《2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第1章 一道回歸分析題的思維拓展與延伸》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第1章 一道回歸分析題的思維拓展與延伸（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第1章 一道回歸分析題的思維拓展與延伸 一、回歸分析的基本步驟： (1) 畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖. (2) 求回歸直線方程. (3) 用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào). 下面我們通過案例，進(jìn)一步學(xué)習(xí)、拓展與延伸回歸分析的基本思想及其應(yīng)用． 二、舉例： 例1. 從某大學(xué)中隨機(jī)選取 8 名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59

2、 求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172 cm 的女大學(xué)生的體重． 解：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量 x ，體重為因變量 y . 作散點(diǎn)圖，如下圖 從圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來近似刻畫它們之間的關(guān)系． 根據(jù)公式： （1） （2） 其中，（）成為樣本點(diǎn)的中心. 可以得到. 于是得到回歸方程. 因此，對(duì)于身高172 cm 的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為 ( kg ) . 是斜率的估計(jì)值，說明身高 x 每增加1個(gè)單位時(shí)，體重y就

3、增加0.849 位，這表明體重與身高具有正的線性相關(guān)關(guān)系． 三．思維拓展與延伸 1.如何描述它們之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱？ 在必修 3 中，我們介紹了用相關(guān)系數(shù)；來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的方法．本相關(guān)系數(shù)的具體計(jì)算公式為. 當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常，當(dāng)r的絕對(duì)值大于0. 75 時(shí)認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． 在本例中，可以計(jì)算出r =0. 798．這表明體重與身高有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義

4、的． 2.如何理解與間的誤差 顯然，身高172cm 的女大學(xué)生的體重不一定是60. 316 kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60 . 316 kg .如下圖中的樣本點(diǎn)和回歸直線的相互位置說明了這一點(diǎn)． 由于所有的樣本點(diǎn)不共線，而只是散布在某一條直線的附近，所以身高和體重的關(guān)系可用下面的線性回歸模型來表示： 這里a和b為模型的未知參數(shù)，e是y與之間的誤差．通常e為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差，它的均值 E(e）=0，方差D（e）=＞0 ．這樣線性回歸模型的完整表達(dá)式為： (3) 在線性回歸模型（3）中，隨機(jī)誤差e的方差護(hù)越小，通過回歸直線 預(yù)報(bào)真實(shí)值y的精度越高．隨機(jī)

5、誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值 y 之間的誤差的原因之一，大小取決于隨機(jī)誤差的方差. 另一方面，由于公式（1）和（2）中 和為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)原因． 3. 產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么? 一個(gè)人的體重值除了受身高的影響外，還受許多其他因素的影響．例如飲食習(xí)慣、是否喜歡運(yùn)動(dòng)、度量誤差等．事實(shí)上，我們無法知道身高和體重之間的確切關(guān)系是什么，這里只是利用線性回歸方程來近似這種關(guān)系．這種近似以及上面提到的影響因素都是產(chǎn)生隨機(jī)誤差 e的原因． 因?yàn)殡S機(jī)誤差是隨機(jī)變量，所以可以通過這個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)字特征來刻畫它的一些總體

6、特征．均值是反映隨機(jī)變量取值平均水平的數(shù)字特征，方差是反映隨機(jī)變量集中于均值程度的數(shù)字特征，而隨機(jī)誤差的均值為0，因此可以用方差來衡量隨機(jī)誤差的大?。? 4. 用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意哪些問題？ 需要注意下列問題： （1）．回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體．例如，不能用女大學(xué)生的身高和體重之間的回歸方程，描述女運(yùn)動(dòng)員的身高和體重之間的關(guān)系．同樣，不能用生長(zhǎng)在南方多雨地區(qū)的樹木的高與直徑之間的回歸方程，描述北方干旱地區(qū)的樹木的高與直徑之間的關(guān)系． （2）．我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性．例如，不能用 20 世紀(jì) 80 年代的身高體重?cái)?shù)據(jù)所建立的回歸方程，描述現(xiàn)在的身高和體重之間的關(guān)系． （3）．樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍．例如，我們的回歸方程是由女大學(xué)生身高和體重?cái)?shù)據(jù)建立的，那么用它來描述一個(gè)人幼兒時(shí)期的身高和體重之間的關(guān)系就不恰當(dāng)（即在回歸方程中，解釋變量 x 的樣本的取值范圍為［155cm,170cm〕 ，而用這個(gè)方程計(jì)算 x-70cm 時(shí)的y值，顯然不合適．) （4）．不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值．事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值．