《2022高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關(guān)系6 線面垂直的判定和性質(zhì)學案 蘇教版必修2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關(guān)系6 線面垂直的判定和性質(zhì)學案 蘇教版必修2(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關(guān)系6 線面垂直的判定和性質(zhì)學案 蘇教版必修2
一、考點突破
知識點
課標要求
題型
說明
線面垂直的判定和性質(zhì)
1. 能正確判斷直線與平面垂直的位置關(guān)系;
2. 理解直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
填空題
解答題
線線垂直、線面垂直關(guān)系是立體幾何中的核心內(nèi)容之一,注意線面垂直的性質(zhì)和判定、定義之間的相互轉(zhuǎn)化
二、重難點提示
重點:直線與平面垂直的定義、線面垂直的判定及性質(zhì)定理。
難點:操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定及性質(zhì)定理。
考點一:直線與平面垂直的概念
如果一
2、條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,則稱直線a與平面α互相垂直,符號表示:a⊥α,圖形表示如圖:
【要點詮釋】
1. 作直線與平面垂直時,要注意使直線與平行四邊形橫邊垂直,加強直觀性。
2. 定義中的“任意一條直線”和“所有直線”同義,不能改成“無窮多條直線”。因為任意一條直線,無論它是和平面平行,或是在平面內(nèi)?;蚴桥c平面相交,總能與平面內(nèi)無數(shù)多條直線垂直,但不一定和平面內(nèi)所有直線都垂直。
3. 過一點有且只有一條直線與已知平面垂直。
考點二:直線與平面垂直的判定定理
1. 直線和平面垂直的判定定理
文字語言
圖形語言
符號語言
一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相
3、交直線垂直,那么這條直線垂直于這個平面
l⊥α
【要點詮釋】
①直線和平面垂直的判定定理可簡述為:若線線垂直,則線面垂直。
②定理中的關(guān)鍵詞語是“兩條相交直線”。
2. 推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直這個平面。
【規(guī)律總結(jié)】判定線面垂直的方法
(1)線面垂直的定義:a與α內(nèi)任何直線都垂直a⊥α;
(2)判定定理:l⊥α;
(3)推論:a∥b,a⊥αb⊥α;
考點三:直線與平面垂直的性質(zhì)定理
1. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言
圖形語言
符號語言
如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行
?a∥
4、b
2. 直線和平面垂直的性質(zhì)
①直線垂直于平面,則垂直于平面內(nèi)任意直線;
②垂直于同一個平面的兩條直線平行。
【核心突破】
1. 線面垂直的定義具有雙重性,既可以由線面垂直得出線線垂直,又可以由線線垂直得出線面垂直。
2. 轉(zhuǎn)化思想:垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化。
3. 線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系,提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)。
例題1 (直線和平面垂直的定義)
下面敘述中:
①若直線垂直于平
5、面內(nèi)的兩條直線,則這條直線與平面垂直;②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,則這條直線與平面垂直;③若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線,則這條直線垂直于兩底邊所在的直線;④若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線,則這條直線垂直于兩腰所在的直線,其中正確的有( ?。?
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
思路分析:與線面垂直的定義及線面垂直的判定定理進行對照,區(qū)分異同,分析條件變換的影響,辨析正誤。
答案:①中若兩條直線為平行直線,則這條直線不一定與平面垂直,所以不正確;②由定義知正確;③中直線與梯形的兩腰所在直線垂直,則與梯形所在平面垂直,由定義知也與兩
6、底邊所在直線垂直,所以正確;④中直線與梯形兩底邊所在直線垂直,則不一定與梯形所在平面垂直,故不一定與兩腰所在直線垂直,不正確,故選B。
技巧點撥:
1. 直線和平面垂直的定義是描述性定義,對直線的任意性要注意理解。實際上,“任何一條”與“所有”表達相同的含義,當直線與平面垂直時,該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線,由此可知,如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直,那么這條直線就一定不與這個平面垂直。
2. 由定義可得線面垂直?線線垂直,即若a⊥α,bα,則a⊥b。
例題2 (直線與平面垂直的判定)
在平面α內(nèi)有直角∠BCD,AB⊥平面α,求證CD⊥平面ABC。
思路分析:要
7、證CD⊥平面ABC,只要證CD⊥BC,且CD⊥AB便可。
答案:
技巧點撥:
1. 使用直線與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線都與已知直線垂直,即把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直來解決。
2. 線面垂直的定義具有雙重作用:判定和性質(zhì),證題時常用它作為性質(zhì)使用,即“如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線就垂直于平面內(nèi)的任意一條直線”。
例題3 (直線與平面垂直的性質(zhì))
已知平面,為異面直線的公垂線,。求證:∥。
思路分析:利用直線與平面垂直的定義和性質(zhì)定理證明。
答案:如圖所示,設(shè),過作∥,則,
又,同理
,若與確定平面,則
∥
又
∥
8、。
技巧點撥:直線與平面垂直的性質(zhì)定理是平行關(guān)系和垂直關(guān)系的完美結(jié)合,利用垂直關(guān)系可判定平行,反過來,由平行關(guān)系,也可判定垂直關(guān)系,即兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面。
立體幾何中的翻折問題
【滿分訓練】(浙江)已知矩形ABCD,AB=1,BC=,將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折,在翻折過程中( ?。?
A. 存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直
B. 存在某個位置,使得直線AB與直線CD垂直
C. 存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直
D. 對任意位置,三對直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”
9、均不垂直
思路分析:關(guān)鍵是找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量。
答案:
對于選項A,過點A作AE⊥BD,垂足為E,過點C作CF⊥BD,垂足為F,
在圖(1)中,由邊AB,BC不相等可知點E,F(xiàn)不重合,
在圖(2)中,連接CE,若直線AC與直線BD垂直,
又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面ACE,
∴BD⊥CE,與點E,F(xiàn)不重合相矛盾,故A錯誤;
對于選項B,若AB⊥CD,
又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,
∴AB⊥面ADC,
∴AB⊥AC,由ABAB,
∴不存在這樣的直角三角形,∴C錯誤。
由上可知D錯誤,故選B。
技巧點撥:對于翻折問題,關(guān)鍵是找到題目中哪些關(guān)系改變,哪些關(guān)系沒有改變。