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2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程《教案》 【教學目標】 1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標準方程與一般方程.  2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想. 【重點難點】 1.教學重點:掌握確定圓的幾何要素及圓的標準方程與一般方程; 2.教學難點:學會對知識進行整理達到系統(tǒng)化,提高分析問題和解決問題的能力; 【教學策略與方法】 自主學習、小組討論法、師生互動法 【教學過程】 教學流程 教師活動 學生活動 設(shè)計意圖

2、 環(huán)節(jié)二: 考綱傳真: 1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標準方程與一般方程.  2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想. 真題再現(xiàn); 1.(xx·全國Ⅰ,14)一個圓經(jīng)過橢圓+=1的三個 頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標準方程 為________. 解析 由題意知圓過(

3、4,0),(0,2),(0,-2)三點,(4,0),(0,-2)兩點的垂直平分線方程為y+1=-2(x-2),令y=0,解得x=,圓心為,半徑為.故圓的標準方程為+y2=. 答案?。珁2= 2.(xx·全國Ⅱ,4)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(  ) A.- B.- C. D.2 解析 由圓的方程x2+y2-2x-8y+13=0得圓心坐標為(1,4),由點到直線的距離公式得d==1,解之得a=-. 答案 A 3.(xx·全國Ⅱ,7)過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M、N兩點,則|MN|=(

4、  ) A.2 B.8 C.4 D.10 解析 由已知,得=(3,-1),=(-3,-9),則·=3×(-3)+(-1)×(-9)=0,所以⊥,即AB⊥BC,故過三點A、B、C的圓以AC為直徑,得其方程為(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,選C. 答案 C 知識梳理: 知識點 圓的定義與方程 定義 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓 方程 標準 (x-a)2+(y-b)2 =r2(r>0) 圓心(a,b) 半徑為r 一般 x2+y2+Dx+Ey+F=

5、0 充要條件:D2+E2-4F>0 圓心坐標: 半徑r= 1.必會結(jié)論 點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系: (1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)20時,表示圓,因此在求參數(shù)的值或范圍時,應注意條件的使用. 考

6、點分項突破 考點一:求圓的方程 1.若圓C經(jīng)過(1,0),(3,0)兩點,且與y軸相切,則圓C的方程為(  ) A.(x-2)2+(y±2)2=3 B.(x-2)2+(y±)2=3 C.(x-2)2+(y±2)2=4 D.(x-2)2+(y±)2=4 【解析】 因為圓C經(jīng)過(1,0),(3,0)兩點,所以圓心在直線x=2上,又圓C與y軸相切,所以圓的半徑r=2,設(shè)圓心坐標為(2,b),則(1-2)2+b2=4,b2=3,b=±.故選D.【答案】 D 2.(xx·山東高考)圓心在直線x-2y=0上的圓C 與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的長為2 則圓C的標準方程為____

7、__________________. 【解析】 因圓C的圓心在直線x-2y=0上,且與y軸的正半軸相切,所以設(shè)圓心C(2b,b)(b>0),半徑r=2b.又圓C截x軸所得弦的長為2,圓心C到x軸的距離為b,所以由勾股定理=,解得b=1.因此圓C的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=4. 【答案】 (x-2)2+(y-1)2=4 3.圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點P(3,-2)的圓的方程為________. 【解析】 由題意設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y+4a)2=r2(r>0),由圓與直線l:x+y-1=0相切于點P(3,-2)得 解得故所求圓的方程為

8、(x-1)2+(y+4)2=8. 【答案】 (x-1)2+(y+4)2=8 歸納;1.求圓的方程的兩種方法 (1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程. (2)待定系數(shù)法 ①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標準方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值; ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進而求出D,E,F(xiàn)的值. 2.確定圓心位置的方法 (1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上. (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上. (3)兩圓相切時,切點與兩圓

9、圓心共線. 考點二: 與圓有關(guān)的軌跡問題 (1)已知點A(-1,0),點B(2,0),動點C滿足|AC|=|AB|,則點C與點P(1,4)所連線段的中點M的軌跡方程為________. (2)(xx·全國卷Ⅰ)已知點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點. ①求M的軌跡方程; ②當|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積. 【解析】 (1)由題意|AC|=|AB|=3,則動點C的軌跡方程為(x+1)2+y2=9,設(shè)C(x0,y0),M(x,y), 則即 又(x0+1)2+y=9,所以4x2+(2y

10、-4)2=9.即x2+(y-2)2=.【答案】 x2+(y-2)2= (2)①圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.設(shè)M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y).由題設(shè)知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于點P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2. ②由①可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心,為半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上.又P在圓N上,從而ON⊥PM.因為ON的斜率為3,所以l的斜率為-,故l的方程為y=-x+.又|OM|=|O

11、P|=2,O到l的距離為,|PM|=,所以△POM的面積為. 跟蹤訓練: 1.設(shè)定點M(-3,4),動點N在圓x2+y2=4上運動,以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP(O是坐標原點),求點P的軌跡. 【解】 設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則=(x,y),=(x0,y0),=(-3,4),由=+得;(x,y)=(-3,4)+(x0,y0),所以所以又x+y=4,所以(x+3)2+(y-4)2=4.所以點P的軌跡是以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,因為O,M,P三點不共線,所以應除去兩點和. 歸納:求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法 —— | —— | —— |

12、—— 考點三: 與圓有關(guān)的最值問題 1.已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求: (1)的最大值和最小值; (2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值. 【解】 (1)如圖,方程x2+y2-4x+1=0表示以點(2,0)為圓心,以為半徑的圓. 設(shè)=k,即y=kx,則圓心(2,0)到直線y=kx的距離為半徑時直線與圓相切,斜率取得最大、最小值. 由=,解得k2=3,∴kmax=,kmin=-. (2)設(shè)y-x=b,則y=x+b,僅當直線y=x+b與圓切于第四象限時,截距b取最小值,由點到直線的距離公式,得=,即b=-2±,故(y-x)min=-

13、2-. (3)x2+y2是圓上點與原點的距離的平方,故連接OC, 與圓交于B點,并延長交圓于C′,則 (x2+y2)max=|OC′|2=(2+)2=7+4, (x2+y2)min=|OB|2=(2-)2=7-4. 跟蹤訓練:1.設(shè)P(x,y)是圓(x-2)2+y2=1上的任意一點,則(x-5)2+(y+4)2的最大值為(  ) A.6 B.25 C.26 D.36 【解析】 (x-5)2+(y+4)2表示點P(x,y)到點(5,-4)的距離的平方.點(5,-4)到圓心(2,0)的距離d==5.則點P(x,y)到點(5,-4)的距離最大值為6,從而(x-5)2+(y

14、+4)2的最大值為36,故選D. 【答案】 D 2.已知兩點A(-1,0),B(0,2),點P是圓(x-1)2+y2=1上任意一點,則△PAB面積的最大值與最小值分別是(  ) A.2,(4-) B.(4+),(4-) C.,4- D.(+2),(-2) 【解析】 直線AB的方程為+=1,即2x-y+2=0,圓心(1,0)到直線AB的距離d==,則點P到直線AB的距離最大值為+1,最小值為-1,又|AB|=,則△PAB面積的最大值Smax=××=(4+),△PAB面積的最小值Smin=××=(4-),故選B. 【答案】 B 歸納:與圓有關(guān)的最值問題的常見解法 1.形如

15、μ=形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題. 2.形如t=ax+by形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題. 3.形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題. 。 學生通過對高考真題的解決,發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學生通過對高考真題的解決,感受高考題的考察視角。

16、 教師引導學生及時總結(jié),以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 引導學生通過對基礎(chǔ)知識的逐點掃描,來澄清概念,加強理解。從而為后面的練習奠定基礎(chǔ). 在解題中注意引導學生自主分析和解決問題,教師及時點撥從而提高學生的解題能力和興趣。 教師引導學生及時總結(jié),以幫助學生形成

17、完整的認知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求,做到有的放矢

18、 由常見問題的解決和總結(jié),使學生形成解題模塊,提高模式識別能力和解題效率。 教師引導學生及時總結(jié),以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 引導學生對所學的知識進行小結(jié),由利于學生對已有的知識結(jié)構(gòu)進行編碼處理,加強理解記憶,提高解題技能。 環(huán)節(jié)三: 課堂小結(jié): 1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標準方程與一般方程.  2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想. 學生回顧,總結(jié). 引導學生對學習過程進行反思,為在今后的學習中,進行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四: 課后作業(yè):學生版練與測 學生通過作業(yè)進行課外反思,通過思考發(fā)散鞏固所學的知識。

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