5、選擇建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)建立函數(shù)關(guān)系或曲線方程，以利于解決問題．
[跟蹤訓(xùn)練]
1.在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取兩個(gè)高度均為h的圓柱，其軸截面如圖3-4-1所示．設(shè)兩個(gè)圓柱體積之和為V＝f(h)．
圖3-4-1
(1)求f(h)的表達(dá)式，并寫出h的取值范圍．
(2)求兩個(gè)圓柱體積之和V的最大值．
【解】 (1)自下而上兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為：
r1＝，
r2＝.
它們的高均為h，所以體積之和
V＝f(h)＝πrh＋πrh＝πh＝π.
因?yàn)?＜2h＜1，所以h的取值范圍是.
(2)由f(h)＝π(2h－5h3)，得f′(h)＝π(2－15h2)，
6、令f′(h)＝0，因?yàn)閔∈，得h＝.
所以當(dāng)h∈時(shí)，f′(h)＞0；當(dāng)h∈時(shí)，f′(h)＜0.
所以f(h)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以當(dāng)h＝時(shí)，f(h)取得極大值也是最大值，
f(h)的最大值為f＝.
答：兩個(gè)圓柱體積之和V的最大值為.
用料最省、節(jié)能減耗問題
如圖3-4-2所示，有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海岸的同側(cè)，乙廠位于離海岸40 km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50 km.兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠鋪設(shè)的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，則供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最??？
【導(dǎo)學(xué)號：
7、95902247】
圖3-4-2
[思路探究] 先列出自變量，通過三角知識列出水管費(fèi)用的函數(shù)，然后求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求出最小值．
【自主解答】 設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km，則BD＝40 km，AC＝(50－x)km，
∴BC＝＝(km)．又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意，
得y＝3a(50－x) ＋5a(0≤x≤50)，則y′＝－3a＋，令y′＝0，解得x＝30.當(dāng)x∈[0,30)時(shí)，y′＜0，當(dāng)x∈(30,50]時(shí)，y′＞0,
∴當(dāng)x＝30時(shí)函數(shù)取得最小值，此時(shí)AC＝50－x＝20(km)，即供水站建在A，D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省．
[規(guī)律方法]
1．像
8、本例節(jié)能減耗問題，背景新穎，信息較多，應(yīng)準(zhǔn)確把握信息，正確理清關(guān)系，才能恰當(dāng)建立函數(shù)模型．
2．實(shí)際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、最節(jié)省時(shí)間等都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時(shí)根據(jù)f′(x)＝0求出極值點(diǎn)(注意根據(jù)實(shí)際意義舍棄不合適的極值點(diǎn))后，函數(shù)滿足左減右增，此時(shí)惟一的極小值就是所求函數(shù)的最小值．
[跟蹤訓(xùn)練]
2．某工廠需要建一個(gè)面積為512 m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，則要使砌墻所用的材料最省，則堆料場的長為________，寬為________．
【解析】 如圖所示，設(shè)場地一邊長為x m，則另一邊長為 m，
因此新墻總長度L＝2x＋(x＞0)，
9、L′＝2－.令L′＝2－＝0，得x＝16或x＝－16.
∵x＞0，∵x＝16.∵L在(0，＋∞)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，
∴它必是最小值點(diǎn)．
∵x＝16，∴＝32.故當(dāng)堆料場的寬為16 m，長為32 m時(shí)，可使砌墻所用的材料最?。?
【答案】 16 m 32 m
利潤最大問題
[探究問題]
1．在有關(guān)利潤最大問題中，經(jīng)常涉及“成本、單價(jià)、銷售量”等詞語，你能解釋它們的含義嗎？
【提示】 成本是指企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)經(jīng)營所耗費(fèi)的貨幣計(jì)量，一般包括固定成本(如建設(shè)廠房、購買機(jī)器等一次性投入)和可變成本(如生產(chǎn)過程中購買原料、燃料和工人工資等費(fèi)用)，單價(jià)是指單位商品的價(jià)格，銷售量是指所銷售商品的
10、數(shù)量．
2．什么是銷售額(銷售收入)？什么是利潤？
【提示】 銷售額＝單價(jià)×銷售量，利潤＝銷售額－成本．
3．根據(jù)我們以前所掌握的解決實(shí)際應(yīng)用問題的思路，你認(rèn)為解決利潤最大問題的基本思路是什么？
【提示】 在解決利潤最大問題時(shí)，其基本思路如圖所示．
某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量w(單位：百千克)與肥料費(fèi)用x(單位：百元)滿足如下關(guān)系：w＝4－，且投入的肥料費(fèi)用不超過5百元．此外，還需要投入其他成本(如施肥的人工費(fèi)等)2x百元．已知這種水蜜桃的市場售價(jià)為16元/千克(即16百元/百千克)，且市場需求始終供不應(yīng)求．記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為L(x)(單位：百元)．
(1
11、)求利潤函數(shù)L(x)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
[思路探究] (1)利潤＝收入－總成本．其中，收入＝產(chǎn)量×售價(jià)，總成本＝肥料費(fèi)用＋其他成本；
(2)利用求導(dǎo)、列表、定最值．
【自主解答】 (1)當(dāng)肥料費(fèi)用為x百元時(shí)，收入為16百元，總成本為(x＋2x)百元．
所以L(x)＝16－(x＋2x)＝64－－3x(百元)，其中x∈[0,5]．
(2)L′(x)＝－3，x∈[0,5]．
令L′(x)＝0，得x＝3.
列表如下：
x
0
(0,3)
3
(3,5)
5
L′(x)
＋
0
12、－
L(x)
↗
極大值
↘
由上表可知，L(x)max＝L(3)＝43.
答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，該水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是4 300元．
[規(guī)律方法] 解決最優(yōu)化問題的一般步驟：
(1)根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系列出數(shù)學(xué)模型；
(2)對函數(shù)求導(dǎo)，并求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，確定函數(shù)極值；
(3)比較區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值和極值之間的大小，得到最優(yōu)解.
[跟蹤訓(xùn)練]
3．某食品廠進(jìn)行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本為20元，并且每公斤蘑菇的加工費(fèi)為t元(t為常數(shù)，且2≤t≤5)，設(shè)該食品廠每公斤蘑菇的出廠價(jià)為x元(25≤x≤40)，根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量q與
13、ex成反比，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價(jià)為30元時(shí)，日銷售量為100公斤．
(1)求該工廠的每日利潤y元與每公斤蘑菇的出廠價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若t＝5，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的每日利潤最大？并求最大值.
【導(dǎo)學(xué)號：95902248】
【解】 (1)設(shè)日銷量q＝，則＝100，∴k＝100e30，
∴日銷量q＝，
∴y＝(25≤x≤40)．
(2)當(dāng)t＝5時(shí)，y＝，
∴y′＝.
由y′＞0，得25≤x＜26，由y′＜0，得26＜x≤40，
∴y在[25,26)上單調(diào)遞增，在(26,40]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＝26時(shí)，ymax＝100e4.
故當(dāng)每公斤蘑菇的
14、出廠價(jià)為26元時(shí)，該工廠的每日利潤最大，最大值為100e4元．
[構(gòu)建·體系]
[當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基]
1．一個(gè)圓錐形漏斗的母線長為20，高為h，則體積V的表達(dá)式為________．
【解析】 設(shè)圓錐的高為h，則圓錐的底面半徑為r＝，則V＝π(400－h(huán)2)h.
【答案】 π(400－h(huán)2)h
2．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù)，y1＝17x2；生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù)，y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)________千臺.
【導(dǎo)學(xué)號：95902249】
【解析】 構(gòu)造利潤函數(shù)y＝y(tǒng)1－y2＝18x2－2x3(x＞
15、0)，y′＝36x－6x2，
由y′＝0是x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函數(shù)y在(0，＋∞)上唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．即生產(chǎn)6千臺時(shí)，利潤最大．
【答案】 6
3．某箱子的容積與底面邊長x的關(guān)系為V(x)＝x2(0＜x＜60)，則當(dāng)箱子的容積最大時(shí)，箱子底面邊長為________．
【解析】 V′(x)＝2x·＋x2·＝－x2＋60x＝－x(x－40)．
令V′(x)＝0，得x＝40或x＝0(舍)．不難確定x＝40時(shí)，V(x)有最大值．
即當(dāng)?shù)酌孢呴L為40時(shí)，箱子容積最大．
【答案】 40
4．做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，若要使其容積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑
16、為________．
【解析】 設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則V＝πR2L＝27π，∴L＝.
要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，
∴S′表＝2πR－.令S′＝0，解得R＝3.
∵R∈(0,3)時(shí)，S表單調(diào)遞減，R∈(3，＋∞)時(shí)，S表單調(diào)遞增，∴當(dāng)R＝3時(shí)，S表最?。?
【答案】 3
5．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本c(x)＝1200＋x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，則產(chǎn)量定為多少件時(shí)，總利潤最大？并求出最大總利潤．
【解】 由題意，可設(shè)p2＝，其中k為比例系數(shù)．因?yàn)楫?dāng)x＝100時(shí)，p＝50，所以k＝250 000，
所以p2＝，p＝，x＞0.設(shè)總利潤為y萬元，
則y＝·x－1200－x3＝500－x3－1 200.
求導(dǎo)數(shù)得，y′＝－x2.令y′＝0得x＝25.故當(dāng)x＜25時(shí)，y′＞0；當(dāng)x＞25時(shí)，y′＜0.
因此當(dāng)x＝25時(shí)，函數(shù)y取得極大值，也是最大值，即最大利潤為萬元．
【答案】 25
8
（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修1-1
