《（贛豫陜）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.2 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積學(xué)案 北師大版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（贛豫陜）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.2 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積學(xué)案 北師大版必修2（16頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 7．2　棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公式，會(huì)利用它們求有關(guān)幾何體的體積.2.掌握求幾何體體積的基本技巧． 知識(shí)點(diǎn)一　柱、錐、臺(tái)體的體積公式 幾何體 體積公式 柱體 圓柱、 棱柱 V柱體＝Sh S—柱體底面積，h—柱體的高 錐體 圓錐、 棱錐 V錐體＝Sh S—錐體底面積，h—錐體的高 臺(tái)體 圓臺(tái)、 棱臺(tái) V臺(tái)體＝(S上＋S下＋)h S上、S下—臺(tái)體的上、下底面面積，h—高 知識(shí)點(diǎn)二　柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系 V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh. 1．錐體的體積

2、等于底面面積與高之積．(　×　) 2．臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差．(　√　) 類型一　多面體的體積 例1　如圖①是一個(gè)水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中點(diǎn)．正三棱柱的主視圖如圖②，求正三棱柱ABC－A1B1C1的體積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　由主視圖可知，在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，從而在等邊三角形ABC中，BC＝＝＝2，所以正三棱柱的體積V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3. 反思與感悟　求幾何體體積的四種常用方法 (1)公式法：規(guī)則幾何體直接代入公式求解． (2)等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積

3、和高都易求的形式即可． (3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱、三棱柱補(bǔ)成四棱柱等． (4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積． 跟蹤訓(xùn)練1　一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　D 解析　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中， 截去三棱錐A1－AB1D1. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a， 則＝×a3＝a3， 故剩余幾何體的體積為a3－a3＝a3， 所以比值為，故選D. 類型二　旋轉(zhuǎn)體的體積 例2　(1)一個(gè)幾

4、何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　由所給三視圖可知，該幾何體是由相同底面的兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成，底面半徑為1 m，圓錐的高為1 m，圓柱的高為2 m，因此該幾何體的體積V＝2××π×12×1＋π×12×2＝(m3)． (2)體積為52 cm3的圓臺(tái)，一個(gè)底面面積是另一個(gè)底面面積的9倍，那么截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的體積為(　　) A．54 cm3 B．54π cm3 C．58 cm3 D．58π cm3 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　由底面面積之比為1∶9知，體積之比為1∶27. 截得的小圓錐

5、與圓臺(tái)體積比為1∶26， ∴小圓錐的體積為2 cm3， 故原來圓錐的體積為54 cm3，故選A. 反思與感悟　要充分利用旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解，分析題中給出的數(shù)據(jù)，列出關(guān)系式后求出有關(guān)的量，再根據(jù)幾何體的體積公式進(jìn)行運(yùn)算、解答． (1)求臺(tái)體的體積，其關(guān)鍵在于求高，在圓臺(tái)中，一般把高放在等腰梯形中求解． (2)“還臺(tái)為錐”是求解臺(tái)體的體積問題的重要思想，作出截面圖，將空間問題平面化，是解決此類問題的關(guān)鍵． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)圓臺(tái)的高為3，如圖，在軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對(duì)角線垂直于腰，則圓臺(tái)的體積為________

6、． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　21π 解析　設(shè)上，下底面半徑，母線長(zhǎng)分別為r，R，l. 作A1D⊥AB于點(diǎn)D，則A1D＝3，∠A1AB＝60°， 又∠BA1A＝90°， ∴∠BA1D＝60°， ∴AD＝＝， ∴R－r＝. BD＝A1D·tan 60°＝3， ∴R＋r＝3.∴ R＝2，r＝，而h＝3. ∴V圓臺(tái)＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π. ∴圓臺(tái)的體積為21π. 類型三　幾何體體積的求法 命題角度1　等體積法 例3　如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上一點(diǎn)，求三棱錐A

7、1－D1EF的體積． 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的體積 題點(diǎn)　錐體的體積 解　 又三棱錐F－A1D1E的高為CD＝a， 反思與感悟　(1)三棱錐的每一個(gè)面都可當(dāng)作底面來處理． (2)利用等體積法可求點(diǎn)到面的距離． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在三棱錐A1－ABD中，求A到平面A1BD的距離d. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　在三棱錐A1－ABD中，AA1是三棱錐A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝. ∵××12×1＝×××××d， ∴d＝. 命題角度2　割補(bǔ)法 例4　如圖，在多面體ABCDEF中

8、，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF與平面AC的距離為3，求該多面體的體積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　如圖，連接EB，EC，AC.四棱錐E－ABCD的體積VE－ABCD＝×42×3＝16. 因?yàn)锳B＝2EF，EF∥AB， 所以S△EAB＝2S△BEF. 所以VF－EBC＝VC－EFB＝VC－ABE＝VE－ABC ＝×VE－ABCD＝4. 所以該多面體的體積V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20. 反思與感悟　通過“割補(bǔ)法”解決空間幾何體的體積問題，需要思路靈活，有充分的空間想象力，什么時(shí)候“割”，什么時(shí)候“補(bǔ)”，“割”時(shí)割成幾個(gè)圖形，割

9、成什么圖形，“補(bǔ)”時(shí)補(bǔ)上什么圖形，都需要靈活的選擇． 跟蹤訓(xùn)練4　如圖所示，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為2和3，求該幾何體的體積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖所示，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π. 1.已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1—ABC的體積為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的體積 題點(diǎn)　錐體的體積 答案　D 解析　V＝Sh＝××3＝. 2．圓錐的軸

10、截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16π，則圓錐的體積是(　　) A. B. C．64π D．128π 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的體積 題點(diǎn)　錐體的體積 答案　B 解析　設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l， 由題意知2r＝，即l＝r， ∴S側(cè)＝πrl＝πr2＝16π， 解得r＝4. ∴l(xiāng)＝4，圓錐的高h(yuǎn)＝＝4， ∴圓錐的體積為V＝Sh＝π×42×4＝. 3．棱臺(tái)的上、下底面面積分別是2,4，高為3，則該棱臺(tái)的體積是(　　) A．18＋6 B．6＋2 C．24 D．18 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　V＝(2＋4＋)×3＝6＋2. 4．某幾何體的三視圖

11、如圖所示，其體積為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　由三視圖可知該幾何體是半個(gè)圓錐， 則該幾何體的體積為×π×12×2＝. 5．如圖是一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降__________cm. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　0.6 解析　將鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是圓錐的體積． 設(shè)水面下降的高度為x cm，則π×2x＝π×2×20， 得x＝0.6 cm. 1．柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的內(nèi)在關(guān)系為 V柱體＝Sh V臺(tái)體＝h(S＋

12、＋S′)V錐體＝Sh. 2．在三棱錐A－BCD中，若求點(diǎn)A到平面BCD的距離h，可以先求VA－BCD，h＝.這種方法就是用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，其中V一般用換頂點(diǎn)法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原則是V易求，且△BCD的面積易求． 3．求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解． 一、選擇題 1.如圖，ABC－A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C－AA′B′B的體積是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　∵VC－A′B′

13、C′＝VABC－A′B′C′， ∴VC－AA′B′B＝VABC－A′B′C′＝. 2．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得幾何體的體積是(　　) A．4 cm3 B．6 cm3 C．8 cm3 D．12 cm3 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 3．已知圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓的周長(zhǎng)為6π，則它的體積是(　　) A．9π B．9 C．3π D．3 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，高為h，則2πr＝6π，∴r＝3. ∴h＝＝， ∴V＝π·r2·h＝3π. 4.如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝，

14、AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A.π B.π C.π D．2π 考點(diǎn)　組合幾何體的表面積與體積 題點(diǎn)　柱、錐、臺(tái)、球切割的幾何體的表面積與體積 答案　A 解析　由題意，旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓柱，挖去一個(gè)圓錐(如圖)， 該幾何體的體積為π×12×2－×π×12×1＝π. 5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　由三視圖可知，該幾何體是由正三棱柱截去一個(gè)三棱錐得到的幾何體． 正三棱柱的底

15、面邊長(zhǎng)為2，高為2，體積V1＝Sh＝×2××2＝2. 截去的三棱錐的高為1，體積V2＝××1＝. 故所求體積為V＝V1－V2＝，故選C. 6．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為(　　) A．1 B. C．3 D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　在正△ABC中，D為BC中點(diǎn)， 則有AD＝AB＝，S△DB1C1＝×2×＝. 又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD平面ABC， ∴AD⊥平面BB1C1C， 即AD為三棱錐A－B1DC1底面上的高． 7

16、．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為(　　) A．2 B．2 C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長(zhǎng)即為△ABC的邊長(zhǎng)，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2. 8．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是(　　) A．8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm3 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)正方體和一個(gè)正四棱錐構(gòu)成的組合體．下面是棱長(zhǎng)為2 cm的正方體，體積V1＝2×2×2＝8(c

17、m3)；上面是底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為2 cm的正四棱錐，體積V2＝×2×2×2＝(cm3)，所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝(cm3)． 二、填空題 9．設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且＝，則的值是________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，則＝. 由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2， 即r1h1＝r2h2， 所以＝＝＝. 10.如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C

18、＝4，AE＝5.則此幾何體的體積為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　96 解析　用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝V三棱柱＝×S△ABC·AA′＝×24×8＝96. 11．已知某幾何體的三視圖如圖，其中主視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　24－ 解析　該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)半圓柱體，其體積等于3×2×4－×π×12×3＝24－. 三、解答題 12．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，主視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，左視圖

19、是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形． (1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S. 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的體積 題點(diǎn)　錐體的體積 解　由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形、高為4、頂點(diǎn)在底面的投影是矩形中心的四棱錐V—ABCD. (1)V＝×(8×6)×4＝64. (2)該四棱錐的兩個(gè)側(cè)面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為h1＝ ＝4，另兩個(gè)側(cè)面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為h2＝ ＝5. 因此側(cè)面積S＝2×＝40＋24. 13.如圖所示是一個(gè)邊長(zhǎng)為5＋的正方形，剪去陰影部分得到圓錐的側(cè)面和底面展開圖，求該圓錐的體積．

20、 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，則依題意有·2πl(wèi)＝2πr， ∴l(xiāng)＝4r. 又∵AC＝OC＋OA＝r＋r＋l＝(＋5)r，且AC＝×(＋5)， ∴(＋5)r＝(＋5)×， ∴r＝，∴l(xiāng)＝4， ∴h＝＝， ∴V圓錐＝πr2h＝π()2×＝π.故該圓錐的體積為π. 四、探究與拓展 14．一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．2π＋4 B．2π＋8 C．4π＋4 D．4π＋8 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　由三視圖知該幾何體的上面是一個(gè)半圓柱，下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，則由三視圖的尺寸知該幾何體的體積為V＝1×2×4＋×π×12×4＝8＋2π. 15.在三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，則三棱錐A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的體積之比是多少？ 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　設(shè)棱臺(tái)的高為h， S△ABC＝S，則 ∴＝S△ABC·h＝Sh， 又V臺(tái)＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， ∴＝V臺(tái)－ ＝Sh－Sh－Sh＝Sh. ∴∶∶＝1∶2∶4. 16