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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-3-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 教案
(一)教學(xué)目標(biāo)
1.知識與技能:
(1)通過對雙曲線圖形的研究,讓學(xué)生熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)(對稱性、范圍、頂點、離心率)以及離心率的大小對雙曲線形狀的影響,進一步加強數(shù)形結(jié)合的思想。
(2)熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì),會用雙曲線的幾何性質(zhì)解決相應(yīng)的問題。
(3)理解等軸雙曲線的特點與性質(zhì)
2.過程與方法:通過講解雙曲線的相關(guān)性質(zhì),理解并會用雙曲線的相關(guān)性質(zhì)解決問題。
3.情感、態(tài)度與價值觀:
(1)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,善于獨立思考,學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題;
(2)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和
2、邏輯思維能力。
(二)教學(xué)重點與難點
重點:雙曲線的幾何性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想的貫徹,運用曲線方程研究幾何性質(zhì)
難點:數(shù)形結(jié)合思想的貫徹,運用曲線方程研究幾何性質(zhì)
(三)教學(xué)過程
活動一:創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 (5分鐘)
問題1:前面兩節(jié)課,說一說所學(xué)習(xí)過的內(nèi)容?
1、 雙曲線的定義?
2、 兩種不同雙曲線方程的對比?
問題2:類比橢圓幾何性質(zhì),觀察雙曲線(a>0,>b>0)的形狀,你能從圖上看出它的范圍嗎?它具有怎樣的對稱性?雙曲線上哪些點比較特殊?
點題:今天我們學(xué)習(xí)“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”
活動二:師生交流、進入新知,(20分鐘)
1、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
①范圍:
3、,或;
由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得,,進一步得:,或.這說明雙曲線在不等式,或所表示的區(qū)域;
②對稱性:關(guān)于以軸和軸為對稱軸,原點為對稱中心;
由以代,以代和代,且以代這三個方面來研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有,從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸,原點為對稱中心;
③頂點:實頂點:為,;實軸為||=;實半軸長為
虛頂點為,;虛軸為||=;虛半軸長為
圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義,即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點.因此雙曲線有兩個頂點,由于雙曲線的對稱軸有實虛之分,焦點所在的對稱軸叫做實軸,焦點不在的對稱軸叫做虛軸;
④漸近線:直線叫做雙曲線的漸近線;
直線叫做雙曲線的
4、漸近線;
問題3:雙曲線的范圍在以直線和為邊界的平面區(qū)域內(nèi),那么從x,y的變化趨勢看,雙曲線與直線具有怎樣的關(guān)系呢?
⑤離心率: 雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率().
問題4:當(dāng)時,雙曲線方程有什么變化?漸近線?離心率?
2、等軸雙曲線:當(dāng)時,雙曲線為叫等軸雙曲線,漸近線為,離心率
問題5:書本P58頁思考?
例3: 求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.
分析:由雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,容易求出.引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實半軸長、虛半軸長、離心率、焦點和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子,但要注意焦點在軸上的漸近線是.
練習(xí):書本P61頁練習(xí)1
5、擴展:求與雙曲線共漸近線,且經(jīng)過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率.
解法剖析:雙曲線的漸近線方程為.①焦點在軸上時,設(shè)所求的雙曲線為,∵點在雙曲線上,∴,無解;②焦點在軸上時,設(shè)所求的雙曲線為,∵點在雙曲線上,∴,因此,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,離心率.這個要進行分類討論,但只有一種情形有解,事實上,可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為.
練習(xí):書本P61頁練習(xí)3
活動三:合作學(xué)習(xí)、探究新知(18分鐘)
例4:雙曲線型冷卻塔的外形,是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖(1),它的最小半徑為,上口半徑為,下口半徑為,高為.試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出雙曲線的方程(各長度量精確到).
解法剖析:建立適
6、當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,算出的值;此題應(yīng)注意兩點:①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個原則;②關(guān)于的近似值,原則上在沒有注意精確度時,看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定.
引申:如圖所示,在處堆放著剛購買的草皮,現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場中去鋪墊,已知,,,.能否在足球場上畫一條“等距離”線,在“等距離”線的兩側(cè)的區(qū)域應(yīng)該選擇怎樣的線路?說明理由.
解題剖析:設(shè)為“等距離”線上任意一點,則,即
(定值),∴“等距離”線是以、為焦點的雙曲線的左支上的一部分,容易“等距離”線方程為.理由略.
練習(xí):書本P61頁練習(xí)2
例5:如圖,設(shè)與定點的距離和它到直線:的距離的比是常數(shù),求點的軌跡方程.
分析:若設(shè)點,則,到直線:的距離
,則容易得點的軌跡方程.
解:設(shè)是點M到直線的距離,根據(jù)題意,所求軌跡就是集合P={M|}, 即
所以,點M的軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線
例6:如圖,過雙曲線 的右焦點,傾斜角為的直線交雙曲線于A、B兩點,求。
練習(xí):書本P61頁練習(xí)5
活動四:歸納整理、提高認識(2分鐘)
1. 說說本節(jié)課學(xué)習(xí)了雙曲線的那些題型?
活動五:作業(yè)布置、提高鞏固
1.書面作業(yè):書本P61B組1、3、4 書本P61 A組3、4、5