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1、2022高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.1 一元二次方程根的判別式精講深剖學(xué)案
現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用,而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系,在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用.本專題將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述。
【知識(shí)梳理】
一元二次方程的根的判別式
一元二次方程,用配方法將其變形為:
(1) 當(dāng)時(shí),右端是正數(shù).因此,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:
(2) 當(dāng)時(shí),右端是零.因此,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:
(3) 當(dāng)時(shí),右端是負(fù)數(shù).因此,方程沒有實(shí)數(shù)根.
由于可以用的取值情況來判定
2、一元二次方程的根的情況.因此,把叫做一元二次方程的根的判別式,表示為:
【精講深剖】
一元二次方程根的判別式即是判定方程根的情況的充分條件,也是求解方程根的一般方法。
【典例解析】1.判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù)),如果方程有實(shí)數(shù)根,寫出方程的
實(shí)數(shù)根.
(1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0;
(3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0.
【解析】(1)∵Δ=32-4×1×3=-3<0,
∴方程沒有實(shí)數(shù)根.
(2)該方程的根的判別式Δ=a
3、2-4×1×(-1)=a2+4>0,
所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;, .
(3)由于該方程的根的判別式為
Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,
所以,①當(dāng)a=2時(shí),Δ=0,
所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:x1=x2=1;
②當(dāng)a≠2時(shí),Δ>0,
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根: x1=1,x2=a-1.
【解題反思】在第3,4小題中,方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化,于是,在解題過程中,需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論,這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法,在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題.
4、
【變式訓(xùn)練】
1.已知關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)下列條件,分別求出的范圍:
(1) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
(3)方程有實(shí)數(shù)根;
(4) 方程無實(shí)數(shù)根.
【解析】
(1) ;
(2) ;
(3);
(4) .
【點(diǎn)評(píng)】本題已知根的情況,運(yùn)用根的判別式,求方程中參數(shù)的取值范圍。需要逆向思考,體現(xiàn)了思維的靈活性。
2.(1)判斷直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求的范圍。
【分析】有題意,曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程組的解的個(gè)數(shù),可借助根的判別式進(jìn)行解決;
(2
5、)由,代入消元得;,
整理得;,
由題意可得;,解得,
即當(dāng)時(shí),直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。
【點(diǎn)評(píng)】判斷兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí),基本方法為直接求解法,判別式法即圖像法。而判別式法在解決二次曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)更為高效。
3.已知關(guān)于x的一元二次方程.
(1)求證:不管為何值,方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng),另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求此三角形的周長(zhǎng).
【答案】(1);(2)16或22.
【分析】(1)計(jì)算出“根的判別式△的值”,然后通過配方可知無論k去何值,△的值恒大于或等于0,由此可得結(jié)論;
(2)因?yàn)轭}目中沒有告訴等腰△ABC中邊是腰還是底,故
6、要分兩種情況討論:①當(dāng)為腰時(shí),則中有一邊為腰,即原方程有一根為6,代入方程可解得k的值,進(jìn)一步可求得方程的另一根,從而可求△ABC的周長(zhǎng);②當(dāng)為底時(shí),則都為腰,此時(shí)原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則△=0,由此可求出k的值,代入原方程求解,從而可求△ABC的周長(zhǎng).
【解析】(1)∵在方程 中,
△====,
∴無論k為何值,△0 ,
∴不管k為何值,原方程總有實(shí)數(shù)根;
②當(dāng)為底時(shí),則兩邊均為腰,即原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
所以,解得,
此時(shí)原方程為:,解得:
即兩邊均為2,因?yàn)?,此時(shí)三邊圍不成三角形,此種情況不成立;
綜合①②可得的周長(zhǎng)為16或22
【點(diǎn)評(píng)】問題從一元二次根的判別式“△”入手,通過化簡(jiǎn)、配方法等將“△”表達(dá)式轉(zhuǎn)化為可判斷其符號(hào)的形式,從而就可以判斷原一元二次方程根的情況了;(2)這類問題通常要分“已知邊是等腰三角形的腰和底”兩種情況分別討論,同時(shí)要特別注意在涉及三角形三邊的問題中,求出三邊后,一定要用三角形三邊間的關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn),看能否圍成三角形.