《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案 文 北師大版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) [最新考綱]　1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,3,10，，的指數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． (對應(yīng)學(xué)生用書第24頁) 1．有理數(shù)指數(shù)冪 (1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 ①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s

2、∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) y＝ax a＞1 0＜a＜1 圖像 定義域 R 值域 (0，＋∞) 性質(zhì) 過定點(0,1) 當(dāng)x＞0時，y＞1； 當(dāng)x＜0時，0＜y＜1 當(dāng)x＞0時，0＜y＜1； 當(dāng)x＜0時，y＞1 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù) 1．指數(shù)函數(shù)圖像的畫法 畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，. 2．指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較 如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝

3、bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖像，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像越高，底數(shù)越大． 3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a＞1與0＜a＜1來研究． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)＝()n＝a. (　　) (2)(－1)＝(－1)＝. (　　) (3)函數(shù)y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)． (　　) (4)若am＜an(a＞0且a≠1)，則m＜n. (　　) [答案](1)×　

4、(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．函數(shù)f(x)＝21－x的大致圖像為(　　) A　　　　　B　　　　 　C　　　　 　D A　[f(x)＝21－x＝，又f(0)＝2，f(1)＝1，故排除B，C，D，故選A.] 2．若函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像經(jīng)過點P，則f(－1)＝________. 　[由題意知＝a2，所以a＝， 所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.] 3．化簡(x＜0，y＜0)＝________. [答案]?。?x2y 4．已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是________． c＜b＜a　[∵y＝是減函數(shù)， ∴＞＞，

5、 則a＞b＞1， 又c＝＜＝1， ∴c＜b＜a.] (對應(yīng)學(xué)生用書第25頁) ⊙考點1　指數(shù)冪的運算 　指數(shù)冪運算的一般原則 (1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算． (2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)． (3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)． (4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答． 　1.化簡·(a＞0，b＞0)＝________. 　[原式＝2×＝21＋3×10－1＝.] 2．計算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝________. －　[原

6、式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.] 3．化簡：÷×＝________(a＞0)． a2　[原式＝÷×＝a(a－2b)××＝a2.] 　運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一． ⊙考點2　指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 (1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖像的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像，通過平移、對稱、翻折變換得到其圖像． (2)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解． 　(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)＞1，b＜0 B．a(chǎn)＞1，b＞0

7、 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)若曲線y＝|3x－1|與直線y＝m有兩個不同交點，則實數(shù)m的取值范圍是________． (1)D　(2)(0,1)　[(1)由f(x)＝ax－b的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0＜a＜1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b＜0.故選D. (2)曲線y＝|3x－1|的圖像是由函數(shù)y＝3x的圖像向下平移一個單位長度后，再把位于x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的，而直線y＝m的圖像是平行于x軸的一條直線，它的圖像如圖所示，由圖像可得，如果曲線y＝|3x－1

8、|與直線y＝m有兩個公共點，則m的取值范圍是(0,1)．] [母題探究] 1．(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椋悍匠?|x|－1＝m有兩個不同實根，則實數(shù)m的取值范圍是________． (0，＋∞)　[作出函數(shù)y＝3|x|－1與y＝m的圖像如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得m的取值范圍是(0，＋∞)． ] 2．(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y＝|3x－1|＋m的圖像不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是________． (－∞，－1]　[作出函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖像如圖所示． 由圖像知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．] 　應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖像的技巧 (1)已知函數(shù)解析式判斷

9、其圖像一般是取特殊點，判斷所給的圖像是否過這些點，若不滿足則排除． (2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖像問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過平移、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論． 　1.函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖像大致是(　　) A　　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　　D A　[f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，又e|x|≥1，∴f(x)≤0，符合條件的圖像只有A.] 2．函數(shù)y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是________． (0,1)　[因為函數(shù)

10、y＝ax－b的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)y＝ax－b單調(diào)遞減且其圖像與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得解得故ab∈(0,1)．] 3．已知實數(shù)a，b滿足等式2 019a＝2 020b，下列五個關(guān)系式： ①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b. 其中不可能成立的關(guān)系式有________(填序號)． ③④　[作出y＝2 019x及y＝2 020x的圖像如圖所示，由圖可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0時，有2 019a＝2 020b，故③④不可能成立．] ⊙考點3　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用主要是

11、利用單調(diào)性解決相關(guān)問題，而指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a決定的，因此解題時通常對底數(shù)a按0＜a＜1和a＞1進(jìn)行分類討論． 　比較指數(shù)式的大小 (1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則(　　) A．a(chǎn)＞b＞c　 B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調(diào)性，則M＝(a－1)0.2與N＝的大小關(guān)系是(　　) A．M＝N B．M≤N C．M＜N D．M＞N (1)A　(2)D　[(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像可知0.40.2＞0.40.6

12、，即b＞c.因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.綜上，a＞b＞c. (2)因為f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調(diào)性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝＜1，所以M＞N.故選D.] 　指數(shù)式的大小比較，依據(jù)的就是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，原則上化為同底的指數(shù)式，并要注意底數(shù)范圍是(0,1)還是(1，＋∞)，若不能化為同底，則可化為同指數(shù)，或利用中間變量比較，如本例(1)． 　解簡單的指數(shù)方程或不等式 (1)已知函數(shù)f(x)＝a＋的圖像過點，若－≤f(x)≤0，則實數(shù)x的取值范圍是________． (2)方程4

13、x＋|1－2x|＝11的解為________． (1)　(2)x＝log23　[(1)∵f(x)＝a＋的圖像過點， ∴a＋＝－，即a＝－. ∴f(x)＝－＋. ∵－≤f(x)≤0， ∴－≤－≤0， ∴≤≤， ∴2≤4x＋1≤3， 即1≤4x≤2， ∴0≤x≤. (2)當(dāng)x≥0時，原方程化為4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0. ∴(2x－3)(2x＋4)＝0， ∴2x＝3，即x＝log23. 當(dāng)x＜0時，原方程化為4x－2x－10＝0. 令t＝2x，則t2－t－10＝0(0＜t＜1)． 由求根公式得t＝均不符合題意，故x＜0時，方程無解．] (1)

14、af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)． (2)af(x)＞ag(x)，當(dāng)a＞1時，等價于f(x)＞g(x)；當(dāng)0＜a＜1時，等價于f(x)＜g(x)． (3)有些含參指數(shù)不等式，需要分離變量，轉(zhuǎn)化為求有關(guān)函數(shù)的最值問題． 　與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 　函數(shù)f(x)＝的單調(diào)減區(qū)間為________． (－∞，1]　[設(shè)u＝－x2＋2x＋1，∵y＝在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝的減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間． 又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]， 所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1]．] [逆向問題]　 已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m

15、為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是________． (－∞，4]　[令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．而y＝2t在R上單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則有≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．] 　求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷． 　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 (1)函數(shù)f(x)＝a＋(a，b∈R)是奇函數(shù)，且圖像經(jīng)過

16、點，則函數(shù)f(x)的值域為(　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4) (2)若不等式1＋2x＋4x·a＞0在x∈(－∞，1]時恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． (1)A　(2)　[(1)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，定義域是R，則f(0)＝a＋＝0①，函數(shù)圖像過點，則f(ln 3)＝a＋＝②.結(jié)合①②可得a＝1，b＝－2，則f(x)＝1－.因為ex＞0，所以ex＋1＞1，所以0＜＜2，所以－1＜1－＜1，即函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)． (2)從已知不等式中分離出實數(shù)a，得a＞－.因為函數(shù)y＝和y＝在R上都是減函數(shù)，所以當(dāng)x∈(－∞，1

17、]時，≥，≥，所以＋≥＋＝，從而得－≤－.故實數(shù)a的取值范圍為a＞－.] 　指數(shù)函數(shù)的綜合問題，主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值問題，應(yīng)在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點是單調(diào)性，注意利用單調(diào)性實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化． 　1.函數(shù)y＝的值域是(　　) A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞) C　[設(shè)t＝x2＋2x－1，則y＝. 因為0＜＜1，所以y＝為關(guān)于t的減函數(shù)． 因為t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0＜y＝≤＝4，故所求函數(shù)的值域為(0,4]．] 2．已知實數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為________． 　[當(dāng)a＜1時，41－a＝21，所以a＝；當(dāng)a＞1時，代入可知不成立，所以a的值為.] 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＜1，則實數(shù)a的取值范圍是________． (－3,1)　[當(dāng)a＜0時，不等式f(a)＜1可化為－7＜1，即＜8，即＜， ∴a＞－3.又a＜0，∴－3＜a＜0. 當(dāng)a≥0時，不等式f(a)＜1可化為＜1. ∴0≤a＜1，綜上，a的取值范圍為(－3,1)．] - 10 -