《（贛豫陜）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 7.3 球的表面積和體積學案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（贛豫陜）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 7.3 球的表面積和體積學案 北師大版必修2（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 7．3　球的表面積和體積 學習目標　1.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積.2.會求解組合體的體積與表面積． 知識點一　球的截面 思考　什么叫作球的大圓與小圓？ 答案　平面過球心與球面形成的截線是大圓． 平面不過球心與球面形成的截線是小圓． 梳理　用一個平面α去截半徑為R的球O的球面得到的是圓，有以下性質(zhì)： (1)若平面α過球心O，則截線是以O(shè)為圓心的球的大圓． (2)若平面α不過球心O，如圖，設(shè)OO′⊥α，垂足為O′，記OO′＝d，對于平面α與球面的任意一個公共點P，都滿足OO′⊥O′P，則有O′P＝，即此時截線是以O(shè)′為圓心，以r＝為半徑的球的

2、小圓． 知識點二　球的切線 (1)定義：與球只有唯一公共點的直線叫作球的切線．如圖，l為球O的切線，M為切點． (2)性質(zhì)：①球的切線垂直于過切點的半徑； ②過球外一點的所有切線的長度都相等． 知識點三　球的表面積與體積公式 前提條件 球的半徑為R 表面積公式 S＝4πR2 體積公式 V＝πR3 1．球的表面積等于它的大圓面積的2倍．(　×　) 2．兩個球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶4.(　×　) 3．球心與其截面圓的圓心的連線垂直于截面．(　√　) 類型一　球的表面積與體積 例1　(1)某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為___

3、_____． 考點　 題點　 答案　3π 解析　由三視圖知該幾何體為半球， 則其表面積為×4π×12＋π×12＝3π. (2)已知球的表面積為64π，求它的體積． 考點　 題點　 解　設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝64π，解得R＝4， 所以球的體積V＝πR3＝π·43＝π. 反思與感悟　(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解． (2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點，計算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了． (3)由三視圖計算球或球與其他幾何體的組合體的表面積或體積，最重要的是還原組合體，并弄

4、清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義．根據(jù)球與球的組合體的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)計算其表面積或體積．此時要特別注意球的三視圖都是直徑相同的圓． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知球的體積為π，則其表面積為________． 考點　 題點　 答案　100π 解析　設(shè)球的的半徑為R，則πR3＝π， 解得R＝5， 所以球的表面積S＝4πR2＝4π×52＝100π. (2)某器物的三視圖如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該器物的體積是(　　) A. B. C.－ D.＋ 考點　組合幾何體的表面積與體積 題點　柱、錐、臺、球組合的幾何體的表面積與體積 答案　D 解析　由三視圖可知，此幾何體上部

5、是直徑為2的球，下部是底面直徑為2，高為的圓錐，所以V＝π×13＋π×12×＝＋. 類型二　球的截面 例2　在半徑為R的球面上有A，B，C三點，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積． 考點　 題點　 解　依題意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圓半徑r＝×3＝. 由R2＝2＋()2，得R＝2. 所以球的表面積S＝4πR2＝16π. 反思與感悟　(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題． (2)解題時要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2＝d2＋r2. 跟蹤訓(xùn)

6、練2　如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 考點　 題點　 答案　A 解析　利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解． 如圖，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)． 設(shè)球的半徑為R cm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5， ∴V球＝π×53＝(cm3)． 類型三　與球有關(guān)的組合體 命題角度1　球的內(nèi)接或外切柱體問題 例

7、3　(1)一個長方體的各個頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為________． 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計算問題 答案　14π 解析　長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，即2R＝＝， 所以球的表面積S＝4πR2＝14π. (2)將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為________． 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計算問題 答案　 解析　由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是×π×

8、12＝. 反思與感悟　(1)正方體的內(nèi)切球 球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，若正方體的棱長為a，此時球的半徑為r1＝. (2)長方體的外接球 長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r2＝. 跟蹤訓(xùn)練3　表面積為的正四面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為(　　) A.π B.π Cπ D.π 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計算問題 答案　A 解析　如圖所示，將正四面體補形成一個正方體．設(shè)正四面體

9、的棱長為a. ∵正四面體的表面積為， ∴4×a2＝，解得a＝， ∴正方體的棱長是， 又∵球的直徑是正方體的體對角線，設(shè)球的半徑是R，∴2R＝×，∴R＝，∴球的體積為π·3＝π，故選A. 命題角度2　球的內(nèi)接錐體問題 例4　若棱長為a的正四面體的各個頂點都在半徑為R的球面上，求球的表面積． 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計算問題 解　把正四面體放在正方體中，設(shè)正方體棱長為x，則a＝x， 由題意2R＝x＝×＝a， ∴S球＝4πR2＝πa2. 反思與感悟　將正四面體補成正方體．由此可得正四面體的棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝a. 跟蹤訓(xùn)練4　球的一個

10、內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為________． 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計算問題 答案　或 解析　設(shè)球的半徑為R，則球心到圓錐底面的距離為R. ①當圓錐頂點與底面在球心兩側(cè)時，過球心及內(nèi)接圓錐的軸作軸截面如圖，此時圓錐底面圓的半徑為R，高為R，故圓錐的體積與球的體積之比為＝. ②當圓錐頂點與底面在球心同側(cè)時，同理求得二者體積比為. 1．把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為(　　) A．R B．2R C．3R D．4R 考點　球的體積 題點　與截面有關(guān)的球的體積

11、計算問題 答案　D 解析　設(shè)圓柱的高為h，則πR2h＝3×πR3，得h＝4R. 2．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　) A.π B．4π C．4π D．6π 考點　球的體積 題點　與截面有關(guān)的球的體積計算問題 答案　B 解析　如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′， M為截面圓上任一點， 則OO′＝，O′M＝1. ∴OM＝＝. 即球的半徑為. ∴V＝π()3＝4π. 3．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是(　　) A．9π B．10π C．11π D．12π 考點　組合幾何體的表

12、面積與體積 題點　柱、錐、臺、球組合的幾何體的表面積與體積 答案　D 解析　由三視圖可知，該幾何體的上部分是半徑為1的球，下部分是底面半徑為1，高為3的圓柱．由面積公式可得該幾何體的表面積S＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π. 4．兩個球的表面積之差為48π，它們的大圓周長之和為12π，則這兩個球的半徑之差為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點　 題點　 答案　B 解析　設(shè)兩球半徑分別為R1，R2，且R1>R2，則4π(R－R)＝48π，2π(R1＋R2)＝12π，所以R1－R2＝2. 5．若球的半徑由R增加為2R，則這個球的體積變?yōu)樵瓉淼腳__

13、_____倍，表面積變?yōu)樵瓉淼腳_______倍． 考點　 題點　 答案　8　4 解析　球的半徑為R時，球的體積為V1＝πR3，表面積為S1＝4πR2，半徑增加為2R后，球的體積為V2＝π(2R)3＝πR3，表面積為S2＝4π(2R)2＝16πR2. 所以＝＝8，＝＝4， 即體積變?yōu)樵瓉淼?倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?倍． 1．利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進行相關(guān)計算． 2．解決球與其他幾何體的切接問題時，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進行相關(guān)計算. 一、選擇題 1．三個球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大的球的體積

14、是其他兩個球的體積之和的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 考點　 題點　 答案　C 解析　設(shè)三個球的半徑由小到大依次為r1，r2，r3， 則r1∶r2∶r3＝1∶2∶3， ∴V3＝πr＝×27πr＝36πr，V1＋V2＝πr＋πr＝×9πr＝12πr， ∴V3＝3(V1＋V2)． 2．設(shè)正方體的表面積為24 cm2，一個球內(nèi)切于該正方體，那么這個球的體積是(　　) A.π cm3 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)的球的體積計算問題 答案　D 解析　由正方體的表面積為24 cm2

15、，得正方體的棱長為2 cm，故這個球的直徑為2 cm，故這個球的體積為π cm3. 3.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示．則球的半徑是(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)的球的體積計算問題 答案　C 解析　設(shè)球半徑為r，則由3V球＋V水＝V柱，可得 3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3. 4．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A.π＋12 B.π＋18 C．9π＋42

16、 D．36π＋18 考點　組合幾何體的表面積與體積 題點　柱、錐、臺、球組合的幾何體的表面積與體積 答案　B 解析　由三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構(gòu)成的組合體，其體積V＝π3＋3×3×2＝π＋18. 5．一平面截一球得到直徑為6 cm的圓面，球心到這個圓面的距離是4 cm，則該球的體積是(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 考點　球的體積 題點　與截面有關(guān)的球的體積計算問題 答案　C 解析　如圖，根據(jù)題意，|OO1|＝4 cm，|O1A|＝3 cm， ∴|OA|＝R＝＝5(cm)， 故球的體積V＝πR3＝(cm3)．故選C.

17、 6．圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 考點　組合幾何體的表面積與體積 題點　柱、錐、臺、球組合的幾何體的表面積與體積 答案　B 解析　如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2，又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B. 7．一個正四棱柱的各個頂點都在一個半

18、徑為2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為 2 cm，那么該棱柱的表面積為(　　) A．(2＋4) cm2 B．(8＋16) cm2 C．(4＋8) cm2 D．(16＋32) cm2 考點　球的表面積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計算問題 答案　B 解析　∵一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2 cm的球面上，∴正四棱柱的底面邊長為2 cm，球的直徑為正四棱柱的體對角線，∴正四棱柱的體對角線為4 cm，正四棱柱的底面對角線長為2 cm，∴正四棱柱的高為＝2 (cm)，∴該棱柱的表面積為2×22＋4×2×2＝8＋16 (cm2)，故選B. 二、填空題 8．兩個

19、球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為________． 考點　 題點　 答案　 解析　設(shè)大，小兩球半徑分別為R，r， 則 所以 所以體積和為πR3＋πr3＝. 9．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若球的體積為，則正方體的棱長為________． 考點　 題點　 答案　 解析　設(shè)球的半徑為R，正方體棱長為a，則V球＝πR3＝π，得到R＝，正方體體對角線的長為a＝2R，則a＝，所以正方體的棱長為. 10．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為________． 考點　組合幾何體的表面積與體積 題點　柱、錐、臺、球組合的

20、幾何體的表面積與體積 答案　33π 解析　由三視圖知該幾何體由圓錐和半球組成，且球的半徑和圓錐底面半徑都等于3，圓錐的母線長等于5，所以該幾何體的表面積為S＝2π×32＋π×3×5＝33π. 11．已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________． 考點　 題點　 答案　π 解析　如圖所示，CD是截面圓的直徑． ∴2·π＝π，即CD＝2， 設(shè)球O的半徑為R， ∵AH∶HB＝1∶2， ∴AH＝×2R＝R， ∴OH＝R－R＝R， 由OD2＝OH2＋HD2，得R2＝R2＋1， ∴R2

21、＝， ∴S球＝4πR2＝π. 三、解答題 12．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積． 考點　組合幾何體的表面積與體積 題點　柱、錐、臺、球組合的幾何體的表面積與體積 解　該組合體的表面積 S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 該組合體的體積V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝. 13．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度． 考點　組合幾何體的表面積與體積 題

22、點　柱、錐、臺、球切割的幾何體的表面積與體積 解　由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面． 根據(jù)切線性質(zhì)知，當球在容器內(nèi)時，水深為3r，水面的半徑為r，則容器內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3， 而將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為h， 從而容器內(nèi)水的體積是V′＝π·2·h＝πh3， 由V＝V′，得h＝r. 即容器中水的深度為r. 四、探究與拓展 14．一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π 考點　 題

23、點　 答案　A 解析　這個幾何體由上、下兩部分組成，下半部分是一個長方體，其中長，寬，高分別為6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一個橫放的半圓柱，其中底面半徑為＝3，母線長為2， 故V＝10×4×5＋π×32×2＝200＋9π. 15．有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體的六個面，第二個球與這個正方體各條棱都相切，第三個球過這個正方體的各個項點，求這三個球的表面積之比． 考點　球的表面積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計算問題 解　設(shè)正方體棱長為a，三個球的半徑依次為R1，R2，R3，則有2R1＝a，R1＝，a＝2R2，R2＝a，a＝2R3， R3＝a，所以R1∶R2∶R3＝1∶∶. 所以S1∶S2∶S3＝R∶R∶R＝1∶2∶3. 即這三個球的表面積之比為1∶2∶3. 15