《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)學(xué)案 文 蘇教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)學(xué)案 文 蘇教版（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì) [2019考向?qū)Ш絔 考點(diǎn)掃描 三年考情 考向預(yù)測(cè) 2019 2018 2017 1．函數(shù)及其表示 第4題 江蘇高考對(duì)函數(shù)的三要素，函數(shù)的表示方法等內(nèi)容的考查以基礎(chǔ)知識(shí)為主，難度中等偏下．對(duì)圖象的考查主要有兩個(gè)方面：一是識(shí)圖，二是用圖，通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查，則主要是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合一起考查，常以填空題的形式考查，難度較大．分段函數(shù)往往是試題的載體． 2．函數(shù)的圖象 3．函數(shù)的性質(zhì) 第14題 第9題 4．分段函數(shù) 第14題 第14題 1．必記的概念與定理

2、(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)． (2)單調(diào)性：利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號(hào)、下結(jié)論．由幾個(gè)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則． (3)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性． (4)周期性：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)滿足f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，由函數(shù)周

3、期性的定義可知T是函數(shù)的一個(gè)周期；應(yīng)注意nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)的周期． 2．記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論 圖象變換規(guī)則 (1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向左(＋)或向右(－)平移a個(gè)單位而得到． (2)豎直平移：y＝f(x)±b(b>0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向上(＋)或向下(－)平移b個(gè)單位而得到． (3)y＝f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． (4)y＝－f(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱． (5)y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． (6)要得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖象，可將y＝f(x)的圖象

4、在x軸下方的部分以 x軸為對(duì)稱軸翻折到x軸上方，其余部分不變． (7)要得到y(tǒng)＝f(|x|)的圖象，可將y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱性，作出x＜0時(shí)的圖象． (8)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0． (9)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；反之亦然；利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知，偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反． 3．需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn) (1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)

5、的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值集合的并集． (2)從定義上看，函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子區(qū)間上的性質(zhì)，是局部的特征．在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，在整個(gè)定義域上不一定單調(diào)． (3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)． (4)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件． 函數(shù)及其表示 [典型例題] (1)(2019·高考江蘇卷)函數(shù)y＝的定義域是________． (2)函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)開_______． 【解析】　(1)要使函數(shù)有意義，則

6、7＋6x－x2≥0，解得－1≤x≤7，則函數(shù)的定義域是[－1，7]． (2)當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，1]；當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋1單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，1)．故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，1]． 【答案】　(1)[－1，7]　(2)(－∞，1] 函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合，它是函數(shù)不可缺少的組成部分，研究函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念．求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時(shí)可借助于數(shù)軸． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018·高考江蘇卷)函數(shù)f(x)＝

7、的定義域?yàn)開_______． [解析] 要使函數(shù)f(x)有意義，則log2x－1≥0，即x≥2，則函數(shù)f(x)的定義域是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞) 2．(2019·南京四校第一學(xué)期聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)開_______． [解析] 要使f(x)有意義，必須，所以，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椤萚3，＋∞)． [答案] ∪[3，＋∞) 函數(shù)的圖象及應(yīng)用 [典型例題] (1)函數(shù)f(x)＝的圖象大致為________． (2)(2019·鎮(zhèn)江市高三調(diào)研考試)已知函數(shù)y＝與函數(shù)y＝的圖象共有k(k∈N*)個(gè)公共點(diǎn)：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，

8、…，Ak(xk，yk)，則(xi＋yi)＝________． 【解析】　(1)由f(x)＝，可得f′(x)＝＝， 則當(dāng)x∈(－∞，0)和x∈(0，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，故②正確． (2)函數(shù)y＝f(x)＝滿足f(x)＋f(－x)＝2，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱，且f(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)∈(0，2)．又函數(shù)y＝的圖象也關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱，且在(0，＋∞)和(－∞，0)上單調(diào)遞減，畫出兩函數(shù)的大致圖象如圖所示，所以兩個(gè)函數(shù)的圖象共有2個(gè)公共點(diǎn)，A1(x1，

9、y1)，A2(x2，y2)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱，則(xi＋yi)＝x1＋x2＋y1＋y2＝2． 【答案】　(1)②　(2)2 (1)利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，一定要注意其對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：圖象的左右范圍對(duì)應(yīng)定義域；上下范圍對(duì)應(yīng)值域；上升、下降趨勢(shì)對(duì)應(yīng)單調(diào)性；對(duì)稱性對(duì)應(yīng)奇偶性． (2)有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；利用此法也可由解的個(gè)數(shù)求參數(shù)值． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 3．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，則f的值等于________． [解析] 因?yàn)橛蓤D象知f(

10、3)＝1，所以＝1．所以f＝f(1)＝2． [答案] 2 函數(shù)的性質(zhì) [典型例題] (1)已知函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于________． (2)(2019·泰州模擬)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)有定義．對(duì)于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)fk(x)＝取函數(shù)f(x)＝2－|x|．當(dāng)k＝時(shí)，函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為______． 【解析】　(1)f(x)＝＝2＋， 設(shè)g(x)＝，因?yàn)間(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)max＋g(x)min＝0． 因?yàn)镸＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)

11、min， 所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4． (2)由f(x)>，得－1

12、是函數(shù)整體與局部的性質(zhì)，它們往往在研究函數(shù)中“并駕”而行，解題時(shí)往往先通過函數(shù)奇偶性進(jìn)行變形，再利用單調(diào)性求解． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 4．已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0．若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________． [解析] 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示，由f(x－1)>0，得－2

13、]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________． 【解析】　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是4．因?yàn)樵趨^(qū)間(－2，2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos＝． 【答案】　 求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解，有時(shí)每段交替使用求值．若給出函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 5． (2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(三))已知函數(shù)f(x)＝當(dāng)x∈時(shí)，恒有

14、f(x＋a)＜f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析] 顯然a≠0，故考慮a＞0和a＜0兩種情形．①當(dāng)a＞0時(shí)，畫圖知，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故f(x＋a)＞f(x)，不符合題意；②當(dāng)a＜0時(shí)，此時(shí)f(x)的圖象如圖所示，由于不等式f(x＋a)＜f(x)中兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量相差為－a，因此用弦長為－a的線段“削峰填谷”，可得?，即－＜－，即2a2－a－2＜0，解得＜a＜0． [答案] 6．設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R．若f＝f，則f(5a)的值是________． [解析] 由題意可得f＝f＝－＋a

15、，f＝f＝＝，則－＋a＝，a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－． [答案] － 1．已知函數(shù)f(x)＝若f[f(0)]＝4a，則實(shí)數(shù)a＝________． [解析] 由題意知，f(0)＝20＋1＝2，則f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a，即4＋2a＝4a，所以a＝2． [答案] 2 2．(2019·江蘇省六市高三調(diào)研)函數(shù)f(x)＝的定義域是________． [解析] 由題意得解得－2≤x≤2，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)閇－2，2]． [答案] [－2，2] 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b 的值是________．

16、 [解析] 因?yàn)閒(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)， 所以a－1＋2a＝0，所以a＝．又f(－x)＝f(x)， 所以b＝0，所以a＋b＝． [答案] 4．若f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，則f(x)＝________． [解析] 由題意知2f(x)－f(－x)＝3x＋1．① 將①中x換為－x，則有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1．② ①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，即f(x)＝x＋1． [答案] x＋1 5．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考信息(八))已知a∈R，函數(shù)f(x)＝a－的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則關(guān)于x的不等式f(x2

17、＋x)＋f(x－8)<0的解集為______． [解析] 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝a－的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(，)，所以f()＝a－＝，解得a＝1，所以f(x)＝1－＝，易知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)．又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函數(shù)，所以關(guān)于x的不等式f(x2＋x)＋f(x－8)<0可轉(zhuǎn)化為f(x2＋x)

18、____． [解析] 由題意得f(x＋2)＝2f(x)，所以f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝16，所以log2f(8)＝log216＝4． [答案] 4 7．定義新運(yùn)算⊕：當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b＝a；當(dāng)a

19、高考名校聯(lián)考(一))已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(－x2－1)≤f(－x2＋5x)的解集為________． [解析] 因?yàn)椋瓁2－1≤－1＜0，所以f(－x2－1)＝2，當(dāng)－x2＋5x≤0時(shí)，f(－x2－1)＝f(－x2＋5x)＝2，原不等式成立，此時(shí)，x≥5或x≤0；當(dāng)－x2＋5x＞0時(shí)，則需f(－x2＋5x)≥2，即(－x2＋5x)2－(－x2＋5x)＋2≥2，－x2＋5x≥4，得1≤x≤4．故原不等式的解集為(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)． [答案] (－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞) 9．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(五))已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)

20、，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－mx(m∈R)．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2，1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的最小值為________． [解析] 當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－mx＝－，所以當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2，1)上不可能單調(diào)遞減，所以不滿足條件；當(dāng)m＞0時(shí)，根據(jù)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)y＝f(x)在上單調(diào)遞減，所以即m≥4，所以實(shí)數(shù)m的最小值為4． [答案] 4 10．如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x．將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為________(填

21、序號(hào))． [解析] 當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f(x)＝tan x＋，圖象不會(huì)是直線段，從而排除①，③． 當(dāng)x∈[，]時(shí)，f()＝f()＝1＋，f()＝2．因?yàn)?＜1＋， 所以f()＜f()＝f()，從而排除④． [答案] ② 11．若函數(shù)f(x)＝(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式． [解] 由f(2)＝1得＝1， 即2a＋b＝2； 由f(x)＝x得＝x，變形得x＝0， 解此方程得x＝0或x＝， 又因方程有唯一解，故＝0， 解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝， 所以f(x)＝． 12．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠

22、1)． (1)若f(x)的圖象如圖(1)所示，求a，b的值； (2)若f(x)的圖象如圖(2)所示，求a、b的取值范圍； (3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求出m的范圍． [解] (1)f(x)的圖象過點(diǎn)(2，0)，(0，－2)， 所以a2＋b＝0，a0＋b＝－2， 解得a＝，b＝－3． (2)由題圖(2)知，f(x)單調(diào)遞減，所以0

23、自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性； (2)是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說明理由． [解] (1)因?yàn)閒(x)＝ex－e－x，且y＝ex是增函數(shù)， y＝－e－x是增函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù)． 由于f(x)的定義域?yàn)镽， 且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)． (2)由(1)知f(x)是增函數(shù)且是奇函數(shù)，所以f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x∈R恒成立，f(x2－t2)≥f(t－x)對(duì)一切x∈R恒成立，x2－t2≥t－x對(duì)一切x∈R恒成立，t2＋t

24、≤x2＋x對(duì)一切x∈R恒成立，t2＋t≤(x2＋x)min對(duì)一切x∈R恒成立，即t2＋t≤－，(2t＋1)2≤0，所以t＝－． 即存在實(shí)數(shù)t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x∈R都成立． 14．(2019·揚(yáng)州模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)． (1)求f(2 016)的值； (2)求證：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱； (3)若f(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，試比較f(－25)，f(11)，f(80)的大?。? [解] (1)因?yàn)閒(x－4)＝－f(x)， 所以f(x)＝－f(x－4)＝－{－f[(x－4)－4]}

25、 ＝f(x－8)， 知函數(shù)f(x)的周期為T＝8． 所以f(2 016)＝f(252×8)＝f(0)． 又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)． 所以f(0)＝0，故f(2 016)＝0． (2)證明：因?yàn)閒(x)＝－f(x－4)， 所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，即f(2＋x)＝f(2－x)成立． 故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱． (3)由(1)知f(x)是以8為周期的周期函數(shù)， 所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)， f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)， f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)． 又f(x)在[0，2]上是增函數(shù)，且f(x)在R上為奇函數(shù)，所以f(x)在[－2，2]上為增函數(shù)， 則有f(－1)