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高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫 考點(diǎn)40 橢圓(文、理)(含詳解13高考題)

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1、高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫 考點(diǎn)40 橢圓(文、理)(含詳解,13高考題) 一、選擇題 1. (xx·新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科·T5)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,是上的點(diǎn),,,則的離心率為( ) A. B. C. D. 【解題指南】利用已知條件解直角三角形,將用半焦距c表示出來,然后借助橢圓的定義,可得a,c的關(guān)系,從而得離心率. 【解析】選D. 因?yàn)? 所以。 又,所以, 即橢圓的離心率為,選D. 2.(xx·大綱版全國卷高考理科·T8)橢圓C:的左、右頂點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P在C上且直線斜率的取值范圍是,那

2、么直線斜率的取值范圍是 (  ) A. B. C. D. 【解題指南】將代入到中,得到與之間的關(guān)系,利用為定值求解的取值范圍. 【解析】選B.設(shè),則,, ,故.因?yàn)?所以 3. (xx·大綱版全國卷高考文科·T8)已知F1(-1,0),F2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),過F2且垂直于x軸的直線交于A,B兩點(diǎn),且=3,則C的方程為 (  ) A. B. C. D. 【解題指南】由過橢圓的焦點(diǎn)且垂直軸的通徑為求解. 【解析】選

3、C.設(shè)橢圓得方程為,由題意知,又,解得或(舍去),而,故橢圓得方程為. 4. (xx·四川高考文科·T9)從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn),是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn),且(是坐標(biāo)原點(diǎn)),則該橢圓的離心率是( ) A. B. C. D. 【解題指南】本題主要考查的是橢圓的幾何性質(zhì),解題時(shí)要注意兩個(gè)條件的應(yīng)用,一是與軸垂直,二是 【解析】選C,根據(jù)題意可知點(diǎn)P,代入橢圓的方程可得,根據(jù),可知,即,解得,即,解得,故選C. 5. (xx·廣東高考文科·T9)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為,離心率等于,則

4、C的方程是( ) A. B. C. D. 【解題指南】本題考查圓錐曲線中橢圓的方程與性質(zhì),用好的關(guān)系即可. 【解析】選D.設(shè)C的方程為,則,C的方程是. 6. (xx·遼寧高考文科·T11)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為 (  ) A. B. C. D. 【解題指南】 由余弦定理解三角形,結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)(對稱性)求出點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離,進(jìn)而求得 【解析】選B.在三角形中,由余弦定理得 ,又 解

5、得在三角形中,,故三角形為直角三角形.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,連接,根據(jù)橢圓的對稱性,四邊形為矩形, 則其對角線且,即焦距 又據(jù)橢圓的定義,得,所以.故離心率 二、填空題 7.(xx·江蘇高考數(shù)學(xué)科·T12) 在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為,設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,到的距離為,若,則橢圓的離心率為 【解題指南】利用構(gòu)建參數(shù)a,b,c的關(guān)系式. 【解析】由原點(diǎn)到直線的距離為得,因到的距離為故,又所以又解得 【答案】. 8.(xx·上海高考文科·T12)與(xx·上海高考理科·T9)相同 設(shè)AB是橢圓的長軸,點(diǎn)C在上,且.若AB=

6、4,BC=,則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為 . 【解析】 如圖所示,以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系. 【答案】 . 9.(xx·福建高考文科·T15) 與(xx·福建高考理科·T14)相同 橢圓Γ: 的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于       . 【解題指南】,而2c是焦距,2a是定義中的|PF1|+|PF2|=2a,因此,如果題目出現(xiàn)焦點(diǎn)三角形(由曲線上一點(diǎn)連接兩個(gè)焦點(diǎn)而成),求解離心率,一般會選用這種定義法: . 【解析】∠MF1F2是直線的傾斜角,所以∠

7、MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,所以△MF2F1是直角三角形,在Rt△MF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=,所以. 【答案】 . 10. (xx·遼寧高考理科·T15)已知橢圓的左焦點(diǎn)為,與過原點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn),連接若,則的離心率 【解題指南】由余弦定理解三角形,結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)(對稱性)求出點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離,進(jìn)而求得. 【解析】在三角形中,由余弦定理得,又,解得在三角形中,,故三角形為直角三角形。 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,連接,根據(jù)橢圓的對稱性,四邊形為矩形,則其對角線且,即焦距 又據(jù)橢圓的定義,得,所以. 故離心率 【答案】. 三、解答

8、題 11. (xx·陜西高考文科·T20) 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍. (1) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程; (2) 過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點(diǎn). 若A是PB的中點(diǎn), 求直線m的斜率. 【解題指南】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo),根據(jù)已知條件列方程即可;設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得出k與的關(guān)系式,利用中點(diǎn)坐標(biāo)即可得斜率. 【解析】(1) 點(diǎn)M(x,y)到直線x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍,則. 所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓,方程為. (2) P(0, 3), 設(shè), 橢圓經(jīng)檢驗(yàn)直線m不經(jīng)過這2點(diǎn),即直

9、線m斜率k存在。.聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得: 所以,直線m的斜率. 12. (xx·四川高考理科·T20) 已知橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn). (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),點(diǎn)是線段上的點(diǎn),且,求點(diǎn)的軌跡方程. 【解題指南】(1)關(guān)注橢圓的定義,利用定義求出,再求出離心率;(2)首先確定橢圓的方程,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合已知,找到點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系. 【解析】(1)由橢圓定義知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2, 所以a=,又由已知,c=1, 所以橢圓的離心率e===. (2)由(1)知,橢圓C的方程為+y2=1, 設(shè)點(diǎn)

10、Q的坐標(biāo)為(x,y). (ⅰ) 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線l與橢圓C交于(0,1),(0,-1)兩點(diǎn),,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,2?). (ⅱ) 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+2,因?yàn)镸,N在直線l上,可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為則 |AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|AQ|2=(1+k2)x2, 由=+,得=+, 即=+=, ① 將y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. ② 由D=(8k)2?4(2k2+1)′6>0,得k2>. 由②可知,x1+x2=,x1x2=, 代入①并化簡得x2=. ③ 因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上, 所以k=, 代入③并化簡,得10(y?2)2?3x2=18. 由③及k2>,可知0

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