9、對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．
(2)混合問(wèn)題一般是先分類再分步．
(3)分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏．
(4)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問(wèn)題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律．
2．對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮：
(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素．
(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置．
(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．
10、
3．排列、組合問(wèn)題的求解方法與技巧
(1)特殊元素優(yōu)先安排．(2)合理分類與準(zhǔn)確分步．(3)排列、組合混合問(wèn)題先選后排．(4)相鄰問(wèn)題捆綁處理．(5)不相鄰問(wèn)題插空處理．(6)定序問(wèn)題排除法處理．(7)分排問(wèn)題直排處理．(8)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部．(9)構(gòu)造模型．(10)正難則反，等價(jià)條件．
4．對(duì)于二項(xiàng)式定理應(yīng)用時(shí)要注意
(1)區(qū)別“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”，審題時(shí)要仔細(xì)．
項(xiàng)的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負(fù)，二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正．
(2)運(yùn)用通項(xiàng)求展開的一些特殊項(xiàng)，通常都是由題意列方程求出k，再求所需的某項(xiàng)；有時(shí)需先求n，計(jì)算時(shí)要注意n和k的取值范圍及它們之間的
11、大小關(guān)系．
(3)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1.
(4)在化簡(jiǎn)求值時(shí)，注意二項(xiàng)式定理的逆用，要用整體思想看待a，b.
5．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和．
6．正確區(qū)別互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件．
7．混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯(cuò)．
8．要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別
(1)在P(A|B)中，事件A，
12、B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時(shí)發(fā)生．
(2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
9．易忘判定隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，盲目使用二項(xiàng)分布的期望和方差公式計(jì)算致誤．
1．從8名女生和4名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為( )
A．224 B．112 C．56 D．28
答案 B
解析 根據(jù)分層抽樣，從8名女生中抽取2人，從4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法數(shù)為CC＝112.
2．采用系統(tǒng)抽樣方法
13、從學(xué)號(hào)為1到50的50名學(xué)生中選取5名參加測(cè)試，則所選5名學(xué)生的學(xué)號(hào)可能是( )
A．1,2,3,4,5 B．5,26,27,38,49
C．2,4,6,8,10 D．5,15,25,35,45
答案 D
解析 采用系統(tǒng)抽樣的方法時(shí)，即將總體分成均衡的若干部分，分段的間隔要求相等，間隔一般為總體的個(gè)數(shù)除以樣本容量，據(jù)此即可得到答案．采用系統(tǒng)抽樣間隔為＝10，只有D答案中的編號(hào)間隔為10.故選D.
3．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任(每班1位班主任)，要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有( )
A．210種 B．420
14、種
C．630種 D．840種
答案 B
解析 因?yàn)橐?位班主任中男、女教師都要有，所以共有兩種情況，1男2女或2男1女．若選出的3位教師是1男2女，則共有CCA＝180(種)不同的選派方法；若選出的3位教師是2男1女，則共有CCA＝240(種)不同的選派方法，所以共有180＋240＝420(種)不同的方案，故選B.
4．有5張卡片，上面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5.從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張，那么取出的2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 方法一 從5張卡片中隨機(jī)抽2張的結(jié)果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,
15、5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的有7種，故所求概率P＝.
方法二 從5張卡片中抽取2張的結(jié)果有C＝10(種)，2張卡片上的數(shù)字之積為奇數(shù)的有C＝3(種)，故所求概率為P＝＝.
5．200輛汽車通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速的眾數(shù)，中位數(shù)的估計(jì)值為( )
A．62,62.5 B．65,62
C．65,63.5 D．65,65
答案 D
解析 選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點(diǎn)即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為中位數(shù)．最高的矩形為第三
16、個(gè)矩形，所以時(shí)速的眾數(shù)為65；前兩個(gè)矩形的面積為(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，則×10＝5，所以中位數(shù)為60＋5＝65.故選D.
6．道路交通法規(guī)定：行人和車輛路過(guò)十字路口時(shí)必須按照交通信號(hào)指示通行，綠燈行，紅燈停，遇到黃燈時(shí)，如已超過(guò)停車線須繼續(xù)行進(jìn)，某十字路口的交通信號(hào)燈設(shè)置時(shí)間是：綠燈48秒，紅燈47秒，黃燈5秒，小張是個(gè)特別守法的人，只有遇到綠燈才通過(guò)，則他路過(guò)該路口不等待的概率為( )
A．0.95 B．0.05 C．0.47 D．0.48
答案 D
解析 由題意得小張路過(guò)該路口不等待的概率為＝0.48.
7．在如圖所示的電路圖中
17、，開關(guān)a，b，c閉合與斷開的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 設(shè)開關(guān)a，b，c閉合的事件分別為A，B，C，則燈亮事件D＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互獨(dú)立，ABC，AB，AC互斥，所以P(D)＝P(ABC∪AB∪AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＝××＋××＋××＝，故選B.
8．在二項(xiàng)式n的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為( )
A．32 B．－32 C．0 D．1
答案 C
解析 依題意得所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n＝32，解
18、得n＝5.
因此，令x＝1，則該二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于5＝0，故選C.
9．某天連續(xù)有7節(jié)課，其中語(yǔ)文、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物5科各1節(jié)，數(shù)學(xué)2節(jié)．在排課時(shí)，要求生物課不排第1節(jié)，數(shù)學(xué)課要相鄰，英語(yǔ)課與數(shù)學(xué)課不相鄰，則不同排法的種數(shù)為( )
A．408 B．480 C．552 D．816
答案 A
解析 數(shù)學(xué)在第(1,2)節(jié)，從除英語(yǔ)外的4門課中選1門安排在第3節(jié)，剩下的任意排，故有CA＝96(種)排法；數(shù)學(xué)在第(2,3)節(jié)，從除英語(yǔ)、生物外的3門課中選1門安排在第1節(jié)，從除英語(yǔ)外剩下的3門課中再選1門安排在第4節(jié)，剩下的任意排，故有CCA＝54(種)排法；數(shù)學(xué)在(3
19、,4)，(4,5)，(5,6)情況一樣，當(dāng)英語(yǔ)在第1節(jié)時(shí)，其他任意排，故有A＝24(種)排法，當(dāng)英語(yǔ)不在第1節(jié)時(shí)，從除英語(yǔ)，生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié)，再?gòu)某⒄Z(yǔ)外剩下的3門中選2門放在數(shù)學(xué)課前1節(jié)和后1節(jié)，剩下的任意排，有CAA＝36(種)排法，故共有3×(24＋36)＝180(種)排法；數(shù)學(xué)在第(6,7)節(jié)時(shí)，當(dāng)英語(yǔ)在第一節(jié)時(shí)，其他任意排，故有A＝24(種)排法，當(dāng)英語(yǔ)不在第1節(jié)，從除英語(yǔ)，生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié)，再?gòu)某⒄Z(yǔ)外的剩下的3門中選1門放在第5節(jié)，剩下的任意排，有CCA＝54(種)排法，故有24＋54＝78(種)排法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有96＋54＋18
20、0＋78＝408(種)排法．故選A.
10．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：
收入x(萬(wàn)元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(萬(wàn)元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根據(jù)上表可得線性回歸方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元的家庭的年支出為( )
A．11.4萬(wàn)元 B．11.8萬(wàn)元
C．12.0萬(wàn)元 D．12.2萬(wàn)元
答案 B
解析 由題意知，＝＝10，
＝＝8，
∴ ＝8－0.76×10＝0.4，
∴線性回歸方程
21、＝0.76x＋0.4，
∴當(dāng)x＝15時(shí)， ＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬(wàn)元)．
11．已知等比數(shù)列{an}的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式4展開式中的常數(shù)項(xiàng)，則a3·a7＝________.
答案 36
解析 4的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Cx4－2k，
令4－2k＝0，得k＝2，∴常數(shù)項(xiàng)為C＝6，即a5＝6.
∵{an}為等比數(shù)列，∴a3·a7＝a＝62＝36.
12．書架上原來(lái)并排放著5本不同的書，現(xiàn)要再插入3本不同的書，那么不同的插入方法共有________種．
答案 336
解析 由題意得3本不同的書，插入到原來(lái)的5本不同的書中，可分為三步，第一步：先插入第一本，插入到原來(lái)5本
22、不同的書排成的一排所形成的6個(gè)間隔中，有A＝6(種)方法；第二步：再插入第二本，插入到原來(lái)6本不同的書排成的一排所形成的7個(gè)間隔中，有A＝7(種)方法；第三步：再插入第三本，插入到原來(lái)7本不同的書排成的一排所形成的8個(gè)間隔中，有A＝8(種)方法，共有6×7×8＝336(種)不同的插入方法．
13．(x2－x＋1)10的展開式中x3的系數(shù)為________．
答案?。?10
解析 (x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝C(x2－x)k，對(duì)于(x2－x)k通項(xiàng)公式為
Tm＋1＝Cx2k－2m(－x)m＝(－1)mCx2k－m，
令2k－m＝3且m≤k
23、≤10，m∈N，k∈N，
得k＝2，m＝1或k＝3，m＝3，(x2－x＋1)10的展開式中x3的系數(shù)為CC·(－1)＋CC·(－1)3＝－210.
14．某商場(chǎng)在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng)，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止．設(shè)甲每次擊中的概率為p(p≠0)，射擊次數(shù)為η，若η的期望E(η)>，則p的取值范圍是________．
答案
解析 由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，
P(η＝3)＝(1－p)2，則E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋
24、3>，解得p>或p<，
又p∈(0,1)，所以p∈.
15．某工廠的污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過(guò)A系統(tǒng)處理，處理后的污水(A級(jí)水)達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)(簡(jiǎn)稱達(dá)標(biāo))的概率為p(0
25、兩組化驗(yàn)；
方案三：三個(gè)樣本混在一起化驗(yàn)，剩下的一個(gè)單獨(dú)化驗(yàn)；
方案四：混在一起化驗(yàn)．
化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．
(1)若p＝，求2個(gè)A級(jí)水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率；
(2)若p＝，現(xiàn)有4個(gè)A級(jí)水樣本需要化驗(yàn)，請(qǐng)問(wèn)：方案一，二，四中哪個(gè)最“優(yōu)”？
(3)若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”，求p的取值范圍．
解 (1)該混合樣本達(dá)標(biāo)的概率是2＝，
所以根據(jù)對(duì)立事件原理，不達(dá)標(biāo)的概率為1－＝.
(2)方案一：逐個(gè)檢測(cè)，檢測(cè)次數(shù)為4.
方案二：由(1)知，每組兩個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，若達(dá)標(biāo)則檢測(cè)次數(shù)為1，概率為；若不達(dá)標(biāo)則檢測(cè)次數(shù)為3，概率為.故方案二的檢測(cè)次數(shù)記為ξ2，
26、ξ2的可能取值為2,4,6.
其分布列如下，
ξ2
2
4
6
P
2
C××
2
可求得方案二的期望為E(ξ2)＝2×＋4×＋6×＝，
方案四：混在一起檢測(cè)，記檢測(cè)次數(shù)為ξ4，ξ4可取1,5.
其分布列如下，
ξ4
1
5
P
4
1－4
可求得方案四的期望為E(ξ4)＝1×＋5×＝.
比較可得E(ξ4)
27、
η4
1
5
P
p4
1－p4
E(η4)＝1·p4＋5(1－p4)＝5－4p4；
由題意得E(η3)
28、量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；
箱產(chǎn)量<50 kg
箱產(chǎn)量≥50 kg
總計(jì)
舊養(yǎng)殖法
新養(yǎng)殖法
總計(jì)
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)．
附：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2＝.
解 (1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”．
由題意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．
舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為
(0.012＋0
29、.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
故P(B)的估計(jì)值為0.62.
新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為
(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，
故P(C)的估計(jì)值為0.66.
因此事件A的概率估計(jì)值為0.62×0.66＝0.409 2.
(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表
箱產(chǎn)量<50 kg
箱產(chǎn)量≥50 kg
總計(jì)
舊養(yǎng)殖法
62
38
100
新養(yǎng)殖法
34
66
100
總計(jì)
96
104
200
K2＝≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．
(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，
箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為
(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，
故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為50＋≈52.35(kg)．
14
（全國(guó)通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 專題5 概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)案 理
