《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 1 第1講 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算教學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 1 第1講 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算教學案（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三章 導數(shù)及其應用 知識點 最新考綱 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 了解導數(shù)的概念與實際背景，理解導數(shù)的幾何意義． 會用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)，并能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)(限于形如f(ax＋b)的導數(shù)). 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系，能用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 理解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大(小)值. 第1講　變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 1．導數(shù)的概念 (1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù) 稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率

2、 ＝為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝. (2)導數(shù)的幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函數(shù)f(x)的導函數(shù) 稱函數(shù)f′(x)＝為f(x)的導函數(shù)． 2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 原函數(shù) 導函數(shù) f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝co

3、s x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x(x>0) f′(x)＝ 3.導數(shù)的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 4．復合函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux

4、′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同．(　　) (2)求f′(x0)時，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　) (3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點．(　　) (4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．(　　) (5)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導數(shù)是f′(x)＝cos x．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× [教材衍化] 1．(選修2－2P65A組T2(1)改編)函數(shù)y＝xcos x－sin

5、 x的導數(shù)為(　　) A．xsin x　　　　　　　　　 B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 解析：選B.y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 2．(選修2－2P18A組T6改編)曲線y＝1－在點(－1，－1)處的切線方程為________． 解析：因為y′＝，所以y′|x＝－1＝2. 故所求切線方程為2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 3．(選修2－2P7例2改編)有一機器人的運動方程為s＝t2＋(t是時間，s是位移)，則該機器人在t＝2時的瞬時速度為_______

6、_． 解析：因為s＝t2＋，所以s′＝2t－， 所以s′|t＝2＝4－＝. 答案： [易錯糾偏] (1)求導時不能掌握復合函數(shù)的求導法則致誤； (2)不會用方程法解導數(shù)求值． 1．已知函數(shù)f(x)＝sin，則f′(x)＝________． 解析：f′(x)＝[sin]′＝cos·′＝2cos. 答案：2cos 2．設函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，則f′＝________． 解析：因為f(x)＝f′sin x＋cos x， 所以f′(x)＝f′cos x－sin x， 所以f′＝f′cos－sin， 即f′＝－1，所以f(x)

7、＝－sin x＋cos x， f′(x)＝－cos x－sin x. 故f′＝－cos－sin＝－. 答案：－ 　　　　　　導數(shù)的計算 　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sin x； (3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝ln(2x－5)． 【解】　(1)因為y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4. (2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′e

8、x＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln 3＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (4)令u＝2x－5，y＝ln u， 則y′＝(ln u)′u′＝·2＝. 　 [提醒]　求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量． 1．已知f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，則x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 解析：選B.因為f(x)＝x(2

9、 017＋ln x)， 所以f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x， 又f′(x0)＝2 018， 所以2 018＋ln x0＝2 018， 所以x0＝1. 2．求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝xnex；(2)y＝； (3)y＝exln x；(4)y＝(1＋sin x)2. 解：(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)． (2)y′＝＝－. (3)y′＝exln x＋ex·＝ex. (4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′ ＝2(1＋sin x)·cos x. 　　　　　　導數(shù)的幾何意義(高頻考點) 導數(shù)的幾何

10、意義是每年高考的必考內(nèi)容，考查題型既有選擇題也有填空題，也常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，屬中低檔題．主要命題角度有： (1)求切線方程； (2)已知切線方程(或斜率)求切點坐標； (3)已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值． 角度一　求切線方程 (1)曲線y＝x2＋在點(1，2)處的切線方程為____________________． (2)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為________． 【解析】　(1)因為y′＝2x－，所以在點(1，2)處的切線方程的斜率為y′|x＝1＝2×1－＝1， 所以切線方程為y－2＝

11、x－1，即y＝x＋1. (2)因為點(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上， 所以設切點為(x0，y0)． 又因為f′(x)＝1＋ln x， 所以 解得x0＝1，y0＝0. 所以切點為(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直線l的方程為y＝x－1. 【答案】　(1)y＝x＋1　(2)y＝x－1 角度二　已知切線方程(或斜率)求切點坐標 若曲線y＝e－x上點P處的切線平行于直線2x＋y＋1＝0，則點P的坐標是________． 【解析】　設P(x0，y0)，因為y＝e－x， 所以y′＝－e－x， 所以點P處的切線斜率為k＝－e－x0＝－2， 所以－

12、x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2， 所以y0＝eln 2＝2， 所以點P的坐標為(－ln 2，2)． 【答案】　(－ln 2，2) 角度三　已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值 (1)(2020·寧波調(diào)研)直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1，3)，則2a＋b的值等于(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 (2)(2020·紹興調(diào)研)若直線y＝ax是曲線y＝2ln x＋1的一條切線，則實數(shù)a＝________． 【解析】　(1)依題意知，y′＝3x2＋a，則 由此解得所以2a＋b＝1，選C. (2)依題意，設直線y＝ax與曲線y＝2ln x

13、＋1的切點的橫坐標為x0，則有y′|x＝x0＝， 于是有， 解得x0＝，a＝＝2e－. 【答案】　(1)C　(2)2e－ (1)求曲線切線方程的步驟 ①求出函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導數(shù)，即曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的斜率； ②由點斜式方程求得切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． (2)求曲線的切線方程需注意兩點 ①當曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線垂直于x軸(此時導數(shù)不存在)時，切線方程為x＝x0； ②當切點坐標不知道時，應首先設出切點坐標，再求解．　 1．(2020·杭州七校聯(lián)考)曲線y＝ex在

14、點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為(　　) A.e2　　　　　　　　　 B．4e2 C．2e2 D．e2 解析：選D.因為y′＝ex，所以k＝e×4＝e2，所以切線方程為y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，所以所求面積為S＝×2×|－e2|＝e2. 2．已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))處的切線與直線x＋y－1＝0垂直，則a＝________． 解析：f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝

15、[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex，故f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1. 因為f(x)在(0，f(0))處的切線與直線x＋y－1＝0垂直，故f′(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2. 答案：2 3．(2020·臺州高三月考)已知曲線f(x)＝xn＋1(n∈N*)與直線x＝1交于點P，設曲線y＝f(x)在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2 018x1＋log2 018x2＋…＋log2 018x2 017的值為________． 解析：f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，點P(1，1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)

16、，令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝. 所以x1·x2·…·x2 017＝×××…××＝. 則log2 018x1＋log2 018x2＋…＋log2 018x2 017 ＝log2 018(x1·x2·…·x2 017)＝log2 018＝－1. 答案：－1 　　　　　　兩條曲線的公切線 　若直線y＝kx＋b是曲線y＝ln x＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝________． 【解析】　設y＝kx＋b與y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切點分別為(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))． 則切線分別為y－ln x1－2＝(x－x1)，y－

17、ln(x2＋1)＝(x－x2)，化簡得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)， 依題意 解得x1＝，從而b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 【答案】　1－ln 2 求兩條曲線的公切線的方法 (1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一條曲線相切，列出關(guān)系式求解． (2)利用公切線得出關(guān)系式． 設公切線l在y＝f(x)上的切點P1(x1，y1)，在y＝g(x)上的切點P2(x2，y2)，則f′(x1)＝g′(x2)＝.　 1．已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，則f(x)和g(x)的公切線的條數(shù)為(　　) A．三條 B．二條 C．一條

18、 D．0條 解析：選A.設公切線與f(x)和g(x)分別相切于點(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4，g′(x)＝－x－2，g′(n)＝f′(m)＝，解得m＝－＋2，代入化簡得8n3－8n2＋1＝0，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝8x3－8x2＋1，f′(x)＝8x(3x－2)，原函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極大值f(0)＞0，極小值f＜0，故函數(shù)和x軸有3個交點，方程8n3－8n2＋1＝0有三個解，故切線有3條．故選A. 2．曲線f(x)＝ex在x＝0處的切線與曲線g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，則過切點且與該切線垂直的直線方程為________

19、__． 解析：曲線f(x)在x＝0處的切線方程為y＝x＋1. 設其與曲線g(x)＝ax2－a相切于點(x0，ax－a)． 則g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1. 解得x0＝－1，a＝－，切點坐標為(－1，0)． 所以過切點且與該切線垂直的直線方程為 y＝－1·(x＋1)，即x＋y＋1＝0. 答案：x＋y＋1＝0 [基礎(chǔ)題組練] 1．函數(shù)y＝x2cos x在x＝1處的導數(shù)是(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B．2cos 1－sin 1 C．cos 1－sin 1 D．1 解析：選B.因為y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2

20、·(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以y′|x＝1＝2cos 1－sin 1. 2．(2020·衢州高三月考)已知t為實數(shù)，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，則t等于(　　) A．0 B．－1 C. D．2 解析：選C.依題意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝. 3．(2020·溫州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象在點A(x1，f(x1))與點B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)處的切線互相垂直，則x2－x1的最小值為(　　) A. B．1 C.

21、 D．2 解析：選B.因為x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x， 所以f′(x)＝2x＋2， 所以函數(shù)f(x)在點A，B處的切線的斜率分別為f′(x1)，f′(x2)， 因為函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直， 所以f′(x1)f′(x2)＝－1. 所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1， 所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0， 所以x2－x1＝[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，當且僅當－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1， 即x1＝－，x2＝－時等號成立． 所以x2－x1的最小值為1.故選B. 4．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2

22、 018)＝6，則f′(－2 018)＝(　　) A．－6 B．－8 C．6 D．8 解析：選D.因為f′(x)＝4ax3－bsin x＋7. 所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7 ＝－4ax3＋bsin x＋7. 所以f′(x)＋f′(－x)＝14. 又f′(2 018)＝6， 所以f′(－2 018)＝14－6＝8，故選D. 5.如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，其中g(shù)′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 解析

23、：選B.由題圖可得曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因為g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由題圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0. 6．若點P是曲線y＝x2－ln x上任意一點，則點P到直線y＝x－2距離的最小值為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選B.因為定義域為(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，則在P(1，1)處的切線方程為x－y＝0，所以兩平行線間的距離為d＝＝. 7．已知f(x)＝，g(x)＝(1＋sin x)2，若F(x)＝f(x)＋g(x

24、)，則F(x)的導函數(shù)為________． 解析：因為f′(x)＝ ＝＝， g′(x)＝2(1＋sin x)(1＋sin x)′＝2cos x＋sin 2x， 所以F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝＋2cos x＋sin 2x. 答案：＋2cos x＋sin 2x 8．(2020·紹興市柯橋區(qū)高三模擬)已知曲線y＝x2－3ln x的一條切線的斜率為－，則切點的橫坐標為________． 解析：設切點為(m，n)(m＞0)，y＝x2－3ln x的導數(shù)為y′＝x－，可得切線的斜率為m－＝－，解方程可得，m＝2. 答案：2 9．(2020·金華十校高考模擬)函數(shù)f(x)的定義域為

25、R，f(－2)＝2 018，若對任意的x∈R，都有f′(x)＜2x成立，則不等式f(x)＜x2＋2 014的解集為________． 解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－x2－2 014，則g′(x)＝f′(x)－2x＜0，所以函數(shù)g(x)在定義域上為減函數(shù)，且g(－2)＝f(－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f(x)＜x2＋2 014有f(x)－x2－2 014＜0，即g(x)＜0＝g(－2)，所以x＞－2，不等式f(x)＜x2＋2 014的解集為(－2，＋∞)． 答案：(－2，＋∞) 10．如圖，已知y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l是曲線y＝f(x)在x＝4處的

26、切線，令g(x)＝，則g′(4)＝________． 解析：g′(x)＝′＝. 由題圖可知，直線l經(jīng)過點P(0，3)和Q(4，5)， 故k1＝＝. 由導數(shù)的幾何意義可得f′(4)＝， 因為Q(4，5)在曲線y＝f(x)上，故f(4)＝5. 故g′(4)＝＝＝－. 答案：－ 11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程； (2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程． 解：(1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上． 因為f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1. 所以

27、f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13. 所以切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)因為切線與直線y＝－x＋3垂直， 所以切線的斜率k＝4. 設切點的坐標為(x0，y0)， 則f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1. 所以或 即切點坐標為(1，－14)或(－1，－18)， 切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 12．已知函數(shù)f(x)＝ax＋(x≠0)在x＝2處的切線方程為3x－4y＋4＝0. (1)求a，b的值； (2)求證：曲線上任一點P處的切線l與

28、直線l1：y＝x，直線l2：x＝0圍成的三角形的面積為定值． 解：(1)由f(x)＝ax＋，得f′(x)＝a－(x≠0)． 由題意得 即解得a＝1，b＝1. (2)證明：由(1)知f(x)＝x＋， 設曲線的切點為P，f′(x0)＝1－， 曲線在P處的切線方程為 y－＝(x－x0)． 即y＝x＋.當x＝0時，y＝. 即切線l與l2：x＝0的交點坐標為A. 由得 即l與l1：y＝x的交點坐標為B(2x0，2x0)． 又l1與l2的交點為O(0，0)，則所求的三角形的面積為S＝·|2x0|·＝2. 即切線l與l1，l2圍成的三角形的面積為定值． [綜合題組練] 1．若曲

29、線y＝f(x)＝ln x＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B．[－，＋∞) C．(0，＋∞) D．[0，＋∞) 解析：選D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根據(jù)題意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故實數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞)．故選D. 2．(2020·金華十校聯(lián)考)已知函數(shù)y＝x2的圖象在點(x0，x)處的切線為l，若l也與函數(shù)y＝ln x，x∈(0，1)的圖象相切，則x0必滿足(　　) A．0＜x0＜ B.＜x0＜1 C.＜x0＜ D

30、.＜x0＜ 解析：選D.令f(x)＝x2，f′(x)＝2x，f(x0)＝x，所以直線l的方程為y＝2x0(x－x0)＋x＝2x0x－x，因為l也與函數(shù)y＝ln x(x∈(0，1))的圖象相切，令切點坐標為(x1，ln x1)，y′＝，所以l的方程為y＝x＋ln x1－1，這樣有所以1＋ln(2x0)＝x，x0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x2－ln(2x)－1，x∈(1，＋∞)，所以該函數(shù)的零點就是x0，又因為g′(x)＝2x－＝，所以g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(1)＝－ln 2＜0，g()＝1－ln 2＜0，g()＝2－ln 2＞0，從而＜x0＜，選D. 3．(2020·寧波四

31、中高三月考)給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù)，記f″ (x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是________(把你認為正確的序號都填上)． ①f(x)＝sin x＋cos x； ②f(x)＝ln x－2x； ③f(x)＝－x3＋2x－1； ④f(x)＝xex. 解析：①中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin＜0在區(qū)間上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在區(qū)間

32、上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在區(qū)間上恒小于0.④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在區(qū)間上恒成立，故④中函數(shù)不是凸函數(shù)．故①②③為凸函數(shù)． 答案：①②③ 4．(2020·浙江省十校聯(lián)合體期末檢測)已知函數(shù)f(x)＝aex＋x2，g(x)＝cos (πx)＋bx，直線l與曲線y＝f(x)切于點(0，f(0))，且與曲線y＝g(x)切于點(1，g(1))，則a＋b＝________，直線l的方程為________． 解析：f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝－πsin (πx)＋b， f(0)＝a，g(1)＝cos

33、 π＋b＝b－1， f′(0)＝a，g′(1)＝b， 由題意可得f′(0)＝g′(1)，則a＝b， 又f′(0)＝＝a， 即a＝b＝－1，則a＋b＝－2； 所以直線l的方程為x＋y＋1＝0. 答案：－2　x＋y＋1＝0 5．設有拋物線C：y＝－x2＋x－4，過原點O作C的切線y＝kx，使切點P在第一象限． (1)求k的值； (2)過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q的坐標． 解：(1)由題意得，y′＝－2x＋.設點P的坐標為(x1，y1)，則y1＝kx1，① y1＝－x＋x1－4，② －2x1＋＝k，③ 聯(lián)立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．所以k＝.

34、 (2)過P點作切線的垂線，其方程為y＝－2x＋5.④ 將④代入拋物線方程得，x2－x＋9＝0. 設Q點的坐標為(x2，y2)，則2x2＝9， 所以x2＝，y2＝－4. 所以Q點的坐標為. 6．(2020·紹興一中月考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在k，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由． 解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a， 因為f′(－1)＝0， 所以3a－

35、6－6a＝0，所以a＝－2. (2)存在．由已知得，直線m恒過定點(0，9)，若直線m是曲線y＝g(x)的切線，則設切點為(x0，3x＋6x0＋12)． 因為g′(x0)＝6x0＋6， 所以切線方程為y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 將(0，9)代入切線方程，解得x0＝±1. 當x0＝－1時，切線方程為y＝9； 當x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9. 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， ①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1處，y＝f(x)的切線方程為y＝－18； 在x＝2處，y＝f(x)的切線方程為y＝9， 所以y＝f(x)與y＝g(x)的公切線是y＝9. ②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1. 在x＝0處，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11； 在x＝1處，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10， 所以y＝f(x)與y＝g(x)的公切線不是y＝12x＋9. 綜上所述，y＝f(x)與y＝g(x)的公切線是y＝9，此時k＝0. 17