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1、2022-2023版高中數(shù)學 模塊綜合試卷 新人教A版選修2-3 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2016·四川)設i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為(　　) A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式的特定項 答案　A 解析　由題意可知，含x4的項為Cx4i2＝－15x4. 2．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，若從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為(　　) A．36 B．35 C．

2、34 D．33 考點　分步乘法計數(shù)原理 題點　分步乘法計數(shù)原理的應用 答案　D 解析　不考慮限定條件確定的不同點的個數(shù)為CCA＝36， 但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三個數(shù)確定的不同點的個數(shù)只有三個，故所求的個數(shù)為36－3＝33. 3．拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，在第一次正面向上的條件下，第二次反面向上的概率為(　　) A. B. C. D. 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 答案　C 解析　記事件A表示“第一次正面向上”，事件B表示“第二次反面向上”，則P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝. 4．已知隨機變量ξ服從

3、正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ＜2)＝0.6，則P(0＜ξ＜1)等于(　　) A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 考點　正態(tài)分布的概念及性質 題點　求正態(tài)分布的均值或方差 答案　D 解析　由已知可得曲線關于直線x＝1對稱，P(ξ＜2)＝0.6，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.4，故P(0＜ξ＜1)＝P(0＜ξ＜2)＝(1－0.4－0.4)＝0.1. 5．給出以下四個說法： ①繪制頻率分布直方圖時，各小長方形的面積等于相應各組的組距； ②在刻畫回歸模型的擬合效果時，R2的值越大，說明擬合的效果越好； ③設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,22)，則P(ξ＞4

4、)＝； ④對分類變量X與Y，若它們的隨機變量K2的觀測值k越小，則判斷“X與Y有關系”的犯錯誤的概率越?。? 其中正確的說法是(　　) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 考點　獨立性檢驗思想的應用 題點　獨立性檢驗與線性回歸方程、均值的綜合應用 答案　B 解析?、僦懈餍￠L方形的面積等于相應各組的頻率；②正確，相關指數(shù)R2越大，擬合效果越好，R2越小，擬合效果越差；③隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,22)，正態(tài)曲線對稱軸為x＝4，所以P(ξ＞4)＝；④對分類變量X與Y，若它們的隨機變量K2的觀測值k越小，則說明“X與Y有關系”的犯錯誤的概率越大． 6．設某地區(qū)歷史上從某次

5、特大洪水發(fā)生以后，在30年內發(fā)生特大洪水的概率是0.8，在40年內發(fā)生特大洪水的概率是0.85.在過去的30年內該地區(qū)都未發(fā)生特大洪水，則在未來10年內該地區(qū)發(fā)生特大洪水的概率是(　　) A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.4 考點　互斥、對立、獨立重復試驗的概率問題 題點　互斥事件、對立事件、獨立事件的概率問題 答案　A 解析　設在未來10年內該地區(qū)發(fā)生特大洪水的概率是P，根據(jù)條件可得，0.8×1＋(1－0.8)×P＝0.85，解得P＝0.25. 7．某機構對兒童記憶能力x和識圖能力y進行統(tǒng)計分析，得到如下數(shù)據(jù)： 記憶能力x 4 6 8 10 識圖能

6、力y 3 5 6 8 由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為＝0.8x＋，若某兒童記憶能力為12，則預測他的識圖能力約為(　　) A．9.5 B．9.8 C．9.2 D．10 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應用 答案　A 解析　∵＝×(4＋6＋8＋10)＝7，＝×(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴樣本點的中心為(7,5.5)， 代入回歸方程得5.5＝0.8×7＋，∴＝－0.1， ∴＝0.8x－0.1， 當x＝12時，＝0.8×12－0.1＝9.5，故選A. 8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，

7、并要求甲安排在另外兩位前面，則不同的安排方法共有(　　) A．40種 B．30種 C．20種 D．60種 考點　排列的應用 題點　排列的簡單應用 答案　C 解析　分類解決．甲排周一，乙，丙只能是周二至周五4天中選兩天進行安排，有A＝12(種)方法；甲排周二，乙，丙只能是周三至周五選兩天安排，有A＝6(種)方法；甲排周三，乙丙只能安排在周四和周五，有A＝2(種)方法．由分類加法計數(shù)原理可知，共有12＋6＋2＝20(種)方法． 9．如圖所示，A，B，C表示3種開關，若在某段時間內它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.7，那么此系統(tǒng)的可靠性為(　　) A．0.504

8、 B．0.994 C．0.496 D．0.06 考點　互斥、對立、獨立重復試驗的概率問題 題點　互斥事件、對立事件、獨立事件的概率問題 答案　B 解析　1－P( )＝1－P()·P()·P() ＝1－0.1×0.2×0.3＝1－0.006＝0.994. 10．已知5的展開式中含的項的系數(shù)為30，則a等于(　　) A. B．－ C．6 D．－6 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案　D 解析　5的展開式通項Tk＋1＝C·(－1)kak·＝(－1)kakC， 令－k＝，則k＝1， ∴T2＝－aC，∴－aC＝30，∴a＝－6

9、，故選D. 11．假設每一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，且各引擎是否有故障是獨立的，已知4引擎飛機中至少有3個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；2引擎飛機要2個引擎全部正常運行，飛機才可以成功飛行．要使4引擎飛機更安全，則p的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 考點　獨立重復試驗的計算 題點　用獨立重復試驗的概率公式求概率 答案　B 解析　4引擎飛機成功飛行的概率為Cp3(1－p)＋p4,2引擎飛機成功飛行的概率為p2，要使Cp3(1－p)＋p4＞p2，必有＜p＜1. 12．若在二項式n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則把展開式中所有的項重新排成一

10、列，有理項都互不相鄰的概率為(　　) A. B. C. D. 考點　排列與組合的應用 題點　排列、組合在古典概型中的應用 答案　D 解析　注意到二項式n的展開式的通項是Tk＋1＝C·()n－k·k＝C·2－k·.依題意有C＋C·2－2＝2C·2－1＝n，即n2－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，解得n＝8.∴二項式8的展開式的通項是Tk＋1＝C·2－k·，展開式中的有理項共有3項，所求的概率為＝. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．任意選擇四個日期，設X表示取到的四個日期中星期天的個數(shù)，則E(X)＝________，D(X)＝____

11、____. 考點　二項分布、兩點分布的均值 題點　二項分布的均值 答案　　 解析　由題意得，X～B，所以E(X)＝，D(X)＝. 14．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 考點　排列與組合的應用 題點　排列、組合在古典概型中的應用 答案　 解析　設“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A∪B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率為. 15．某數(shù)學老

12、師身高為176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm,170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________ cm. 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應用 答案　183.5 解析　記從爺爺起向下各代依次為1,2,3,4,5用變量x表示，其中5代表孫子．各代人的身高為變量y，則有 x 1 2 3 4 y 173 170 176 182 計算知＝2.5，＝175.25.由回歸系數(shù)公式得＝3.3， ＝－＝175.25－3.3×2.5＝167，∴線性回歸方程為＝3.3x＋167，當x

13、＝5時，y＝3.3×5＋167＝183.5，故預測其孫子的身高為183.5 cm. 16．某城市新修建的一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)省用電而又不能影響正常的照明，可以熄滅其中的3盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，則熄燈的方法有________種．(填數(shù)字) 考點　組合的應用 題點　有限制條件的組合問題 答案　56 解析　分析題意可知，最終剩余的亮著的燈共有9盞，且兩端的必須亮著，所以可用插空的方法，共有8個空可選，所以應為C＝56(種)． 三、簡答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)已知(a2＋1)n展開式中的各項系數(shù)之和等于5的展開式的常數(shù)項，而(

14、a2＋1)n的展開式的系數(shù)最大的項等于54，求a的值． 考點　二項式定理的應用 題點　二項式定理的簡單應用 解　5的展開式的通項為Tk＋1＝C5－kk＝5－kC， 令20－5k＝0，得k＝4， 故常數(shù)項T5＝C×＝16. 又(a2＋1)n展開式的各項系數(shù)之和等于2n， 由題意知2n＝16，得n＝4， 由二項式系數(shù)的性質知，(a2＋1)n展開式中系數(shù)最大的項是中間項T3， 故有Ca4＝54，解得a＝±. 18．(12分)從7名男生和5名女生中選出5人，分別求符合下列條件的選法數(shù)． (1)A，B必須被選出； (2)至少有2名女生被選出； (3)讓選出的5人分別擔任體育委員

15、、文娛委員等5種不同職務，但體育委員由男生擔任，文娛委員由女生擔任． 考點　排列與組合的應用 題點　排列組合的綜合應用 解　(1)除選出A，B外，從其他10個人中再選3人，選法數(shù)為C＝120. (2)按女生的選取情況分類：選2名女生、3名男生，選3名女生、2名男生，選4名女生、1名男生，選5名女生．所有選法數(shù)為CC＋CC＋CC＋C＝596. (3)選出1名男生擔任體育委員，再選出1名女生擔任文娛委員，從剩下的10人中任選3人擔任其他3種職務．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所有選法數(shù)為C·C·A＝25 200. 19．(12分)近年來，隨著以煤炭為主的能源消耗大幅攀升、機動車持有量急劇增加，

16、某市空氣中的PM2.5(直徑小于等于2.5微米的顆粒物)的含量呈逐年上升的趨勢，如圖是根據(jù)該市環(huán)保部門提供的2011年至2015年該市PM2.5年均濃度值畫成的散點圖．(為便于計算，把2011年編號為1,2012年編號為2，…，2015年編號為5) (1)以PM2.5年均濃度值為因變量，年份的編號為自變量，利用散點圖提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出該市PM2.5年均濃度值與年份編號之間的線性回歸方程＝x＋； (2)按世界衛(wèi)生組織(WHO)過渡期－1的標準，空氣中的PM2.5的年均濃度限值為35微克/立方米，該市若不采取措施，試預測到哪一年該市空氣中PM2.5的年均濃度值將超過世界衛(wèi)生組

17、織(WHO)過渡期－1設定的限制． 參考公式：＝，＝－. 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應用 解　(1)由散點圖可得，變量xi，yi組成的幾組數(shù)據(jù)為(1,13)，(2,15)，(3,20)，(4,22)，(5,25)， 則＝3，＝19， 所以＝＝3.1. ＝－＝19－3.1×3＝9.7. 所以所求線性回歸方程為＝3.1x＋9.7. (2)由3.1x＋9.7＞35，得x＞8.16， 因為x∈N，所以x＝9. 故可預測到2019年該市空氣中PM2.5的年均濃度值將超過世界衛(wèi)生組織(WHO)過渡期－1設定的限值． 20．(12分)將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D

18、所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時向左、右兩邊下落的概率都是. (1)求小球落入A袋中的概率P(A)； (2)在容器入口處依次放入4個小球，記ξ為落入A袋中小球的個數(shù)，試求ξ＝3的概率與ξ的均值E(ξ)． 考點　常見的幾種均值 題點　二項分布的均值 解　(1)方法一　記小球落入B袋中的概率為P(B)，則P(A)＋P(B) ＝1. 由于小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落，小球將落入B袋， ∴P(B)＝3＋3＝， ∴P(A)＝1－＝. 方法二　由于小球每次遇到黑色障

19、礙物時，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時小球將落入A袋，∴P(A)＝C3＋C3＝. (2)由題意，ξ～B， ∴P(ξ＝3)＝C31＝， ∴E(ξ)＝4×＝3. 21．(12分)“中國式過馬路”存在很大的交通安全隱患．某調查機構為了解路人對“中國式過馬路”的態(tài)度是否與性別有關，從馬路旁隨機抽取30名路人進行了問卷調查，得到了如下列聯(lián)表： 男性 女性 總計 反感 10 不反感 8 總計 30 已知在這30人中隨機抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是. (1)請將上面的列聯(lián)表補充完整(直接寫結果，不需要寫求解過程)

20、，并據(jù)此資料分析反感“中國式過馬路”與性別是否有關？ (2)若從這30人中的女性路人中隨機抽取2人參加一活動，記反感“中國式過馬路”的人數(shù)為X，求X的分布列和均值． 附：K2＝. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 考點　獨立性檢驗思想的應用 題點　獨立性檢驗與線性回歸方程、均值的綜合應用 解　(1) 男性 女性 總計 反感 10 6 16 不反感 6 8 14 總計 16 14 30 由已知數(shù)據(jù)得K2的觀測值k＝≈1.158＜2.706.

21、 所以，沒有充足的理由認為反感“中國式過馬路”與性別有關． (2)X的可能取值為0,1,2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P X的均值為E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 22．(12分)設袋子中裝有a個紅球、b個黃球、c個藍球，且規(guī)定：取出1個紅球得1分，取出1個黃球得2分，取出1個藍球得3分． (1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中依次任取(有放回，且每個球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數(shù)．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c. 考點　均值與方差的應用 題點　均值與方差的綜合應用 解　(1)根據(jù)題意，得ξ的所有可能取值為2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)根據(jù)題意，知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝， D(η)＝2·＋2·＋2·＝， 化簡 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.