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2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 第2節(jié) 直接證明與間接證明學(xué)案 理 蘇教版選修2-2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 第2節(jié) 直接證明與間接證明學(xué)案 理 蘇教版選修2-2 一、學(xué)習(xí)目標(biāo): 1. 了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。 2. 了解間接證明的一種基本方法──反證法;了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn):了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。 難點(diǎn):運(yùn)用分析法、綜合法提高分析問題和解決問題的能力。 三、考點(diǎn)分析: 對兩種直接證明方法的考查在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn),單純的考查并不常見,作為解決問題的工具,與其他知識(shí)綜合運(yùn)用的特點(diǎn)比較突出。它可以和很多知識(shí),如函數(shù)、數(shù)列、三角

2、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等相聯(lián)系,證明時(shí)不僅要用到不等式的相關(guān)知識(shí),還要用到其他數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和技巧,而且還考查了運(yùn)算能力,分析問題和解決問題的能力。對于反證法很少單獨(dú)命題,但是運(yùn)用反證法分析問題、進(jìn)行證題思路的判斷則經(jīng)常用到,有獨(dú)到之處。 三種證明方法的定義與步驟: 1. 綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法,它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。 2. 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求推證過程中,使每一步結(jié)論成立的充分條件,直到最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定義、公理、定理等)為止

3、的證明方法。 3. 假設(shè)原命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,由此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的方法叫反證法;它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟:(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(2)根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止;(3)斷言假設(shè)不成立;(4)肯定原命題的結(jié)論成立。 知識(shí)點(diǎn)一:綜合法 例1 對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù),如果同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:①對任意的,總有;②;③若,都有成立,則稱函數(shù)為理想函數(shù)。 (1)若函數(shù)為理想函數(shù),求的值; (2)判斷函數(shù)()是否為理想函數(shù),并予以證明。 思路分析:(1)取可得。由此可

4、求出f(0)的值。(2)在[0,1]滿足條件①; 也滿足條件②。若,,,滿足條件③,收此知故g(x)理想函數(shù)。 解題過程:(1)取可得。 又由條件①,故。 (2)顯然在[0,1]滿足條件①; 也滿足條件②。若,,,則 ,即滿足條件③, 故為理想函數(shù)。 解題后反思:要證明函數(shù)()滿足三個(gè)條件,得緊扣定義,逐個(gè)驗(yàn)證。 知識(shí)點(diǎn)二:分析法 例2 △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列, 求證: 思路分析:本題的關(guān)鍵是將等價(jià)轉(zhuǎn)換,以及三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列的應(yīng)用。 解題過程:證明:要證, 需證。 即證。

5、 需證,需證 ∵△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列?!郆=60°。 由余弦定理,有,即。 ∴成立,命題得證。 解題后反思:注意分析法的書寫“格式”是“要證……只需證……”,而不是“因?yàn)椤浴? 知識(shí)點(diǎn)三:反證法 例3 已知,,求證:不能同時(shí)大于。 思路分析:求證:不能同時(shí)大于,可用反證法假設(shè)可以同時(shí)大于,讓三個(gè)等式左邊右邊分別相乘得到,根據(jù)可以判斷錯(cuò)誤,故假設(shè)不成立,即得證。 解題過程:證法一:假設(shè)三式同時(shí)大于,即,, ,三式同向相乘得,又 ,同理, ,這與假設(shè)矛盾,故原命題得證。 證法二:假設(shè)三式同時(shí)大于,, 同理三式相加得

6、,這是矛盾的,故假設(shè)錯(cuò)誤,所以原命題得證。 解題后反思:“不能同時(shí)大于”包含多種情形,不易直接證明,可用反證法證明。即正難則反: (1)當(dāng)遇到否定性、唯一性、無限性、至多、至少等類型問題時(shí),常用反證法。 (2)用反證法的步驟是:①否定結(jié)論;②而不合理;③因此結(jié)論不能否定,原結(jié)論成立。 反證法屬于“間接證明法”,是從反面角度思考問題的證明方法,即:肯定題設(shè)而否定結(jié)論,從而導(dǎo)出矛盾推理。反證法就是從否定命題的結(jié)論入手,并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件,進(jìn)行正確的邏輯推理,使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾,矛盾的原因是假設(shè)不成立,所以肯定了命題的

7、結(jié)論,從而使命題獲得了證明。 知識(shí)點(diǎn)四:綜合法、分析法綜合應(yīng)用 例4 設(shè),,為正實(shí)數(shù),求證:。 思路分析:由想到可應(yīng)用不等式。 解題過程:因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù),由平均不等式可得, 即 , 所以, 而, 所以。 解題后反思:綜合法是從已知到未知的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或從已證的命題出發(fā),經(jīng)過一系列的推理,最后導(dǎo)出要證的結(jié)論。證明不等式常用的性質(zhì)有,等,但應(yīng)用這些不等式證明時(shí),要注意不等式應(yīng)用的范圍和“”取得的充要條件。 例5 如圖,傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于、兩點(diǎn)。 (1)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程; (2)若為銳角,

8、作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),證明為定值,并求此定值。 思路分析:使用常規(guī)思路,即可以采用綜合法解決問題。 解題過程:(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線l的方程為。 (2)證明:如圖,作,,垂足為、,則由拋物線的定義知,,記、的橫坐標(biāo)分別為,,則 解得類似地,解得。 記直線與的交點(diǎn)為,則 ,所以。 故。 解題后反思:本題是應(yīng)用綜合法解決解析幾何問題,掌握綜合法證明的基本方法是“由因?qū)Ч?,即由已知條件出發(fā),順著推證,逐步推出求證的結(jié)論,綜合法的特點(diǎn)是表述簡單,條理清晰,它常用的是“,”,或“因?yàn)?,所以”,或“”等表述方法? (天津

9、高考)對實(shí)數(shù)與,定義新運(yùn)算“”: 設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 解題思路:在新定義下給出分段函數(shù),利用數(shù)形結(jié)合求出參數(shù)C的取值范圍。 解答過程: 則的圖象如圖 ∵的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn), ∴與的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn),由圖象知,或。 解題后反思:新定義問題考查的是即時(shí)反應(yīng)能力,數(shù)形結(jié)合能使問題形象化。 1. 分析法的特點(diǎn)是:從未知看需知,逐步靠攏已知。 2. 綜合法的特點(diǎn)是:從已知看可知,逐步推出未知。 3. 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn):分析法思考起來比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,能較簡捷地解決問題,但不便于思考,實(shí)際證明時(shí)常常兩法兼用,先用分析法探索證明的思路,然后再用綜合法敘述出來。 4. 對證明的考查往往會(huì)結(jié)合函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí),既要掌握基本的證明方法——綜合法和分析法,又要結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí),證明時(shí)把兩種方法結(jié)合起來綜合應(yīng)用。 下節(jié)課同學(xué)們將學(xué)習(xí)直接證明當(dāng)中的一種非常重要的方法——數(shù)學(xué)歸納法,請同學(xué)們閱讀課本,思考:數(shù)學(xué)歸納法與多米諾骨牌之間有什么聯(lián)系呢?根據(jù)多米諾骨牌的原理,你能理解數(shù)學(xué)歸納法嗎?

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