《（江蘇專(zhuān)用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題六 第3講 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專(zhuān)用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題六 第3講 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案 理（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講　基本不等式及其應(yīng)用 高考定位　高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有(1)基本不等式的證明過(guò)程，A級(jí)要求；(2)利用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題，C級(jí)要求. 真 題 感 悟 1.(2017·江蘇卷)某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是________. 解析　一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，當(dāng)且僅當(dāng)＝4x，即x＝30時(shí)，y有最小值240. 答案　30 2.(2018·江蘇卷)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC＝12

2、0°，∠ABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為_(kāi)_______. 解析　因?yàn)椤螦BC＝120°，∠ABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面積公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化簡(jiǎn)得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，則4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)c＝2a時(shí)取等號(hào)，故4a＋c的最小值為9. 答案　9 3.(2016·江蘇卷)已知函數(shù)f(x)＝2x＋，若對(duì)于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_______. 解析　由條件知

3、f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2. ∵f(2x)≥mf(x)－6對(duì)于x∈R恒成立，且f(x)>0， ∴m≤對(duì)于x∈R恒成立. 又＝f(x)＋≥2＝4，且＝4， ∴m≤4，故實(shí)數(shù)m的最大值為4. 答案　4 4.(2016·江蘇卷)在銳角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是________. 解析　因?yàn)閟in A＝2sin Bsin C，所以sin(B＋C)＝2sin Bsin C， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 等式兩邊同時(shí)除以cos

4、Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C. 又因?yàn)閠an A＝－tan(B＋C)＝， 所以tan Atan Btan C－tan A＝2tan Btan C，即tan Btan C(tan A－2)＝tan A. 因?yàn)锳，B，C為銳角，所以tan A，tan B，tan C>0，且tan A>2， 所以tan Btan C＝，所以原式＝. 令tan A－2＝t(t>0)，則＝＝＝t＋＋4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2， 即tan A＝4時(shí)取等號(hào).故tan Atan Btan C的最小值為8. 答案　8 考 點(diǎn) 整 合 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件

5、：a≥0，b≥0； (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)； (3)其中稱(chēng)為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù). 2.幾個(gè)重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)； (2)ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)； (3)≥(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)； (4)＋≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào). 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小)； (2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有

6、最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大). 熱點(diǎn)一　配湊法求最值 【例1】 (1)一段長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18 m，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為_(kāi)_______m，寬為_(kāi)_______m時(shí)菜園面積最大. (2)(2018·南京、鹽城一模)若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，則的最小值為_(kāi)_______. 解析　(1)設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，寬為y m，則x＋2y＝30.所以S＝xy＝x·(2y)≤ ＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝15，y＝時(shí)取等號(hào). (2)因?yàn)閘og2x＋log2y＝log2xy＝1，所以xy＝2.因?yàn)閤＞y＞0，所以x－y＞0.所以＝＝x

7、－y＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－y＝2時(shí)取等號(hào). 答案　(1)15　　(2)4 探究提高　(1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿(mǎn)足等號(hào)成立的條件. (2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式. 【訓(xùn)練1】 (1)(2017·宿遷期末)若函數(shù)f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a處取最小值，則a＝________. (2)若對(duì)x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析　(1

8、)當(dāng)x＞2時(shí)，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x＞2)，即x＝3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，即a＝3. (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在[1，＋∞)的最小值為g(1)＝，因此對(duì)x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)min＝. 答案　(1)3　(2) 熱點(diǎn)二　常數(shù)代換或消元法求最值 【例2】 (1)(2018·蘇州期末)已知正實(shí)數(shù)a，b，c，滿(mǎn)足＋＝1，＋＝1，則c的取值范圍是________. (2)若正數(shù)x，y滿(mǎn)足x＋3y＝5

9、xy，則3x＋4y的最小值為_(kāi)_______. 解析　(1)因?yàn)閍＋b＝(a＋b)＝2＋＋∈[4，＋∞)， 所以∈，從而＝1－∈，得c∈. (2)法一　由x＋3y＝5xy及x，y均為正數(shù)可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5.(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1，y＝時(shí)，等號(hào)成立)， ∴3x＋4y的最小值是5. 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，∵x>0，y>0，∴y>， ∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4 ≥＋2＝5，當(dāng)且僅當(dāng)y＝時(shí)等號(hào)成立， ∴(3x＋4y)min＝5. 答案　(1)　(2)5 探究提高　條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建

10、立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解. 【訓(xùn)練2】 (1)設(shè)a＞0，b＞0.若a＋b＝1，則＋的最小值是________. (2)(2018·南京模擬)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為_(kāi)_______. 解析　(1)由題意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即a＝b＝時(shí)，取等號(hào)，所以最小值為4. (2)法一　(消元法) 由已知得x＝.因?yàn)閤＞0，y＞0，所以0＜y＜3， 所以x＋3

11、y＝＋3y＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3時(shí)，(x＋3y)min＝6. 法二　∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時(shí)等號(hào)成立.設(shè)x＋3y＝t＞0，則t2＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故當(dāng)x＝3，y＝1時(shí)，(x＋3y)min＝6. 答案　(1)4　(2)6 熱點(diǎn)三　基本不等式的綜合應(yīng)用 【例3】 (1)設(shè)x，y，z均為大于1的實(shí)數(shù)，且z為x和y的等比中項(xiàng)，則＋的最小值為_(kāi)_______. (2)(2016·蘇州暑假測(cè)試)設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，P

12、是棱AB上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，且點(diǎn)P到平面ACD，平面BCD的距離分別為x，y，則＋的最小值是________. 解析　(1)由題意得z2＝xy，lg x>0，lg y>0， ∴＋＝＋＝＋＋＋ ＝＋＋≥＋2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即lg y＝2lg x，即y＝x2時(shí)取等號(hào). (2)過(guò)點(diǎn)A作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O，則O為△BCD的重心， 所以O(shè)B＝××＝，所以AO＝＝2. 又VP－BCD＋VP－ACD＝VA－BCD，所以S△BCD·y＋S△ACD·x＝S△BCD·2，即x＋y＝2. 所以＋＝(x＋y)＝≥2＋，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3－，y＝－1時(shí)取等號(hào). 答案　(1)　(2)2＋

13、 探究提高　基本不等式在涉及求最值的問(wèn)題中常常與數(shù)列、幾何、函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)綜合命題，體現(xiàn)了基本不等式的工具作用，在涉及求含參的問(wèn)題中常常與恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題綜合考查，但要注意等號(hào)的條件. 【訓(xùn)練3】 (1)函數(shù)y＝1－2x－(x＜0)的值域?yàn)開(kāi)_______. (2)若不等式x＋2≤a(x＋y)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_______. 解析　(1)∵x＜0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)y＝1－2x－(x＜0)的值域?yàn)閇1＋2，＋∞). (2)由題意得a≥＝恒成立.令t＝(t>0)，則a≥，

14、 再令1＋2t＝u(u>1)，則t＝，故a≥＝. 因?yàn)閡＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)u＝時(shí)等號(hào)成立)，故u＋－2≥2－2， 從而0<≤＝，故a≥，即amin＝. 答案　(1)[1＋2，＋∞)　(2) 1.多次使用基本不等式的注意事項(xiàng) 當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法. 2.基本不等式除了在客觀題考查外，在解答題的關(guān)鍵步驟中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先變換形式才能應(yīng)用. 3.基本不等式作為求最值的一個(gè)有力工具

15、常與其他知識(shí)點(diǎn)綜合命題，注意含參數(shù)問(wèn)題在恒成立、存在性問(wèn)題中的合理轉(zhuǎn)化. 一、填空題 1.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知a＞0，b＞0，且＋＝，則ab的最小值是________. 解析　因?yàn)椋剑?，所以ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，取等號(hào). 答案　2 2.若0

16、時(shí)，y取到最小值2. 答案　2 4.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為_(kāi)_______. 解析　由題知a－3b＝－6，因?yàn)?a>0，8b>0，所以2a＋≥2×＝2×＝2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝，即a＝－3，b＝1時(shí)取等號(hào). 答案　 5.(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，則x2＋y2的取值范圍是________. 解析　法一　∵x≥0，y≥0且x＋y＝1.∴2≤x＋y＝1，從而0≤xy≤，因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，所以≤x2＋y2≤1. 法二　可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的范圍，AB上的點(diǎn)到原

17、點(diǎn)距離的范圍為，則x2＋y2的取值范圍為. 答案　 6.若對(duì)于任意x＞0，≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析　＝，因?yàn)閤＞0，所以x＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))， 則≤＝，即的最大值為，故a≥. 答案　 7.(2018·鹽城中學(xué)月考)設(shè)a是1＋2b與1－2b的等比中項(xiàng)，則的最大值為_(kāi)_______. 解析　依題意，a2＝1－4b2，故a2＋4b2＝1≥4ab，故ab≤，≤≤，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立. 答案　 8.(2018·蘇北四市調(diào)研)已知a，b∈R，a＋b＝4，則＋的最大值為_(kāi)_______. 解析　法一(ab作為一個(gè)變?cè)?　ab≤＝4，＋＝＝

18、＝.設(shè)t＝9－ab≥5，則＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝80時(shí)等號(hào)成立，所以，＋的最大值為. 法二(均值換元)　因?yàn)閍＋b＝4，所以，令a＝2＋t，b＝2－t，則f(t)＝＋＝＋＝，令u＝t2＋5≥5，則g(u)＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)u＝4時(shí)等號(hào)成立.所以＋的最大值為. 答案　 二、解答題 9.(2017·南京、鹽城調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0). (1)若不等式f(x)>0的解集為(－1，3)，求a，b的值； (2)若f(1)＝2，a>0，b>0，求＋的最小值. 解　(1)由題意得即解得 (2)因?yàn)閒(1)＝2，所以a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，

19、 當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a＝時(shí)取等號(hào).所以，＋的最小值為9. 10.(1)當(dāng)點(diǎn)(x，y)在直線(xiàn)x＋3y－4＝0上移動(dòng)時(shí)，求3x＋27y＋2的最小值； (2)已知x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值. 解　(1)由x＋3y－4＝0，得x＋3y＝4， 所以3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2≥2＋2＝2＋2＝2＋2＝20， 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝33y且x＋3y－4＝0， 即x＝2，y＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)所求的最小值為20. (2)由x＋y－3xy＋5＝0，得x＋y＋5＝3xy， 所以2＋5≤x＋y＋5＝3xy，所以3xy－2－5≥0， 所以(＋1)(3－5)≥0，所以≥，即xy≥， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號(hào)，故xy的最小值是. 11.已知函數(shù)f(x)＝(x≠a，a為非零常數(shù)). (1)解不等式f(x)a時(shí)，f(x)有最小值為6，求a的值. 解　(1)f(x)0時(shí)，(x－a)<0，∴解集為； 當(dāng)a<0時(shí)，(x－a)>0，解集為. (2)設(shè)t＝x－a，則x＝t＋a(t>0). ∴f(t)＝＝t＋＋2a≥2＋2a＝2＋2a. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝時(shí)，等號(hào)成立，即f(x)有最小值2＋2a. 依題意有2＋2a＝6，解得a＝1. 10