《2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的數(shù)量積》學(xué)習(xí)過程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的數(shù)量積》學(xué)習(xí)過程（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的數(shù)量積》學(xué)習(xí)過程 學(xué)習(xí)過程 知識點一：平面向量的數(shù)量積 （1） 定義：：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cosq叫與的數(shù)量積，記作×，即有× = ||||cosq，（０≤θ≤π） （2） .并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0. （3） 投影：“投影”的概念：作圖 ①定義：||cosq叫做向量在方向上的投影. ②投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 ||；當(dāng)q = 180°時投影為 -|

2、|. （4） 兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積的區(qū)別 ①兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.當(dāng)0°≤＜90°時，×＞0；當(dāng)=90°時，×=0；當(dāng)90°＜≤180°時，×＜0. ②兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成×；.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替. ③在實數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若，且×=0，不能推出.因為其中cosq有可能為0. （5）平面向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積×等于的長度與在方向上投影||cosq的乘積. 注意：在方向上投影可以寫成 （6）平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)、

3、為兩個非零向量， ① ^ ? × = 0 ② 當(dāng)與同向時，× = ||||；當(dāng)與反向時，×= -||||. 特別的× = ||2或 ③ ④cosq =，利用這一關(guān)系，可求兩個向量的夾角。 （7）平面向量數(shù)量積的運算律 ①．交換律： ②．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：()×=(×) = ×() ③．分配律：(+)×= ×+ × 說明：①一般地，(·)·≠·（·） ②·＝·，≠0＝ ③有如下常用性質(zhì)： （＋）（＋）＝·＋·＋·＋· 知識點二：平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 （1） 已知兩個非零向量，則·，即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。 （2） 向量模的坐標(biāo)表示

4、 ①設(shè)，則. ②如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、，那么 （3） 注意：若A、B，則,所以的實質(zhì)是A,B的兩點的距離或是線段的長度，這也是模的幾何意義。 （4） 兩個向量垂直的條件 設(shè)，則^ ? （5） 兩向量夾角的余弦公式 （6） 設(shè)兩個非零向量，是與的夾角，則有cos== 學(xué)習(xí)結(jié)論 （1） 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定. （2） 數(shù)學(xué)中涉及向量中點、夾角、距離、平行與垂直問題，均可轉(zhuǎn)化為向量問題。 （3） 兩向量垂直的充要條件有時與向量共線條件結(jié)合在一起，要注意兩者的聯(lián)系。 典型例題 例1 已知與都是非零向量，

5、且+ 3與7 - 5垂直， - 4與7- 2垂直，求與的夾角. 解：由( + 3)·(7 - 5) = 0 T =0 ① ( - 4)·(7 - 2) = 0 T ② 兩式相減： 代入①或②得： 設(shè)、的夾角為q，則cosq ==，又因為０≤θ≤π ∴q = 60° 例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和. 解析：如圖：平行四邊形ABCD中，，，= ∴||2= 而= ， ∴|= ∴= 2= 例3. 如圖，以原點和A(5， 2)為頂點作等腰直角△OAB，使DB = 90°，求點B和向量的坐標(biāo). 答案:B點坐標(biāo)或；=或 解析：設(shè)B

6、點坐標(biāo)(x， y)，則= (x， y)，= (x-5， y-2) ∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴B點坐標(biāo)或；=或 例4. 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角， 求k值. 答案：k =或k = 或k = 解析：當(dāng)A = 90°時，×= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 當(dāng)B = 90°時，×= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3) ∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k = 當(dāng)C = 90°時，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k =