《2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》導(dǎo)學(xué)案1》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》導(dǎo)學(xué)案1(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》導(dǎo)學(xué)案1
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面向量基本定理;
2.理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示,初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的重要思想方法;
3.能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來(lái)表達(dá).
【導(dǎo)入新課】
復(fù)習(xí)引入:
1. 實(shí)數(shù)與向量的積
實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量,記作:λ.(1)|λ|=|λ|||;(2)λ>0時(shí),λ與方向相同;λ<0時(shí),λ與方向相反;λ=0時(shí),λ=.
2.運(yùn)算定律
結(jié)合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ.
2、
3. 向量共線定理
向量與非零向量共線的充要條件是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ,使=λ.
新授課階段
一、平面向量基本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2.
探究:
(1) 我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;
(2) 基底不惟一,關(guān)鍵是不共線;
(3) 由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進(jìn)行分解;
(4)基底給定時(shí),分解形式惟一. λ1,λ2是被,,唯一確定的數(shù)量.
二、平面向量的坐標(biāo)表示
如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向
3、量、作為基底.任作一個(gè)向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使得
…………○1
我們把叫做向量的(直角)坐標(biāo),記作
…………○2
其中叫做在軸上的坐標(biāo),叫做在軸上的坐標(biāo),○2式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.
特別地,,,.
如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作,則點(diǎn)的位置由唯一確定.
設(shè),則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo);反過(guò)來(lái),點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.
三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)若,,則,.兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
設(shè)基底為、,則,即,同理可得.
4、
(2)若,,則.
一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).
=-=( x2,y2) -(x1,y1)= (x2- x1,y2- y1).
(3)若和實(shí)數(shù),則.
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).
設(shè)基底為、,則,即.
例1 已知A(x1,y1),B(x2,y2),求的坐標(biāo).
例2 已知=(2,1), =(-3,4),求+,-,3+4的坐標(biāo).
例3 已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).
解:
例4 已知三個(gè)力(3,4),(
5、2, -5), (x, y)的合力++=,求的坐標(biāo).
解:
例5 已知=(2,1), =(-3,4),求 +,-,3+4的坐標(biāo).
解:
例6 已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-2,1)、(-1,3)(3,4),求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
解:
例7 經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線分別交軸、軸于點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo).
解:
例8 已知三點(diǎn),若,試求實(shí)數(shù)的取值范圍,使落在第四象限.
解:
例9 已知向量,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)同時(shí)滿足兩個(gè)條件:?如果存在,求出的值;如
6、果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:
課堂小結(jié)
(1)理解平面向量的坐標(biāo)的概念;
(2)掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算;
(3)會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo),判斷向量是否共線.
作業(yè)
見(jiàn)同步練習(xí)
拓展提升
1.設(shè)是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,不能以下各組向量中作為基底的是( )
A. , B. +, C. ,2 D.,+
2. 設(shè)是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底,則以下各組向量中,不能作為基底的是( )
A. +和- B. 3-2和4-6
C. +2和2+ D.
7、+和
3. 已知不共線, =+,=4 +2,并且,共線,則下列各式正確的是( )
A. =1, B. =2, C. =3, D. =4
4.設(shè)=+5,=-2+8,=3-3,那么下列各組的點(diǎn)中三點(diǎn)一定共線的是( )
A. A,B,C B. A,C,D C. A,B,D D.?。?,C,D
5.下列說(shuō)法中,正確的是( ?。?
①一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底; ?、谝粋€(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底; ?、哿阆蛄坎?/p>
8、可作為基底中的向量。
A.①② ?。拢佗邸 。茫冖邸 。蘑佗冖?
6.已知是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么下列兩個(gè)結(jié)論中正確的是( )
①+(,為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量;②若有實(shí)數(shù),使+=,則==0。
A.① ?。拢凇 。茫佗凇 。模陨隙疾粚?duì)
7.已知AM=△ABC的BC邊上的中線,若=,=,則=( ?。?
A.( - ) B.?。?- )
C.-( +) D.( +)
8.已知ABCDEF是正六邊形,=,=,則=( ?。?
A.( - ) ?。拢。?- )
C.+ D.( +)
9.如果3+4=,2+3=
9、,其中,為已知向量,則= ,= 。
10.已知是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,且=2+k,=+3,=2-,如果A,B,D三點(diǎn)共線,則k的值為 。
11.當(dāng)k為何值時(shí),向量=4+2,=k+共線,其中、是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量。
12.已知:、是不共線的向量,當(dāng)k為何值時(shí),向量=k+與=+k共線?
參考答案
例3
解:當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí),由得D1=(2,2)
當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí),得D2=(4, 6),當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí),得D3=(-6,0)
例4
解:由題設(shè)++=,得:(3,4)+ (2,-5)+(x
10、,y)=(0,0)
即: ∴ ∴(-5,1)
例5
解:+=(2,1)+(-3,4)=(-1,5),
-=(2,1)-(-3,4)=(5,-3),
3+4=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
點(diǎn)評(píng):利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解。
例6
解:設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),
即 3- x=1,4-y=2.
解得 x=2,y=2.
所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).
另解:由平行四邊形法則可得
例7
解:由題設(shè)知,三點(diǎn)共線,且,設(shè),
①點(diǎn)在之間,則有, ∴.
解之得:, 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.
②點(diǎn)不在之間,則有,同理,可求得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
.
綜上,點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或,.
例8.
解:設(shè)點(diǎn),由題設(shè)得,
∴, 要使落在第四象限,則,
解之得.
例9
解:假設(shè)滿足條件的實(shí)數(shù)存在,則有解之得:
∴滿足條件的實(shí)數(shù).
拓展提升
1.C 2.B 3.B 4.C
5.C 6.C 7.D 8.D 9. 10.-8
11.②③⑤ 12.k=2