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(江蘇專用)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第42講 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案

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1、 第42講 基本不等式及其應(yīng)用 考試要求 1.基本不等式的證明過程(A級要求);2.利用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題(C級要求).應(yīng)關(guān)注利用基本不等式把等式轉(zhuǎn)化為不等式,然后研究最值問題. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)當(dāng)a≥0,b≥0時(shí),≥.(  ) (2)兩個(gè)不等式a2+b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.(  ) (3)函數(shù)y=x+的最小值是2.(  ) (4)函數(shù)f(x)=sin x+的最小值為2.(  ) (5)x>0且y>0是+≥2的充要條件.(  ) 解析 (2)不等式a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R;

2、不等式≥成立的條件是a≥0,b≥0. (3)函數(shù)y=x+值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),沒有最小值. (4)函數(shù)f(x)=sin x+的最小值為-5. (5)x>0且y>0是+≥2的充分條件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2.(教材改編)設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為________. 解析 ∵x>0,y>0,∴≥, 即xy≤=81, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=9時(shí),(xy)max=81. 答案 81 3.(教材改編)若00, 故=· ≤·=, 當(dāng)且僅

3、當(dāng)x=時(shí),上式等號成立. ∴0<≤. 答案  4.(必修5P106習(xí)題16改編)已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,那么+的最小值為____________. 解析 因?yàn)閤>0,y>0,x+2y=1, 所以+=(x+2y)=1+2++≥3+2=3+2,當(dāng)且僅當(dāng)x2=2y2時(shí)取得最小值3+2. 答案 3+2 5.(教材改編)①若x∈(0,π),則sin x+≥2;②若a,b∈(0,+∞),則lg a+lg b≥2;③若x∈R,則≥4.其中正確結(jié)論的序號是________. 解析?、僖?yàn)閤∈(0,π),所以sin x∈(0,1], 所以①成立; ②只有在lg a>0,lg b>0,

4、 即a>1,b>1時(shí)才成立; ③=|x|+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=±2時(shí)“=”成立. 答案 ①③ 知 識 梳 理 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0. (2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號. (3)適用于求含兩個(gè)代數(shù)式的最值. 2.幾個(gè)重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2)+≥2(a,b同號). (3)ab≤,(a,b∈R). (4)≥(a,b∈R). (以上不等式要根據(jù)條件合理選擇其中之一) 以上不等式等號成立的條件均為a=b. 3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何

5、平均數(shù)為,基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù),當(dāng)兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)兩者相等. 4.利用基本不等式求最值問題 已知x>0,y>0,則 (1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),x+y有最小值2(簡記:積定和最小). (2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),xy有最大值(簡記:和定積最大). 考點(diǎn)一 利用基本不等式求最值(多維探究) 命題角度1 配湊法求最值 【例1-1】 (1)已知01

6、)的最小值為________. 解析 (1)x(4-3x)=·(3x)(4-3x)≤·=, 當(dāng)且僅當(dāng)3x=4-3x,即x=時(shí),取等號. (2)因?yàn)閤<,所以5-4x>0, 則f(x)=4x-2+=-(5-4x+)+3≤-2+3=1. 當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí),等號成立. 故f(x)=4x-2+的最大值為1. (3)由于x>1,故y== = =(x-1)++2≥2+2. 當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=+1時(shí),等號成立. 答案 (1) (2)1 (3)2+2 命題角度2 常數(shù)代換或消元法求最值 【例1-2】 (1)(2018·鹽城模擬)已知正數(shù)x,y滿足x+2y-xy=0

7、,則x+2y的最小值為________. (2)(一題多解)(2018·南京模擬)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為________. (3)(2017·蘇州期末)已知ab=,a,b∈(0,1),那么+的最小值為________. 解析 (1)由x+2y-xy=0,得+=1,且x>0,y>0. ∴x+2y=(x+2y)×=++4≥4+4=8. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=4,y=2時(shí)等號成立. (2)法一 (消元法) 由已知得x=. 因?yàn)閤>0,y>0,所以0<y<3, 所以x+3y=+3y =+3(y+1)-6≥2-6=6, 當(dāng)且僅當(dāng)=3(y+1),

8、即y=1,x=3時(shí),(x+3y)min=6. 法二 ∵x>0,y>0, 9-(x+3y)=xy=x·(3y)≤·, 當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時(shí)等號成立. 設(shè)x+3y=t>0,則t2+12t-108≥0, ∴(t-6)(t+18)≥0, 又∵t>0,∴t≥6.故當(dāng)x=3,y=1時(shí),(x+3y)min=6. (3)因?yàn)閎=,a∈(0,1), 所以+=+=++2=+2. 令2a+1=t,則a=,原式=+2=+2≥+2=4+,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即a=∈(0,1)時(shí)取等號, 故原式的最小值為4+. 答案 (1)8 (2)6 (3)4+ 規(guī)律方法 (1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提:

9、“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù),“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),和或積為定值,“三相等”是指滿足等號成立的條件. (2)在利用基本不等式求最值時(shí),要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式. (3)條件最值的求解通常有三種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是對條件使用基本不等式,建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解. 易錯(cuò)警示 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意應(yīng)用條件;(2)盡量避免多次使用基

10、本不等式,若必須多次使用,一定要保證等號成立的條件一致. 【訓(xùn)練1】 (1)(一題多解)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是________. (2)設(shè)a+b=2,b>0,則+取最小值時(shí),a的值為________. 解析 (1)法一 由x+3y=5xy及x,y均為正數(shù)可得+=1, ∴3x+4y=(3x+4y) =+++≥+=5. (當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1,y=時(shí),等號成立), ∴3x+4y的最小值是5. 法二 由x+3y=5xy,得x=, ∵x>0,y>0,∴y>, ∴3x+4y=+4y=+4y =+·+4 ≥+2=5, 當(dāng)且僅當(dāng)y=時(shí)等號成立,∴(

11、3x+4y)min=5. (2)∵a+b=2,b>0, ∴+=+ =+ =++≥+2=+1, 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號成立. 又a+b=2,b>0, ∴當(dāng)b=-2a,a=-2時(shí),+取得最小值. 答案 (1)5 (2)-2 考點(diǎn)二 基本不等式的綜合應(yīng)用 【例2】 (1)設(shè)x,y,z均為大于1的實(shí)數(shù),且z為x和y的等比中項(xiàng),則+的最小值為________. (2)設(shè)正四面體ABCD的棱長為,P是棱AB上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),且點(diǎn)P到平面ACD,平面BCD的距離分別為x,y,則+的最小值是________. 解析 (1)由題意得z2=xy,lg x>0,lg y>0, ∴

12、+=+ =+++ =++ ≥+2=, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即lg y=2lg x, 即y=x2時(shí)取等號. (2)過點(diǎn)A作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O,則O為△BCD的重心,所以O(shè)B=××=, 所以AO==2. 又VP-BCD+VP-ACD=VA-BCD, 所以S△BCD·y+S△ACD·x=S△BCD·2,即x+y=2.所以+=(x+y) =≥2+,當(dāng)且僅當(dāng)x=3-,y=-1時(shí)取等號. 答案 (1) (2)2+ 規(guī)律方法 (1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). (2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后,只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值. (3)在求函數(shù)的最值時(shí),一

13、定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解. 【訓(xùn)練2】 (1)(2018·泰州模擬)已知a>b>1且2logab+3logba=7,則a+的最小值為________. (2)(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)若實(shí)數(shù)x,y滿足xy>0,則+的最大值為________. 解析 (1)因?yàn)?logab+3logba=7,所以2(logab)2-7logab+3=0,解得logab=或logab=3,因?yàn)閍>b>1,所以logab∈(0,1),故logab=,從而b=,因此a+=a+=(a-1)++1≥3,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號成立. (2)因?yàn)閤y>0, 所以+===1+=

14、1+≤1+=4-2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x2=2y2時(shí)取等號. 答案 (1)3 (2)4-2 考點(diǎn)三 利用基本不等式解決恒成立及實(shí)際 應(yīng)用問題 【例3-1】 若不等式x+2≤a(x+y)對任意的實(shí)數(shù)x,y∈(0,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為________. 解析 由題意得a≥=恒成立. 令t=(t>0),則a≥,再令1+2t=u(u>1),則t=,故a≥=. 因?yàn)閡+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)u=時(shí)等號成立),故u+-2≥2-2,從而0<≤=,故a≥,即amin=. 答案  【例3-2】 (1)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,則m的最大值為________. (2)已知函數(shù)f(

15、x)=(a∈R),若對于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,則a的取值范圍是________. 解析 (1)由+≥, 得m≤(a+3b)=++6. 又a>0,b>0,所以++6≥2+6=12(當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號成立), ∴m≤12,∴m的最大值為12. (2)對任意x∈N*,f(x)≥3恒成立,即≥3恒成立,即知a≥-+3. 設(shè)g(x)=x+,x∈N*,則g(2)=6,g(3)=. ∵g(2)>g(3), ∴g(x)min=,∴-+3≤-, ∴a≥-,故a的取值范圍是. 答案 (1)12 (2) 規(guī)律方法 (1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立:對所給不等式(或式子)變形,

16、然后利用基本不等式求解. (2)條件不等式的最值問題:通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求參數(shù)的值或范圍:觀察題目特點(diǎn),利用基本不等式確定相關(guān)成立條件,從而得參數(shù)的值或范圍. 【訓(xùn)練3】 (2018·蘇北四市聯(lián)考)如圖,墻上有一壁畫,最高點(diǎn)A離地面4 m,最低點(diǎn)B離地面2 m,觀察者從距離墻x(x>1)m,離地面高a(1≤a≤2)m的C處觀賞該壁畫,設(shè)觀賞視角∠ACB=θ. (1)若a=1.5,問:觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí),視角θ最大? (2)若tan θ=,當(dāng)a變化時(shí),求x的取值范圍. 解 (1) 當(dāng)a=1.5時(shí),過C作AB的垂線,垂足為D,則BD=0.5,且θ=∠

17、ACD-∠BCD, 由已知觀察者離墻x m,且x>1, 則tan∠BCD=,tan∠ACD=, 所以tan θ=tan(∠ACD-∠BCD)===≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)x=>1時(shí)取等號. 又tan θ在上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)觀察者離墻 m時(shí),視角θ最大. (2)由題意得tan∠BCD=,tan∠ACD=, 又tan θ=, 所以tan θ=tan(∠ACD-∠BCD) ==, 所以a2-6a+8=-x2+4x. 當(dāng)1≤a≤2時(shí),0≤a2-6a+8≤3, 所以0≤-x2+4x≤3, 即解得0≤x≤1或3≤x≤4, 因?yàn)閤>1,所以3≤x≤4. 所以x的取值范圍是[3,4]

18、. 一、必做題 1.(教材改編)已知a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的序號是________. ①a2+b2>2ab;②a+b≥2;③+>; ④+≥2. 解析 因?yàn)閍2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立,所以①錯(cuò)誤;對于④,因?yàn)閍b>0,所以+≥2=2.對于②,③,當(dāng)a<0,b<0時(shí),明顯錯(cuò)誤. 答案?、? 2.(教材改編)用長為16 cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形,則所圍成的矩形的最大面積是________ cm2. 解析 設(shè)矩形長為x cm(00,8-x>0,可得S≤=16,當(dāng)且僅當(dāng)x=8-

19、x,即x=4時(shí),Smax=16.所以矩形的最大面積是16 cm2. 答案 16 3.當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)=有最________值,為________. 解析 由于x>0,所以f(x)==≤=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號. 答案 大 1 4.(2018·鹽城模擬)函數(shù)y=的最小值為________. 解析 y==+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=0時(shí),y取到最小值2. 答案 2 5.某民營企業(yè)的一種電子產(chǎn)品,2015年的年產(chǎn)量在2014年基礎(chǔ)上增長率為a;2016年計(jì)劃在2015年的基礎(chǔ)上增長率為b(a,b>0),若這兩年的平均增長率為q,則q與的大小關(guān)系是________. 解析 

20、設(shè)2014年的年產(chǎn)量為1, 則2016年的年產(chǎn)量為(1+a)(1+b), ∴(1+q)2=(1+a)(1+b), ∴1+q=≤=1+, ∴q≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”. 答案 q≤ 6.(2017·天津卷)若a,b∈R,ab>0,則的最小值為________. 解析 ≥=4ab+≥2=4(前一個(gè)等號成立條件是a2=2b2,后一個(gè)等號成立的條件是ab=,兩個(gè)等號可以同時(shí)取得,則當(dāng)且僅當(dāng)a2=,b2=時(shí)取等號). 答案 4 7.設(shè)f(x)=x2+x+1,g(x)=x2+1,則的取值范圍是________. 解析 ==1+, 當(dāng)x=0時(shí),=1; 當(dāng)x>0時(shí),=1+≤1+=

21、; 當(dāng)x<0時(shí),x+=-≤-2, 則=1+≥1-=. ∴∈. 答案  8.(2017·吉林九校第二次聯(lián)考)若正數(shù)a,b滿足+=1,則+的最小值是________. 解析 ∵正數(shù)a,b滿足+=1,∴b=>0,解得a>1.同理可得b>1,∴+=+=+9(a-1)≥2=6,當(dāng)且僅當(dāng)=9(a-1),即a=時(shí)等號成立,∴最小值為6. 答案 6 9.(2018·揚(yáng)州一模)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時(shí),+-的最大值為________. 解析 由已知得z=x2-3xy+4y2,(*) 則==≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號,把x=2y代入(*)式,得z

22、=2y2,所以+-=+-=-+1≤1. 答案 1 10.已知函數(shù)f(x)=(x≠a,a為非零常數(shù)). (1)解不等式f(x)a時(shí),f(x)有最小值為6,求a的值. 解 (1)f(x)0時(shí),(x-a)<0, ∴解集為; 當(dāng)a<0時(shí),(x-a)>0, 解集為. (2)設(shè)t=x-a,則x=t+a(t>0). ∴f(t)= =t++2a ≥2+2a =2+2a. 當(dāng)且僅當(dāng)t=, 即t=時(shí),等號成立, 即f(x)有最小值2+2a. 依題意有2+2a=6, 解得a=1. 二、選做題 1

23、1.(一題多解)(2018·南通模擬)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足-y2=1,則3x2-2xy的最小值是________. 解析 法一 因?yàn)椋瓂2=1,所以3x2-2xy==,令k=∈,則3x2-2xy==,再令t=3-2k∈(2,4),則k=,故3x2-2xy==≥=6+4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號成立. 法二 令t=3x2-2xy,則y=,代入方程-y2=1并化簡得8x4+(4-6t)x2+t2=0,令u=x2≥4,則8u2+(4-6t)u+t2=0在[4,+∞)上有解,從而由得t2-12t+4≥0,解得t≥6+4,當(dāng)取得最小值時(shí),u=2+ 滿足題意. 法三 因?yàn)椋瓂2=1=, 所以令+y=t,則

24、-y=, 從而 則3x2-2xy=6+2t2+≥6+4,當(dāng)且僅當(dāng)t2=時(shí)等號成立. 答案 6+4 12.(2018·南京模擬)一位創(chuàng)業(yè)青年租用了如圖所示的一塊邊長為1百米的正方形田地ABCD來養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜,他在正方形的邊BC,CD上分別取點(diǎn)E,F(xiàn)(不與正方形的頂點(diǎn)重合),連接AE,EF,F(xiàn)A,使得∠EAF=45°.現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長區(qū),△AEF部分規(guī)劃 為蜂巢區(qū),△CEF部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū).若蜂源植物生長區(qū)的投入約為2×105元/百米2,蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為105元/百米2,則這三個(gè)區(qū)域的總投入最少需要多少元? 解 設(shè)陰影部分面積為S,三個(gè)區(qū)域的總投入為T. 則T=2×105·S+105·(1-S)=105·(S+1),所以只要求S的最小值即可得T的最小值. 設(shè)∠EAB=α(0°<α<45°),在△ABE中,因?yàn)锳B=1,∠B=90°,所以BE=tan α, 則S△ABE=AB·BE=tan α. 又∠DAF=45°-α,所以S△ADF=tan(45°-α). 所以S=[tan α+tan(45°-α)]=. 令x=tan α∈(0,1), 則S=== =≥(2-2)=-1. 當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=-1時(shí)取等號. 此時(shí)T=×105, 所以三個(gè)區(qū)域的總投入T的最小值約為×105元. 15

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