《（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.2.1 曲線的極坐標(biāo)方程的意義學(xué)案 蘇教版選修4-4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.2.1 曲線的極坐標(biāo)方程的意義學(xué)案 蘇教版選修4-4（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 4.2.1　曲線的極坐標(biāo)方程的意義 1．理解曲線的極坐標(biāo)方程的意義． 2．掌握求曲線的極坐標(biāo)方程的基本方法和一般步驟． 3．掌握曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化． [基礎(chǔ)·初探] 1．曲線的極坐標(biāo)方程 一般地，如果一條曲線上任意一點都有一個極坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0；并且，極坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0的點都在曲線上．那么這個方程稱為這條曲線的極坐標(biāo)方程，這條曲線稱為這個極坐標(biāo)方程的曲線． 2．求曲線的極坐標(biāo)方程的基本步驟 (1)建系(建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系)； (2)設(shè)點(在曲線上任取一點P(ρ，θ)，使點與坐標(biāo)對應(yīng))； (3)列式(根據(jù)曲線上的點所滿

2、足的條件列出等式)； (4)化簡(用極坐標(biāo)ρ，θ表示上述等式，化簡得極坐標(biāo)方程)； (5)證明(證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程)． 3．直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化 或 [思考·探究] 1．曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的含義有什么不同？ 【提示】　由于平面上點的極坐標(biāo)的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一點的坐標(biāo)，這與點的直角坐標(biāo)的惟一性明顯不同．所以對于曲線上的點的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)方程即可．例如對于極坐標(biāo)方程ρ＝θ，點M(，)可以表示為(，＋2π)或(，－2π)或(－，)等多種形式

3、，其中，只有(，)的極坐標(biāo)滿足方程ρ＝θ. 2．在極坐標(biāo)系內(nèi)，如何確定某一個點P是否在某曲線C上？ 【提示】　在直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上每一點的坐標(biāo)一定適合它的方程，可是在極坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上一點的所有坐標(biāo)不一定都適合方程，所以在極坐標(biāo)系內(nèi)，確定某一個點P是否在某一曲線C上，只需判斷點P的極坐標(biāo)中是否有一個坐標(biāo)適合曲線C的方程即可． [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________

4、______________________ 疑問2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 求曲線的極坐標(biāo)方程 　(1)求過點A(1,0)且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)

5、方程； (2)在極坐標(biāo)系中，求半徑為r，圓心為C的圓的極坐標(biāo)方程． 【自主解答】　(1)如圖，設(shè)M(ρ，θ)(ρ≥0)為直線上除點A以外的任意一點， 則∠xAM＝， ∠OAM＝， ∠OMA＝－θ， 在△OAM中，由正弦定理得 ＝， 即＝，所以ρsin(－θ)＝， 即ρ(sincos θ－cossin θ)＝， 化簡，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 經(jīng)檢驗點A(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程， 所以滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ－sin θ)＝1. (2)由題意知，圓經(jīng)過極點O，設(shè)OA為其一條直徑，設(shè)M(ρ，θ)為圓上除點O，A以外的任意一點，如圖，則

6、OA＝2r，連接AM，則OM⊥MA， 在Rt△OAM中，OM＝OAcos∠AOM， 即ρ＝2rcos(－θ)，即ρ＝－2rsin θ， 經(jīng)驗證，點O(0,0)，A(2r，)的坐標(biāo)皆滿足上式， 所以滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程為 ρ＝－2rsin θ. [再練一題] 1．(1)求從極點出發(fā)，傾斜角為的射線的極坐標(biāo)方程． (2)在極坐標(biāo)平面上，求圓心為A，半徑為5的圓的方程． 【導(dǎo)學(xué)號：98990009】 【解】　(1)設(shè)M(ρ，θ)是所求射線上的任意一點，則射線OM就是集合ρ＝.所以所求射線的極坐標(biāo)方程是θ＝(ρ≥0)． (2)在圓上任取一點P(ρ，θ)，那么，在△AOP中

7、，OA＝8，AP＝5，∠AOP＝－θ或θ－.由余弦定理得52＝82＋ρ2－2×8×ρ×cos(θ－)， 即ρ2－16ρcos＋39＝0為所求圓的極坐標(biāo)方程. 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化 　進行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化． (1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)θ＝； (4)ρcos2＝1；(5)ρ2cos 2θ＝4；(6)ρ＝. 【自主解答】　(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化簡得ρsin2θ＝4cos θ. (2)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0得(

8、ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化簡得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)tan θ＝.∴tan＝＝，化簡得y＝x(x≥0)． (4)∵ρcos2＝1.∴ρ＝1即ρ＋ρcos θ＝2. ∴＋x＝2，化簡得y2＝－4(x－1)． (5)∵ρ2cos 2θ＝4，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，∴x2－y2＝4. (6)∵ρ＝，∴2ρ－ρcos θ＝1， ∴2－x＝1，化簡得3x2＋4y2－2x－1＝0. [再練一題] 2．進行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化． (1)y＝x；(2)x2－y2＝1；(3)

9、ρcos θ＝2；(4)ρ＝2cos θ. 【解】　(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x得ρsin θ＝ρcos θ，從而θ＝. (2)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1， 得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化簡，得ρ2＝. (3)∵ρcos θ＝2，∴x＝2，是過點(2,0)且垂直于x軸的直線． (4)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x2＋y2－2x＝0，即 (x－1)2＋y2＝1. 故曲線是圓心在(1,0)，半徑為1的圓. 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 　已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ

10、(ρ＞0,0≤θ＜π)，求曲線C1與C2交點的極坐標(biāo)． 【思路探究】　聯(lián)立兩極坐標(biāo)方程求解ρ、θ即為交點的極坐標(biāo)． 【自主解答】　聯(lián)立方程組得 即4cos2θ＝3， ∴cos θ＝±. 又∵0≤θ＜π，ρ＞0，∴θ＝. 將θ＝代入方程組，得ρ＝2， ∴C1與C2交點的極坐標(biāo)為(2，)． 解決極坐標(biāo)系中曲線問題大致有兩種思路：①化方程為直角坐標(biāo)方程再處理；②根據(jù)ρ、θ的幾何意義，數(shù)形結(jié)合． [再練一題] 3．在以O(shè)為極點的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cos θ，直線l與曲線C交于點A、B，求線段AB的長． 【解】

11、　直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程分別是x－y＝6和y2＝8x. 解方程組得或 設(shè)A(2，－4)，B(18,12)， 所以AB＝＝16. [真題鏈接賞析] 　(教材第32頁習(xí)題4.2第5題)將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程： (1)ρsin＝3；(2)ρ＝5sin； (3)ρ2cos 2θ＝16；(4)ρ＝. 　若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ＋4cos θ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為________． 【命題意圖】　本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化． 【解析】　∵ρ＝2sin θ＋4cos θ， ∴ρ2＝2ρs

12、in θ＋4ρcos θ， ∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0. 【答案】　x2＋y2－2y－4x＝0 1．在極坐標(biāo)系中有如下三個結(jié)論：①點P在曲線C上，則點P的極坐標(biāo)滿足C的極坐標(biāo)方程；②tan θ＝1(ρ∈R)和θ＝(ρ∈R)表示同一條曲線；③ρ＝1和ρ＝－1表示同一條曲線．其中正確的命題是________(填寫相應(yīng)的序號)． 【解析】　在極坐標(biāo)系中，曲線上的點的極坐標(biāo)中必有滿足曲線方程的坐標(biāo)，但不一定所有坐標(biāo)都滿足極坐標(biāo)方程，①錯誤；tan θ＝1(ρ∈R)和θ ＝(ρ∈R)均表示經(jīng)過極點傾斜角為的直線，②正確；ρ＝1和ρ＝－1均表示以極點為圓心，1為半徑

13、的圓，③正確． 【答案】?、冖? 2．在極坐標(biāo)系中，過點P且垂直于極軸的直線方程為________． 【導(dǎo)學(xué)號：98990010】 【解析】　設(shè)直線與極軸的交點為A， 則OA＝OP·cos ＝，又設(shè)直線上任意一點M(ρ，θ)， 則OM·cos θ＝OA，即ρcos θ＝. 【答案】　ρcos θ＝ 3．極坐標(biāo)方程ρ＝1表示________． 【解析】　由ρ＝1得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故表示圓． 【答案】　圓 4．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標(biāo)是________． 【解析】　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝

14、－2y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對應(yīng)的極坐標(biāo)為(1，－)． 【答案】　(1，－) 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 7