《(浙江專版)2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題3 概率及期望與方差 突破點(diǎn)7 隨機(jī)變量及其分布教學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專版)2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題3 概率及期望與方差 突破點(diǎn)7 隨機(jī)變量及其分布教學(xué)案(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
突破點(diǎn)7 隨機(jī)變量及其分布
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第26頁(yè))
[核心知識(shí)提煉]
提煉1離散型隨機(jī)變量的分布列
離散型隨機(jī)變量X的分布列如下:
X
x1
x2
x3
…
xi
…
xn
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
則(1)pi≥0.
(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1(i=1,2,3,…,n).
(3)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望).
D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(xi-E(X))2·pi+…+(xn-E(X))2·
2、pn叫做隨機(jī)變量X的方差.
(4)均值與方差的性質(zhì)
①E(aX+b)=aE(X)+b;
②D(aX+b)=a2D(X)(a,b為實(shí)數(shù)).
(5) 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差
①若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p);
②若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).
提煉2幾種常見概率的計(jì)算
(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率
P(AB)=P(A)P(B).
(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=Cpk·(1-p)n-k,k=0,
3、1,2,…,n.
[高考真題回訪]
回訪1 離散型隨機(jī)變量及其分布列
1.(2013·浙江高考)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)黃球,c個(gè)藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個(gè)紅球得1分,取出一個(gè)黃球得2分,取出一個(gè)藍(lán)球得3分.
(1)當(dāng)a=3,b=2,c=1時(shí),從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球,記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求ξ的分布列;
(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球,記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù).若Eη=,Dη=,求a∶b∶c. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334087】
[解] (1)由題意得ξ=2,3,4,5,6.
故P(ξ=2)==, 1分
4、P(ξ=3)==, 2分
P(ξ=4)==, 3分
P(ξ=5)==, 4分
P(ξ=6)==. 5分
所以ξ的分布列為
ξ
2
3
5
5
6
P
6分
(2)由題意知η的分布列為
η
1
2
3
P
所以E(η)=++=, 10分
D(η)=2·+2·+2·=,
化簡(jiǎn)得 13分
解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1. 15分
回 訪2 離散型隨機(jī)變量的均值與方差
2.(2017·浙江高考)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0
5、D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
A [由題意可知ξi(i=1,2)服從兩點(diǎn)分布,
∴E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2).
又∵0
6、已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球,乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m≥3,n≥3),從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個(gè)球放入甲盒中.
(1)放入i個(gè)球后,甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξi(i=1,2);
(2)放入i個(gè)球后,從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i=1,2).則( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334088】
A.p1>p2,E(ξ1)E(ξ2)
C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)
D.p1
7、
3
P
所以E(ξ1)=+=,
E(ξ2)=++=,
所以E(ξ1)0,所以p1>p2.]
4.(2014·浙江高考)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,則D(ξ)=________.
[設(shè)P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,
則解得
所以D(ξ)=+×0+×1=.]
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第27頁(yè))
熱點(diǎn)題型1 相互獨(dú)立事件的概率
題型分析:高考主要考查相互獨(dú)立事件概率的求解及實(shí)際應(yīng)用,對(duì)事件相互獨(dú)立性的考查相對(duì)較頻繁,難度中等.
【例
8、1】 (1)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為( )
A.0.648 B.0.432
C.0.36 D.0.312
(2)如圖7-1,由M到N的電路中有4個(gè)元件,分別標(biāo)為T1,T2,T3,T4,電流能通過(guò)T1,T2,T3的概率都是p,電流能通過(guò)T4的概率是0.9.電流能否通過(guò)各元件相互獨(dú)立.已知T1,T2,T3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流的概率為0.999.
圖7-1
①求p;
②求電流能在M與N之間通過(guò)的概率.
(1)A [3次投籃投中2次的概率為
9、P(k=2)=C×0.62×(1-0.6),投中3次的概率為P(k=3)=0.63,所以通過(guò)測(cè)試的概率為P(k=2)+P(k=3)=C×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故選A.]
(2)記Ai表示事件:電流能通過(guò)Ti,i=1,2,3,4,A表示事件:T1,T2,T3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流,
B表示事件:電流能在M與N之間通過(guò).
①=123,1,2,3相互獨(dú)立, 2分
P()=P(123)
=P(1)P(2)P(3)=(1-p)3. 3分
又P()=1-P(A)=1-0.999=0.001, 4分
故(1-p)3=0.001,p=0.9. 6分
10、 ②B=A4∪4A1A3∪41A2A3, 10分
P(B)=P(A4∪4A1A3∪41A2A3)
=P(A4)+P(4A1A3)+P(41A2A3)
=P(A4)+P(4)P(A1)P(A3)+P(4)P(1)P(A2)·P(A3)
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.989 1. 15分
[方法指津]
求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的方法
(1)直接法:正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題,然后用相應(yīng)概率公式求解.
(2)間接法:當(dāng)
11、復(fù)雜事件正面情況比較多,反面情況較少,則可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解.對(duì)于“至少”“至多”等問(wèn)題往往也用這種方法求解.
[變式訓(xùn)練1] (2017·杭州學(xué)軍中學(xué)高三模擬)商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球.在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒(méi)有紅球,則不獲獎(jiǎng),則顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率是________;若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,則E(X)=________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334089】
[由題
12、得,在甲箱中抽中紅球、白球的概率分別為,,在乙箱中抽中紅球、白球的概率分別為,.抽獎(jiǎng)一次不獲獎(jiǎng)的概率為×=,所以其(對(duì)立事件)獲獎(jiǎng)的概率為1-=.因?yàn)槊看潍@得一等獎(jiǎng)的概率為×=,3次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立,故E(X)=np=3×=.]
熱點(diǎn)題型2 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差
題型分析:離散型隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),常以實(shí)際生活為背景,涉及事件的相互獨(dú)立性、互斥事件的概率等,綜合性強(qiáng),難度中等.
【例2】 (1)(2017·蕭山中學(xué)高三仿真考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表,且E(X)=2,則D(2X-3)=( )
X
0
2
a
P
p1
A.1 B.
13、2 C.4 D.5
C [由題可得+p1+=1,解得p1=.所以E(X)=0×+2×+a·=2,解得a=3.所以D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1,所以D(2X-3)=4D(X)=4,故選C.]
(2)(2017·紹興市方向性仿真考試)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,若E(X)=,D(X)=,則x1+x2=( )
A. B.
C. D.3
D [由已知得解得或因?yàn)閤1<x2,所以
所以x1+x2=1+2=3,故選D.]
[方法指津]
解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般
14、思路:
(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值.
(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法,計(jì)算這些可能取值的概率值.
(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解.
提醒:明確離散型隨機(jī)變量的取值及事件間的相互關(guān)系是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵.
[變式訓(xùn)練2] (1)(2017·溫州九校協(xié)作體高三期末聯(lián)考)將四位同學(xué)等可能地分到甲、乙、丙三個(gè)班級(jí),則甲班級(jí)至少有一位同學(xué)的概率是________,用隨機(jī)變量ξ表示分到丙班級(jí)的人數(shù),則Eξ=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334090】
[甲班級(jí)沒(méi)有分到同學(xué)的概率為=,所以甲班級(jí)至少有一位同學(xué)的概率為1-=.隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4,則P(ξ=0)=,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,于是Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.]
(2)(2017·金華十校高考模擬考試)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為
X
1
2
3
P
a
則a=________;E(X)=________.
[由分布列的概念易得++a=1,解得a=,則E(X)=1×+2×+3×=.]
7