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1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第十八講《加法原理與乘法原理》教案1 北師大版 　　加法原理和乘法原理是計(jì)數(shù)研究中最常用、也是最基本的兩個(gè)原理．所謂計(jì)數(shù)，就是數(shù)數(shù)，把一些對(duì)象的具體數(shù)目數(shù)出來(lái)．當(dāng)然，情況簡(jiǎn)單時(shí)可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)．如果數(shù)目較大時(shí)，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是不可行的，利用加法原理和乘法原理，可以幫助我們計(jì)數(shù)． 　　加法原理 完成一件工作有n種方式，用第1種方式完成有m1種方法，用第2種方式完成有m2種方法，…，用第n種方式完成有mn種方法，那么，完成這件工作總共有 m1+m2+…+mn 種方法． 　　例如，從A城到B城有三種交通工具：火車(chē)、汽車(chē)、飛機(jī)．坐火車(chē)每天有2個(gè)班次；坐汽車(chē)每天有3個(gè)班次；乘飛

2、機(jī)每天只有1個(gè)班次，那么，從A城到B城的方法共有2+3+1=6種． 　　乘法原理 完成一件工作共需n個(gè)步驟：完成第1個(gè)步驟有m1種方法，完成第2個(gè)步驟有m2種方法，…，完成第n個(gè)步驟有mn種方法，那么，完成這一件工作共有 m1·m2·…·mn 種方法． 　　例如，從A城到B城中間必須經(jīng)過(guò)C城，從A城到C城共有3條路線(設(shè)為a，b，c)，從C城到B城共有2條路線(設(shè)為m，t)，那么，從A城到B城共有3×2=6條路線，它們是： am，at，bm，bt，cm，ct． 　　下面我們通過(guò)一些例子來(lái)說(shuō)明這兩個(gè)原理在計(jì)數(shù)中的應(yīng)用． 　　例1 利用數(shù)字1，2，3，4，5共可組成 　　(1)多少

3、個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？ 　　(2)多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)？ 　　(3)多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的偶數(shù)？ 　　解(1)百位數(shù)有5種選擇；十位數(shù)有4種選擇；個(gè)位數(shù)有3種選擇．所以共有 5×40×3=60 個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)． 　　(2)先選個(gè)位數(shù)，共有兩種選擇：2或4．在個(gè)位數(shù)選定后，十位數(shù)還有4種選擇；百位數(shù)有3種選擇．所以共有 2×4×3=24 個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)． 　　(3)分為5種情況： 　　一位偶數(shù)，只有兩個(gè)：2和4． 　　二位偶數(shù)，共有8個(gè)：12，32，42，52，14，24，34，54． 　　三位偶數(shù)由上述(2)中求得為24個(gè)． 　　四位偶數(shù)共有2×(4×

4、3×2)=48個(gè)．括號(hào)外面的2表示個(gè)位數(shù)有2種選擇(2或4)． 　　五位偶數(shù)共有2×(4×3×2×1)=48個(gè)． 　　由加法原理，偶數(shù)的個(gè)數(shù)共有 2+8+24+48+48=130． 　　例2 從1到300的自然數(shù)中，完全不含有數(shù)字3的有多少個(gè)？ 　　解法1 將符合要求的自然數(shù)分為以下三類(lèi)： 　　(1)一位數(shù)，有1，2，4，5，6，7，8，9共8個(gè)． 　　(2)二位數(shù)，在十位上出現(xiàn)的數(shù)字有1，2，4，5，6，7，8，98種情形，在個(gè)位上出現(xiàn)的數(shù)字除以上八個(gè)數(shù)字外還有0，共9種情形，故二位數(shù)有8×9=72個(gè)． 　　(3)三位數(shù)，在百位上出現(xiàn)的數(shù)字有1，2兩種情形，在十位、個(gè)位上出現(xiàn)

5、的數(shù)字則有0，1，2，4，5，6，7，8，9九種情形，故三位數(shù)有 　　2×9×9=162個(gè)． 　　因此，從1到300的自然數(shù)中完全不含數(shù)字3的共有 　　8+72+162=242個(gè)． 　　解法2 將0到299的整數(shù)都看成三位數(shù)，其中數(shù)字3 　　不出現(xiàn)的，百位數(shù)字可以是0，1或2三種情況．十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字均有九種，因此除去0共有 3×9×9-1=242(個(gè))． 　　例3 在小于10000的自然數(shù)中，含有數(shù)字1的數(shù)有多少個(gè)？ 　　解 不妨將1至9999的自然數(shù)均看作四位數(shù)，凡位數(shù)不到四位的自然數(shù)在前面補(bǔ)0．使之成為四位數(shù)． 　　先求不含數(shù)字1的這樣的四位數(shù)共有幾個(gè)，即有0，2，3

6、，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字所組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)．由于每一位都可有9種寫(xiě)法，所以，根據(jù)乘法原理，由這九個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)個(gè)數(shù)為 9×9×9×9＝6561， 　　其中包括了一個(gè)0000，它不是自然數(shù)，所以比10000小的不含數(shù)字1的自然數(shù)的個(gè)數(shù)是6560，于是，小于10000且含有數(shù)字1的自然數(shù)共有9999-6560=3439個(gè)． 　　例4 求正整數(shù)1400的正因數(shù)的個(gè)數(shù)． 　　解 因?yàn)槿魏我粋€(gè)正整數(shù)的任何一個(gè)正因數(shù)(除1外)都是這個(gè)數(shù)的一些質(zhì)因數(shù)的積，因此，我們先把1400分解成質(zhì)因數(shù)的連乘積 1400=23527 　　所以這個(gè)數(shù)的任何一個(gè)正因數(shù)都是由2，5，7中的n個(gè)相乘而

7、得到(有的可重復(fù))．于是取1400的一個(gè)正因數(shù)，這件事情是分如下三個(gè)步驟完成的： 　　(1)取23的正因數(shù)是20，21，22，33，共3+1種； 　　(2)取52的正因數(shù)是50，51，52，共2+1種； 　　(3)取7的正因數(shù)是70，71，共1+1種． 　　所以1400的正因數(shù)個(gè)數(shù)為 (3+1)×(2+1)×(1+1)=24． 　　說(shuō)明 利用本題的方法，可得如下結(jié)果： 　　若pi是質(zhì)數(shù)，ai是正整數(shù)(i=1，2，…，r)，則數(shù) 的不同的正因數(shù)的個(gè)數(shù)是 (a1+1)(a2+1)…(ar+1)． 　　例5 求五位數(shù)中至少出現(xiàn)一個(gè)6，而被3整除的數(shù)的個(gè)數(shù)． 　　+a5能被3

8、整除， 于是分別討論如下： 　　(1)從左向右計(jì)，如果最后一個(gè)6出現(xiàn)在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個(gè)數(shù)字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余數(shù)所決定．因此，為了保證a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3種可能，根據(jù)乘法原理，5位數(shù)中最后一位是6，而被3整除的數(shù)有 3×10×10×10=3000(個(gè))． 　　(2)最后一個(gè)6出現(xiàn)在第四位，即a4=6，于是a5只有9種可能(因?yàn)閍5不能等于6)，a2，a3各有10種可能，為了保證a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3種可能．根據(jù)乘法

9、原理，屬于這一類(lèi)的5位數(shù)有 3×10×10×9=2700(個(gè))． 　　(3)最后一個(gè)6出現(xiàn)在第3位，即a3=6，被3整除的數(shù)應(yīng)有 3×10×9×9=2430(個(gè))． 　　(4)最后一個(gè)6出現(xiàn)在第2位，即a2=6，被3整除的數(shù)應(yīng)有 3×9×9×9=2187(個(gè))． 　　(5)a1=6，被3整除的數(shù)應(yīng)有 3×9×9×9=2187(個(gè))． 　 　根據(jù)加法原理，5位數(shù)中至少出現(xiàn)一個(gè)6而被3整除的數(shù)應(yīng)有 3000+2700+2430+2187+2187=12504(個(gè))． 　　例6 如圖1－63，A，B，C，D，E五個(gè)區(qū)域分別用紅、藍(lán)、黃、白、綠五種顏色中的某一種著色．如果使相鄰的區(qū)

10、域著不同的顏色，問(wèn)有多少種不同的著色方式？ 　　解 對(duì)這五個(gè)區(qū)域，我們分五步依次給予著色： 　　(1)區(qū)域A共有5種著色方式； 　　(2)區(qū)域B因不能與區(qū)域A同色，故共有4種著色方式； 　　(3)區(qū)域C因不能與區(qū)域A，B同色，故共有3種著色方式； 　　(4)區(qū)域D因不能與區(qū)域A，C同色，故共有3種著色方式； 　　(5)區(qū)域E因不能與區(qū)域A，C，D同色，故共有2種著色方式． 　　于是，根據(jù)乘法原理共有 5×4×3×3×2=360 種不同的著色方式． 　　例7 在6×6的棋盤(pán)上剪下一個(gè)由四個(gè)小方格組成的凸字形，如圖1－64，有多少種不同的剪法？ 　　解 我們把凸字形上面那

11、個(gè)小方格稱(chēng)為它的頭，每個(gè)凸字形有并且只有一個(gè)頭． 　　凸字形可以分為兩類(lèi)：第一類(lèi)凸字形的頭在棋盤(pán)的邊框，但是棋盤(pán)的四個(gè)角是不能充當(dāng)凸字形的頭的．于是，邊框上(不是角)的小方格共有4×4=16個(gè)，每一個(gè)都是一個(gè)凸字形的頭，所以，這類(lèi)凸字形有16個(gè)． 　　第二類(lèi)凸字形的頭在棋盤(pán)的內(nèi)部，棋盤(pán)內(nèi)部的每一個(gè)小方格可以作為4個(gè)凸字形的頭(即頭朝上，頭朝下，頭朝左，頭朝右)，所以，這類(lèi)凸字形有 4×(4×4)=64(個(gè))． 　　由加法原理知，有16+64=80種不同的凸字形剪法． 練習(xí)十八 　　1．把數(shù)、理、化、語(yǔ)、英5本參考書(shū)，排成一行放在書(shū)架上． 　　(1)化學(xué)不放在第1位，共有多少種

12、不同排法？ 　　(2)語(yǔ)文與數(shù)學(xué)必須相鄰，共有多少種不同排法？ 　　(3)物理與化學(xué)不得相鄰，共有多少種不同排法？ 　　(4)文科書(shū)與理科書(shū)交叉排放，共有多少種不同排法？ 　　2．在一個(gè)圓周上有10個(gè)點(diǎn)，把它們兩兩相連，問(wèn)共有多少條不同的線段？ 　　3．用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)， 　　(1)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的五位奇數(shù)？ 　　(2)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的五位奇數(shù)，但1不在百位上？ 　　4．從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，問(wèn)共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？ 　　5．由1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)大于34500的五位數(shù)？ 　　6．今有一角幣一張，兩角幣一張，伍角幣一張，一元幣四張，伍元幣兩張，用這些紙幣任意付款，可以付出不同數(shù)額的款子共有多少種？ 　　7．將三封信投到5個(gè)郵筒中的某幾個(gè)中去，有多少種不同的投法？ 　　8．從字母a，a，a，b，c，d，e中任選3個(gè)排成一行，共有多少種不同的排法？