，由①得d＝8，則S3＝21. 當(dāng)q＝4時，由①得d＝－1，則S3＝－6. [備課札記]　

42、 　 [方法技巧] 等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略 (1)分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問題需要先求解的中間問題．如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，即確定解題的邏輯次序． (2)注意細(xì)節(jié)．例如：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，若等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能；在數(shù)列的通項(xiàng)問題中，第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個公式表

43、示等． [演練沖關(guān)] 1．(2017·洛陽模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)． (1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)令n＝1得2a1a2＝4a1－3，又a1＝1，∴a2＝. 由題可得，2anan＋1＝4Sn－3，① 2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.② ②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1. ∵an≠0，∴an＋2－an＝2. (2)由(1)可知：數(shù)列a1，a3，a5，…，a2k－1，…為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1，∴a2k－1＝1＋2(

44、k－1)＝2k－1，即n為奇數(shù)時，an＝n. 數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為，∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n為偶數(shù)時，an＝n－. 綜上所述，an＝ 題型(二) 主要考查錯位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和以及分組求和，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式、周期等命題. 數(shù) 列 求 和 問 題 [典例感悟] [典例2]　等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n. [解]　

45、(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q， 則由得 解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1. (2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)， 則cn＝ 即cn＝ 所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝＋＋…＋＋(2＋23＋…＋22n－1) ＝1－＋＝＋(4n－1)． [備課札記]　

46、 　 [方法技巧] 1．分組求和中分組的策略 (1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組． (2)根據(jù)正號、負(fù)號分組． 2．裂項(xiàng)相消的規(guī)律 (1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差． (2)裂項(xiàng)相消后前、后保留的項(xiàng)數(shù)一樣多． 3．錯位相減法的關(guān)注點(diǎn) (1)適用題型：等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}對應(yīng)項(xiàng)相乘({an·bn})型數(shù)列求和． (2)步驟： ①求和

47、時先乘以數(shù)列{bn}的公比； ②將兩個和式錯位相減； ③整理結(jié)果形式． [演練沖關(guān)] 2．(2017·合肥質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S4＝24，S7＝63. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝2an＋an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)∵{an}為等差數(shù)列， ∴解得 ∴an＝2n＋1. (2)∵bn＝2an＋an＝22n＋1＋(2n＋1)＝2×4n＋(2n＋1)， ∴Tn＝2×(4＋42＋…＋4n)＋(3＋5＋…＋2n＋1) ＝2×＋ ＝(4n－1)＋n2＋2n. 3．(2017·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列，前

48、n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和(n∈N*)． 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q. 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12， 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0. 又因?yàn)閝＞0，解得q＝2. 所以bn＝2n. 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.① 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.② 由①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.

49、所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n. (2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和為Tn， 由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1， 得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1， 上述兩式相減，得 －3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1 ＝－4－(3n－1)×4n＋1 ＝－(3n－2)×4n＋1－8. 故Tn＝×4n＋1＋. 所以數(shù)列{a2nb2

50、n－1}的前n項(xiàng)和為×4n＋1＋. 題型(三) 主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)，且常與數(shù)列的遞推公式相結(jié)合命題. 等差、等比數(shù)列的判定與證明 [典例感悟] [典例3]　(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列． [解]　(1)設(shè){an}的公比為q. 由題設(shè)可得解得 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n. (2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2＝2Sn，故Sn＋1，

51、Sn，Sn＋2成等差數(shù)列． [備課札記]　 　

52、 [方法技巧] 判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法 (1)定義法：對于n≥1的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an＋1－an為與正整數(shù)n無關(guān)的某一常數(shù)． (2)中項(xiàng)公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數(shù)列； ②若a＝an－1·an＋1≠0(n∈N*，n≥2)，則{an}為等比數(shù)列． [演練沖關(guān)] 4．(2018屆高三·東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝. (1)求證：是等比數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

53、 解：(1)證明：記bn＝－1，則＝＝＝＝＝， 又b1＝－1＝－1＝，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． 所以－1＝×n－1，即an＝. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知，＝×n－1＋1. 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn＝＋n＝＋n. [解題通法點(diǎn)撥] 數(shù)列問題重在“化歸” [循流程思維——入題快] 等差數(shù)列與等比數(shù)列是我們最熟悉的兩個基本數(shù)列，在高中階段它們是一切數(shù)列問題的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)．首項(xiàng)與公差(比)稱為等差(比)數(shù)列的基本量，大凡涉及這兩個數(shù)列的問題，我們總希望把已知條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量

54、間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的．這種化歸為基本量處理的方法是解決等差或等比數(shù)列問題特有的方法，對于不是等差或等比的數(shù)列，可通過轉(zhuǎn)化化歸，轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列問題或相關(guān)問題求解．由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也可根據(jù)題目特點(diǎn)，將數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題來解決． [按流程解題——快又準(zhǔn)] [典例]　(2015·全國卷Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． [解題示范]　 (1)由a＋2an＝4Sn＋3，① 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.② ②－①，得a－a＋2(an＋

55、1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a ＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由an>0，得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3， 解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝ ＝. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＋ ＋…＋－ ＝. [思維升華]　對于數(shù)列的備考：一是準(zhǔn)確掌握數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系，這是解決數(shù)列問題的基礎(chǔ)；二是重視等差與等比數(shù)列的復(fù)習(xí)，熟悉其基本概念、公式和性質(zhì)，這是解決數(shù)列問題

56、的根本；三是注意數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合問題，掌握解決此類問題的通法；四是在知識的復(fù)習(xí)和解題過程中體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想等． [應(yīng)用體驗(yàn)] (2017·張掖模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝，其中n∈N*，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn＋的值． 解：(1)由題意知a1＝1， ∵an＝－3Sn＋4，∴an＋1＝－3Sn＋1＋4. 兩式相減并化簡得an＋1＝an， ∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為

57、的等比數(shù)列，∴an＝n－1. bn＝－log2an＋1＝－log2n＝2n. (2)∵cn＝＝＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋， ① Tn＝＋＋…＋＋， ② ①－②得，Tn＝＋＋＋…＋－ ＝1－. ∴Tn＝2－，即Tn＋＝2. [課時跟蹤檢測] 1．(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log4an＋1，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)

58、當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 當(dāng)n＝1時，a1＝2－1＝1，滿足an＝2n－1， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝， 則bn＋1－bn＝－＝， 又b1＝log4a1＋1＝1， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差d＝的等差數(shù)列， ∴Tn＝nb1＋d＝. 2．(2017·福州質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其公差為2，a2a4＝4a3＋1. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a3＋a9＋…＋a3n. 解：(1)依題意知，an＝a1＋2(n－1)，an>0.因?yàn)閍2a4＝4a3＋1

59、，所以(a1＋2)(a1＋6)＝4(a1＋4)＋1，所以a＋4a1－5＝0，解得a1＝1或a1＝－5(舍去)，所以an＝2n－1. (2)a1＋a3＋a9＋…＋a3n＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1)＝2×(1＋3＋32＋…＋3n)－(n＋1)＝2×－(n＋1)＝3n＋1－n－2. 3．(2017·濟(jì)南模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝511,4an＝an－1－3(n≥2)． (1)求證：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝|log2(an＋1)|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)證明：當(dāng)n≥2時，由4

60、an＝an－1－3得an＋1＝(an－1＋1)，所以數(shù)列{an＋1}是以512為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以an＋1＝512×n－1＝211－2n，an＝211－2n－1. (2)bn＝|11－2n|，設(shè)數(shù)列{11－2n}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝10n－n2. 當(dāng)n≤5時，Sn＝Tn＝10n－n2；當(dāng)n≥6時，Sn＝2S5－Tn＝n2－10n＋50.所以Sn＝ 4．(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)∵Sn＝

61、2an－a1， ① ∴當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－a1； ② ①－②得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1. 由a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，得2(a2＋1)＝a1＋a3，∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．∴an＝2n. (2)∵an＝2n，∴Sn＝2an－a1＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2. ∴bn＝＝＝. ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝＝＝. 5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)設(shè)cn＝an－1

62、，求證：{cn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)證明：∵an＋Sn＝n， ① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，當(dāng)n＝1時，a1＋S1＝1，∴a1＝，a1－1＝－，又cn＝an－1，∴{cn}是首項(xiàng)為－，公比為的等比數(shù)列． (2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.∴當(dāng)n≥2時，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝也符合上式，∴bn＝n，Tn＝＝1－n. 第三

63、講 創(chuàng)新考法與思想方法 [常見創(chuàng)新考法] 創(chuàng)新點(diǎn)(一)　創(chuàng)新命題情景考應(yīng)用能力 [典例1]　如果一個數(shù)列的每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝3，公和為4，那么數(shù)列{an}的前25項(xiàng)和S25的值為________． [解析]　由題意知，an＋an＋1＝4，且a1＝3，所以a1＋a2＝4，得a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，a24＝1，a25＝3，即數(shù)列{an}是周期為2

64、的數(shù)列，所以S25＝(3＋1)＋(3＋1)＋…＋(3＋1)＋3＝12×4＋3＝51. [答案]　51 [點(diǎn)評]　本題通過新定義“等和數(shù)列”考查了學(xué)生利用歸納推理解決新問題的能力．本題的實(shí)質(zhì)是考查與周期有關(guān)的數(shù)列求和問題． [演練沖關(guān)] 1．根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足關(guān)系式Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是(　　) A．5,6月 B．6,7月 C．7,8月 D．8,9月 解析：選C　當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝不滿足題意；當(dāng)n≥2時，第n個月的需求量

65、an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋15n－9)，解不等式(－n2＋15n－9)>1.5，得6100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是(　　) A．440 B．330 C．

66、220 D．110 解析：選A　設(shè)第一項(xiàng)為第1組，接下來的兩項(xiàng)為第2組，再接下來的三項(xiàng)為第3組，依此類推，則第n組的項(xiàng)數(shù)為n，前n組的項(xiàng)數(shù)和為. 由題意可知，N>100，令>100， 得n≥14，n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后． 易得第n組的所有項(xiàng)的和為＝2n－1，前n組的所有項(xiàng)的和為－n＝2n＋1－n－2. 設(shè)滿足條件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)組，且第N項(xiàng)為第k＋1組的第t(t∈N*)個數(shù)， 若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則第k＋1組的前t項(xiàng)的和2t－1應(yīng)與－2－k互為相反數(shù)， 即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)， ∴當(dāng)t＝4，k＝13時，N＝＋4＝95<100，不滿足題意；當(dāng)t＝5，k＝29時，N＝＋5＝440； 當(dāng)t>5時，N>440，故選A. 創(chuàng)新點(diǎn)(二)　創(chuàng)新命題角度考遷移能力 [典例2]　(1)對于函數(shù)y＝f(x)，部分x與y的對應(yīng)關(guān)系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 7 5 9 6 1 8 2 4 數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，且對于任