2022年高中數(shù)學必修四 3.1.2 《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》示范教案
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1、2022年高中數(shù)學必修四 3.1.2 《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》示范教案 教學分析 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上,進一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導中,教科書都把對照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式,認清其區(qū)別,尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點,如比較cos(α-β)與cos(α+β),它們都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式從運算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系,即α+β=α-(-β)的關(guān)系,從而由公式C(α-β)推得公式C(α+β),又如比較sin(α-β)與cos(α-β),它們包含的角相同但函數(shù)名稱
2、不同,這就要求進行函數(shù)名的互化,利用誘導公式(5)(6)即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等. 2.通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導,揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運算規(guī)律,還使學生加深了數(shù)學公式的推導、證明方法的理解.因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學生運算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容,對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力,發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義. 3.本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的,其推導過程也充分說明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,讓學生深刻領(lǐng)會它們的這種聯(lián)系,從而加深對公式的理解和記憶.本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓練學生思維的有序性,逐步培養(yǎng)他們良好的思維
3、習慣,教學中應當有意識地對學生的思維習慣進行引導,例如在面對問題時,要注意先認真分析條件,明確要求,再思考應該聯(lián)系什么公式,使用公式時要具備什么條件等.另外,還要重視思維過程的表述,不能只看最后結(jié)果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等,這些都是培養(yǎng)學生三角恒等變換能力所不能忽視的. 三維目標 1.在學習兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上,通過讓學生探索、發(fā)現(xiàn)并推導兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過強化題目的訓練,加深對公式的理解,培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力,從而提高解決問題的能力. 2.通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用,會進行簡單的求值、化簡、恒等證明,使
4、學生深刻體會聯(lián)系變化的觀點,自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題,提高學生分析問題解決問題的能力. 3.通過本節(jié)學習,使學生掌握尋找數(shù)學規(guī)律的方法,提高學生的觀察分析能力,培養(yǎng)學生的應用意識,提高學生的數(shù)學素質(zhì). 重點難點 教學重點:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導. 教學難點:靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明. 課時安排 2課時 教學過程 第1課時 導入新課 思路1.(舊知導入)教師先讓學生回顧上節(jié)課所推導的兩角差的余弦公式,并把公式默寫在黑板上或打出幻燈片,注意有意識地讓學生寫整齊.然后教師引導學生觀察cos(α-β)與cos(α+β)、sin(α-β
5、)的內(nèi)在聯(lián)系,進行由舊知推出新知的轉(zhuǎn)化過程,從而推導出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本節(jié)課我們共同研究公式的推導及其應用. 思路2.(問題導入)教師出示問題,先讓學生計算以下幾個題目,既可以復習回顧上節(jié)所學公式,又為本節(jié)新課作準備.若sinα=,α∈(0,),cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.學生利用公式C(α-β)很容易求得cos(α-β),但是如果求cos(α+β)的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式C(α-β)的形式來求,此時思路受阻,從而引出新課題,并由此展開聯(lián)想探究其他公式. 推進新課 新知探究 提出問題 ①還記得兩角差的余弦公式嗎?
6、請一位同學到黑板上默寫出來. ②在公式C(α-β)中,角β是任意角,請學生思考角α-β中β?lián)Q成角-β是否可以?此時觀察角α+β與α-(-β)之間的聯(lián)系,如何利用公式C(α-β)來推導cos(α+β)=? ③分析觀察C(α+β)的結(jié)構(gòu)有何特征? ④在公式C(α-β)、C(α+β)的基礎(chǔ)上能否推導sin(α+β)=?sin(α-β)=? ⑤公式S(α-β)、S(α+β)的結(jié)構(gòu)特征如何? ⑥對比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β),能否推導出tan(α-β)=? tan(α+β)=? ⑦分析觀察公式T(α-β)、T(α+β)的結(jié)構(gòu)特征如何? ⑧思考如何靈活運
7、用公式解題? 活動:對問題①,學生默寫完后,教師打出課件,然后引導學生觀察兩角差的余弦公式,點撥學生思考公式中的α,β既然可以是任意角,是怎樣任意的?你會有些什么樣的奇妙想法呢?鼓勵學生大膽猜想,引導學生比較cos(α-β)與cos(α+β)中角的內(nèi)在聯(lián)系,學生有的會發(fā)現(xiàn)α-β中的角β可以變?yōu)榻?β,所以α-(-β)=α+β〔也有的會根據(jù)加減運算關(guān)系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.這時教師適時引導學生轉(zhuǎn)移到公式C(α-β)上來,這樣就很自然地得到 cos(α+β)=cos[α-(-β)] =cosαcos(-β)+sinαsin(-β) =cosαcosβ-sin
8、αsinβ. 所以有如下公式: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 我們稱以上等式為兩角和的余弦公式,記作C(α+β). 對問題②,教師引導學生細心觀察公式C(α+β)的結(jié)構(gòu)特征,可知“兩角和的余弦,等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”,同時讓學生對比公式C(α-β)進行記憶,并填空:cos75°=cos(_________)==__________=___________. 對問題③,上面學生推得了兩角和與差的余弦公式,教師引導學生觀察思考,怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢?我們利用什么公式來實現(xiàn)正、余弦的互化呢?學生可能有的想到利用誘導公式⑸⑹來化余弦為正弦
9、(也有的想到利用同角的平方和關(guān)系式sin2α+cos2α=1來互化,此法讓學生課下進行),因此有 sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)-β] =cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β用-β代之,則 sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β) =sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我們得到兩角和與差的正弦公式,分別簡記為S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-
10、cosαsinβ. 對問題④⑤,教師恰時恰點地引導學生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導過程進行記憶,同時進一步體會本節(jié)公式的探究過程及公式變化特點,體驗三角公式的這種簡潔美、對稱美.為強化記憶,教師可讓學生填空,如sin(θ+φ)=___________,sin=__________. 對問題⑥,教師引導學生思考,在我們推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想到兩角和與差的正切公式,怎么樣來推導出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢?學生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,化弦為切得到.在學生探究推導時很可能想不到討論,這時教師不要直接提
11、醒,讓學生自己悟出來. 當cos(α+β)≠0時,tan(α+β)= 如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0時,分子、分母同除以cosαcosβ得 tan(α+β)=,據(jù)角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,則有 tan(α-β)= 由此推得兩角和、差的正切公式,簡記為T(α-β)、T(α+β). tan(α+β)= tan(α-β)= 對問題⑥,讓學生自己聯(lián)想思考,兩角和與差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的嗎?學生回顧自己的公式探究過程可知,α、β、α±β都不能等于+kπ(k∈Z),并引導學生分析公式結(jié)構(gòu)特征,加深公式記憶.
12、 對問題⑦⑧,教師與學生一起歸類總結(jié),我們把前面六個公式分類比較可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式;S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.并由學生歸納總結(jié)以上六個公式的推導過程,從而得出以下邏輯聯(lián)系圖.可讓學生自己畫出這六個框圖.通過邏輯聯(lián)系圖,深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,借以理解并靈活運用這些公式.同時教師應提醒學生注意:不僅要掌握這些公式的正用,還要注意它們的逆用及變形用.如兩角和與差的正切公式的變形式 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),在化簡求值中就經(jīng)常
13、應用到,使解題過程大大簡化,也體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美.對于兩角和與差的正切公式,當tanα,tanβ或tan(α±β)的值不存在時,不能使用T(α±β)處理某些有關(guān)問題,但可改用誘導公式或其他方法,例如:化簡tan(-β),因為tan的值不存在,所以改用誘導公式tan(-β)=來處理等. 應用示例 思路1 例1 已知sinα=,α是第四象限角,求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值. 活動:教師引導學生分析題目中角的關(guān)系,在面對問題時要注意認真分析條件,明確要求.再思考應該聯(lián)系什么公式,使用公式時要有什么準備,準備工作怎么進行等.例如本題中,要先求出cosα,ta
14、nα的值,才能利用公式得解,本題是直接應用公式解題,目的是為了讓學生初步熟悉公式的應用,教師可以完全讓學生自己獨立完成. 解:由sinα=,α是第四象限角,得cosα=. ∴tanα==. 于是有sin(-α)=sincosα-cossinα= cos(+α)=coscosα-sinsinα= tan(α-)===. 點評:本例是運用和差角公式的基礎(chǔ)題,安排這個例題的目的是為了訓練學生思維的有序性,逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣. 變式訓練 1.不查表求cos75°,tan105°的值. 解:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°
15、sin30° =, tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+). 2.設(shè)α∈(0,),若sinα=,則2sin(α+)等于( ) A. B. C. D.4 答案:A 例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β). 活動:教師可先讓學生自己探究解決,對探究困難的學生教師給以適當?shù)狞c撥,指導學生認真分析題目中已知條件和所求值的內(nèi)在聯(lián)系.根據(jù)公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)應先求出cosα、s
16、inβ、tanα、tanβ的值,然后利用公式求值,但要注意解題中三角函數(shù)值的符號. 解:由sinα=,α∈(,π),得 cosα==-=,∴tanα=. 又由cosβ=,β∈(π,). sinβ==, ∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =×()-(. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×() = ∴tan(α+β)==. 點評:本題仍是直接利用公式計算求值的基礎(chǔ)題,其目的還是讓學生熟練掌握公式的應用,訓練學生的運算能力. 變式訓練 引導學生看章頭圖,利用本節(jié)所學公式解答課本章頭題,加強
17、學生的應用意識. 解:設(shè)電視發(fā)射塔高CD=x米,∠CAB=α,則sinα=, 在Rt△ABD中,tan(45°+α)=tanα. 于是x=, 又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈. tan(45°+α)==3, ∴x=-30=150(米). 答:這座電視發(fā)射塔的高度約為150米. 例3 在△ABC中,sinA=(0°
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