《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線的標準方程與幾何性質(zhì)學案 文 蘇教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線的標準方程與幾何性質(zhì)學案 文 蘇教版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　圓錐曲線的標準方程與幾何性質(zhì) [2019考向?qū)Ш絔 考點掃描 三年考情 考向預測 2019 2018 2017 1．橢圓的標準方程與幾何性質(zhì) 第17題 第18題 江蘇高考對本講考查重點是圓錐曲線的標準方程、性質(zhì)(特別是離心率)，以及圓錐曲線之間的關系，突出考查基礎知識、基本技能，一般屬于中檔題． 2．雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì) 第7題 第8題 第8題 1．必記的概念與定理 (1)從方程的形式看，在直角坐標系中，橢圓、雙曲線和拋物線這三種曲線的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲線． 這三種曲線都可以是由平面截圓錐面得到的曲線，因而才稱之

2、為圓錐曲線． (2)從點的集合(或軌跡)的觀點看，它們都是與定點和定直線距離的比是常數(shù)e 的點的集合(或軌跡)，這個定點是它們的焦點，定直線是它們的準線，只是由于離心率e 取值范圍的不同，而分為橢圓、雙曲線和拋物線三種曲線． (3)圓錐曲線第二定義把“曲線上的點M”“焦點F”“相應準線l”和“離心率e”四者巧妙地聯(lián)系起來，所以在圓錐曲線的問題中，凡與準線、離心率、焦點有關的問題應充分利用第二定義． 2．記住幾個常用的公式與結論 (1)橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常數(shù)，A>B>0時，表示焦點在y軸上的橢圓；B>A>0時，表示焦點在x軸上的橢圓；A

3、B<0時表示雙曲線． (2)與雙曲線－＝1有共同漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0)．若已知漸近線方程為mx±ny＝0，則雙曲線方程可設為m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)． (3)設直線l(斜率存在)與圓錐曲線C相交于A、B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長AB＝|x1－x2|或　·|y1－y2|． (4)通徑：過雙曲線、橢圓、拋物線的焦點垂直于對稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通徑長為，過橢圓焦點的弦中通徑最短；拋物線通徑長是2p，過拋物線焦點的弦中通徑最短． (5)橢圓上點到焦點的最長距離為a＋c，最短距離為a－c．　 3．需要關注的易錯易混點 (1)已知橢圓

4、離心率求待定系數(shù)時要注意橢圓焦點位置的判斷，當焦點位置不明確時，要分兩種情形討論． (2)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點的距離”．若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支． (3)已知漸近線方程y＝mx，求離心率時，若焦點位置不確定時，m＝(m＞0)或m＝，故離心率有兩種可能． 橢圓的標準方程與幾何性質(zhì) [典型例題] (1)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點，直線y＝與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是_____

5、___． (2)(2019·江蘇名校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)及點B(0，a)，過B與橢圓相切的直線交x軸的負半軸于點A，F(xiàn)為橢圓的右焦點，則∠ABF＝________． 【解析】　(1)由題意得B，C，F(xiàn)(c，0)，則由∠BFC＝90°得·＝·＝c2－a2＋b2＝0，化簡得c＝a，則離心率e＝＝＝． (2)法一：由題意知，切線的斜率存在，設切線方程為y＝kx＋a(k>0)，與橢圓方程聯(lián)立，，得b2x2＋a2(kx＋a)2－a2b2＝0，即(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，從而y＝

6、x＋a交x軸于A(－，0)，又F(c，0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°． 法二：由橢圓性質(zhì)可知，過B且與橢圓相切的斜率為正的直線方程為y＝ex＋a(e為橢圓的離心率)，即切線斜率為e，所以tan∠BAF＝＝e，又tan∠OBF＝＝e，則∠BAF＝∠OBF，因而∠ABF＝90°． 【答案】　(1)　(2)90° (1)解決橢圓方程和幾何性質(zhì)問題，要牢牢抓住相關定義，一些看起來很復雜，沒有頭緒的問題，如果從定義上來考慮，往往會迎刃而解． (2)與橢圓幾何性質(zhì)有關的問題要結合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形． (3)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例

7、如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0b>0)的離心率為，此橢圓的長軸長等于圓x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓C的方程為________． [解析] 因為x2＋y2－2x－15＝0，所以(x－1)2＋y2＝16，所以r＝4，即2a＝4，a＝2． 又＝，所以c＝，所以b＝1，故橢圓方程為＋y2＝1． [答案] ＋y2＝1 2．(2019·江蘇省名校高三入學摸底卷)設A，B，C是橢圓＋＝1(a>b>0)上的三個不同的點，若四邊形OABC(其中O為坐標原點)為矩形，則該橢圓的離心率

8、的最小值為________． [解析] 設點A(x1，y1)，C(x2，y2)，因為四邊形OABC為矩形，所以點B(x1＋x2，y1＋y2)，則問題轉(zhuǎn)化為方程組 存在實數(shù)解的問題． 展開第三個方程，整理得x1x2＝．易知直線OA和OC的斜率均存在，分別設為k，－，由得x＝，同理x＝，因此·＝，即關于k2的二次方程(k2)2－·k2＋1＝0有正解，即－4≥0，且3－8>0，又a>b，所以a2≥3b2，所以≤e<1，故橢圓的離心率的最小值為，此時矩形OABC為正方形． [答案] 雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì) [典型例題] (1)(2019·高考江蘇卷)在平面直角坐標系x

9、Oy中，若雙曲線x2－＝1(b>0)經(jīng)過點(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是________． (2)(2019·南京、鹽城模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，定點A(2，0)，若射線FA與拋物線C相交于點M，與拋物線C的準線相交于點N，則FM∶MN＝________． 【解析】　(1)因為雙曲線x2－＝1(b>0)經(jīng)過點(3，4)，所以9－＝1，得b＝，所以該雙曲線的漸近線方程是y＝±bx＝±x． (2)設直線FA的傾斜角為α，因為焦點F(0，1)，定點A(2，0)， 所以tan α＝＝－，sin α＝， 如圖，作MB⊥l，垂足為點B，由拋物線

10、的定義可得：FM＝MB， 所以＝sin(π－α)＝sin α＝． 【答案】　(1)y＝±x　(2) 靈活、準確地運用定義，為解決圓錐曲線的一些問題帶來很大的方便．特別是拋物線的定義在解題中的作用巨大． [對點訓練] 3．(2018·高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點F(c，0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是________． [解析] 不妨設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以雙曲線的離心率e＝＝2． [答案] 2 4．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線為l，

11、過M(1，0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B．若＝，則p＝________． [解析] 過B作BE垂直準線l于E(圖略)， 因為＝， 所以M為中點， 所以MB＝AB， 又斜率為，∠BAE＝30°， 所以BE＝AB，所以BM＝BE， 所以M為拋物線的焦點，所以p＝2． [答案] 2 1．(2019·南京模擬)橢圓＋＝1的離心率是________． [解析] 由橢圓方程可得a＝5，b＝3，c＝4，e＝． [答案] 2．(2019·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(四))已知方程＋＝1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是________． [解析] 因為方程

12、＋＝1表示雙曲線，所以當焦點在x軸上時，，解得－1

13、 因為拋物線焦點為(1，0)，所以雙曲線的焦點也在x軸上，故可設所求雙曲線標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)．又雙曲線的漸近線為y＝±2x，故＝2．即所求雙曲線的標準方程為x2－＝1． [答案] x2－＝1 5．(2019·鎮(zhèn)江期末)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是________． [解析] 不妨設焦點為(c，0)，則由題意得雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，故(2c)＝＝＝b，即c＝2b，從而a＝＝＝b，故雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x． [答案] y＝±x 6．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(三))如圖，若C

14、是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上位于第一象限內(nèi)的點，A，B分別是橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，且OC＝OF，AB∥OC，則該橢圓的離心率為________． [解析] 設點C(x0，y0)，則，解得，代入橢圓方程得＋＝1，整理得2c2＝a2＋b2，又a2＝b2＋c2，故2c2＝a2＋a2－c2， 所以e2＝， 又0＜e＜1，故e＝． [答案] 7．(2019·高三第三次調(diào)研測試)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右準線與兩條漸近線分別交于A，B兩點．若△AOB的面積為，則該雙曲線的離心率為______． [解析] 雙曲線的漸近線方程為y＝±x，右

15、準線方程為x＝，聯(lián)立可求得兩交點的縱坐標為±，所以△AOB的面積S＝××＝，得＝4，e＝＝2． [答案] 2 8．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，P是雙曲線上任一點，若雙曲線的離心率的取值范圍為[2，4]，則·的最小值的取值范圍是________． [解析] 設P(m，n)，則－＝1， 即m2＝a2． 又F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)， 則＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)， ·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1 ＝n2＋a2－1≥a2－1， 當且僅當n＝0時取等號， 所以·的最小值為a2－1． 由2≤≤4，

16、得≤a≤，故－≤a2－1≤－， 即·的最小值的取值范圍是． [答案] 9．(2019·江蘇高考命題研究專家原創(chuàng)卷)已知拋物線的方程為y2＝4x，過其焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AF|＝3，O為坐標原點，則△AOF的面積和△BOF的面積的比值為________． [解析] 易知F(1，0)，不妨設A在第一象限，B在第四象限．因為|AF|＝3，所以xA＋1＝3，解得xA＝2，代入拋物線方程可得y＝4×2，得yA＝2，所以直線AB的方程為y＝(x－1)，即y＝2x－2． 聯(lián)立，消去x得，y2－y－4＝0， 所以2yB＝－4，解得yB＝－，所以△AOF的面積和△BOF的面積的

17、比值為＝2． [答案] 2 10．(2019·南京模擬)已知橢圓x2＋＝1(00時，則橢圓離心率的取值范圍是________． [解析] 設F、B、C的坐標分別為(－c，0)，(0，b)，(1，0)，則FC、BC的中垂線分別為 x＝，y－＝． 聯(lián)立方程組解出 m＋n＝＋>0，即b－bc＋b2－c>0，即(1＋b)·(b－c)>0，所以b>c．從而b2>c2， 即有a2>2c2， 所以e2<．又e>0， 所以0

18、9·揚州期末)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右準線l2與一條漸近線l交于點P，F(xiàn)是雙曲線的右焦點． (1)求證：PF⊥l； (2)若PF＝3，且雙曲線的離心率e＝，求該雙曲線方程． [解] (1)證明：右準線為x＝，由對稱性不妨設漸近線l為y＝x， 則P，又F(c，0)， 所以kPF＝＝－， 又因為kl＝，所以kPF·kl＝－·＝－1， 所以PF⊥l． (2)因為PF的長即F(c，0)到l：bx－ay＝0的距離， 所以＝3，即b＝3， 又e＝＝，所以＝，所以a＝4，故雙曲線方程為－＝1． 12．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點

19、分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準線之間的距離為8．點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2． (1)求橢圓E的標準方程； (2)若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標． [解] (1)設橢圓的半焦距為c． 因為橢圓E的離心率為，兩準線之間的距離為8，所以＝，＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝＝， 因此橢圓E的標準方程是＋＝1． (2)由(1)知，F(xiàn)1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)． 設P(x0，y0)，因為P為第一象限的點，故x0>0，y0>0． 當x0＝1時，l2與l1相交于F1，與題設不符， 當x0≠1時，

20、直線PF1的斜率為，直線PF2的斜率為． 因為l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直線l1的斜率為－，直線l2的斜率為－， 從而直線l1的方程：y＝－(x＋1)，① 直線l2的方程：y＝－(x－1)．② 由①②，解得x＝－x0，y＝， 所以Q． 因為點Q在橢圓E上，由對稱性，得＝±y0，即x－y＝1或x＋y＝1． 又P在橢圓E上，故＋＝1． 由解得x0＝，y0＝；無解．因此點P的坐標為． 13．(2019·南通市高三第一次調(diào)研測試)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦點到相應準線的距離為1． (1)求橢圓的標準方程； (2)若P為橢圓

21、上的一點，過點O作OP的垂線交直線y＝于點Q，求＋的值． [解] (1)由題意得，＝，－c＝1， 解得a＝，c＝1，又b2＝a2－c2，所以b＝1． 所以橢圓的標準方程為＋y2＝1． (2)由題意知OP的斜率存在． 當OP的斜率為0時，OP＝，OQ＝，所以＋＝1． 當OP的斜率不為0時，設直線OP的方程為y＝kx(k≠0)． 由得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝， 所以y2＝， 所以OP2＝． 因為OP⊥OQ，所以直線OQ的方程為y＝－x． 由得x＝－k，所以OQ2＝2k2＋2． 所以＋＝＋＝1． 綜上可知，＋＝1． 14．(2019·江蘇名校高三入學摸底)為了保

22、證我國東海油氣田海域的海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的正西方向和正東方向設立了兩個觀測站A、B，它們到平臺O的距離都為5海里，并將到兩觀測站的距離之和不超過20海里的區(qū)域設為禁航區(qū)域． (1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求禁航區(qū)域邊界曲線的方程； (2)某日觀察員在觀測站B處發(fā)現(xiàn)在該海上平臺正南10海里的C處，有一艘輪船正以每小時8海里的速度向北偏東30°方向航行，如果航向不變，該輪船是否會進入禁航區(qū)域？如果不進入，說明理由；如果進入，求出它在禁航區(qū)域中航行的時間． [解] (1)以O為坐標原點，AB所在的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．依題

23、意可知，禁航區(qū)域的邊界是以A，B為焦點的橢圓， 設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則， 解得a＝10，b＝5，所以禁航區(qū)域邊界曲線的方程為＋＝1． (2)由題意得C(0，－10)，所以輪船航行直線的方程為y＝x－10． 聯(lián)立，整理得x2－16x＋60＝0， 則Δ＝(－16)2－4×60＝16>0，方程有兩個不同的實數(shù)解x1＝10，x2＝6，所以輪船航行直線與橢圓有兩個不同的交點，故輪船會駛入禁航區(qū)域． 設交點分別為M，N，不妨取M(10，0)，N(6，－4)，易得輪船在禁航區(qū)域中航行的距離為|MN|＝＝8(海里)， 所以航行時間t＝＝1(小時)，所以該輪船在禁航區(qū)域中航行的時間是1小時． - 13 -