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2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的概念及其性質(zhì)學(xué)案理

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的概念及其性質(zhì)學(xué)案理 1、函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A,B 設(shè)A,B是非空的數(shù)集 設(shè)A,B是非空的集合 對應(yīng)關(guān)系f:A→B 如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng) 如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng) 名稱 稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱對應(yīng)f:A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 y=f(x),x∈A 對應(yīng)f:A→B 2、函數(shù)的定義域、值域 (1)在函數(shù)y=f(x),x∈

2、A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域. (2)函數(shù)的三要素是:定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系. 3、表示函數(shù)的常用方法 列表法、圖象法和解析法. 4、分段函數(shù) 在函數(shù)的定義域內(nèi),對于自變量x的不同取值區(qū)間,有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這種函數(shù)稱為分段函數(shù). 分段函數(shù)是一個函數(shù),分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集. 小題速通 1、若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是(  ) 2、下列函數(shù)中,與函數(shù)y

3、=x相同的函數(shù)是(  ) A.y=  B.y=() C.y=lg 10x D.y=2log2x 3、已知函數(shù)f(x)=則f=(  ) A.-2 B.4 C.2 D.-1 4、已知f=2x-5,且f(a)=6,則a等于(  ) A. B.- C. D.- 易錯點(diǎn) 1、解決函數(shù)有關(guān)問題時,易忽視“定義域優(yōu)先”的原則. 2、易混“函數(shù)”與“映射”的概念:函數(shù)是特殊的映射,映射不一定是函數(shù),從A到B的一個映射

4、,A,B若不是數(shù)集,則這個映射便不是函數(shù). 1、(2018·合肥八中模擬)已知函數(shù)f(x)=2x+1(1≤x≤3),則(  ) A.f(x-1)=2x+2(0≤x≤2) B.f(x-1)=2x-1(2≤x≤4) C.f(x-1)=2x-2(0≤x≤2) D.f(x-1)=-2x+1(2≤x≤4) 2、下列對應(yīng)關(guān)系: ①A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根; ②A=R,B=R,f:x→x的倒數(shù); ③A=R,B=R,f:x→x2-2; ④A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的數(shù)平方. 其中是A到B的映射的是(  ) A

5、.①③ B.②④ C.③④ D.②③ 知識點(diǎn)二、函數(shù)定義域的求法 函數(shù)y=f(x)的定義域 小題速通 1、函數(shù)f(x)=(a>0且a≠1)的定義域?yàn)開_______. 2、函數(shù)y=lg(1-2x)+的定義域?yàn)開_______. 易錯點(diǎn) 1、求復(fù)合型函數(shù)的定義域時,易忽視其滿足內(nèi)層函數(shù)有意義的條件. 2、求抽象函數(shù)的定義域時,易忽視同一個對應(yīng)關(guān)系后的整體范圍. 1、(2018·遼寧錦州模擬)已知函數(shù)f(x2-3)=lg,則f(x)的定義域?yàn)開_______. 2、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)g(x)=f(2x)+的定義域?yàn)開_______. 知識點(diǎn)

6、三、函數(shù)的單調(diào)性與最值 1、函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2 當(dāng)x1f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) 圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的 (2)單調(diào)區(qū)間的定義 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)

7、的單調(diào)區(qū)間. 2、函數(shù)的最值 前提 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足 條件 (1)對于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)對于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 結(jié)論 M為最大值 M為最小值 小題速通 1、(2018·珠海摸底)下列函數(shù)中,定義域是R且為增函數(shù)的是(  ) A.y=2-x  B.y=x C.y=log2x D.y=- 2、函數(shù)f(x)=|x-2|x的單調(diào)減區(qū)間是(  ) A.[1,2]

8、 B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞) 3、(2018·長春質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是(  ) A.(-∞,1] B.(-∞,-1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 4、已知定義在R上的函數(shù)f(x)為增函數(shù),當(dāng)x1+x2=1時,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,則實(shí)數(shù)x1的取值范圍是(  ) A.(-∞,0) B. C. D.(1

9、,+∞) 5、函數(shù)f(x)=的最大值為________. 易錯點(diǎn) 1、易混淆兩個概念:“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”,前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間,后者是前者“最大”區(qū)間的子集. 2、若函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同,則這兩個區(qū)間要分開寫,不能寫成并集.例如,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上是減函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù),但在(-1,0)∪(0,1)上卻不一定是減函數(shù),如函數(shù)f(x)=. 1、函數(shù)f(x)=在(  ) A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函數(shù) B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是減函數(shù) C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函數(shù) D.(

10、-∞,1)和(1,+∞)上是減函數(shù) 2、設(shè)定義在[-1,7]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間為________. 知識點(diǎn)四、函數(shù)的奇偶性 1、定義及圖象特征 奇偶性 定義 圖象特點(diǎn) 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對稱 2、函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論 (1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0. (2)

11、如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|). (3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型,即f(x)=0,x∈D,其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集. (4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. 小題速通 1、下列函數(shù)中的偶函數(shù)是(  ) A.y=2x- B.y=xsin x C.y=excos x D.y=x2+sin x 2、定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(x+2),且當(dāng)x∈[-2,0]時,f(x)=3x-1,則f(9)=(  ) A.-2 B.

12、2 C.- D. 3、(2018·綿陽診斷)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-1)

13、奇偶性的一個必要條件. 2判斷分段函數(shù)奇偶性時,誤用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)去否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性. 1、已知函數(shù)f(x)=x2-m是定義在區(qū)間[-3-m,m2-m]上的奇函數(shù),則(  ) A.f(m)f(1) C.f(m)=f(1) D.f(m)與f(1)大小不能確定 2、函數(shù)f(x)=的奇偶性為________. 知識點(diǎn)五、函數(shù)的周期性 1、周期函數(shù) 對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為

14、周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期. 2、最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期. 3、重要結(jié)論 周期函數(shù)的定義式f(x+T)=f(x)對定義域內(nèi)的x是恒成立的,若f(x+a)=f(x+b),則函數(shù)f(x)的周期為T=|a-b|. 若在定義域內(nèi)滿足f(x+a)=-f(x),f(x+a)=,f(x+a)=-(a>0).則f(x)為周期函數(shù),且T=2a為它的一個周期. 4、對稱性與周期的關(guān)系 (1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和直線x=b對稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a-b|是它的一個周期. (2)若函

15、數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a-b|是它的一個周期. (3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x=b對稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),4|a-b|是它的一個周期. 小題速通 1、已知函數(shù)f(x)=則f(-5)的值為(  ) A.0 B. C.1 D. 2、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=log2(x+1),則f(31)=(  ) A.0

16、 B.1 C.-1 D.2 3、(2018·晉中模擬)已知f(x)是R上的奇函數(shù),f(1)=2,且對任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,則f(2017)=________. 易錯點(diǎn) 在利用周期性定義求解問題時,易忽視定義式f(x+T)=f(x)(T≠0)的使用而致誤. 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)=-,當(dāng)2≤x≤3時,f(x)=x,則f(105.5)=________. 過關(guān)檢測練習(xí) 一、選擇題 1.函數(shù)f(x)=lg(x-1)-的定義域?yàn)?  ) A.(-∞,4]

17、 B.(1,2)∪(2,4] C.(1,4] D.(2,4] 2.(2017·唐山期末)已知f(x)=x+-1,f(a)=2,則f(-a)=(  ) A.-4 B.-2 C.-1 D.-3 3.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(a)+f(-1)=2,則a的值為(  ) A.-3 B.±3 C.-1 D.±1 4.下列幾個命題正確的個數(shù)是(  ) (1)若方程x2+(a-3)x+a=0有一個正根,一個負(fù)根

18、,則a<0; (2)函數(shù)y=+是偶函數(shù),但不是奇函數(shù); (3)函數(shù)f(x+1)的定義域是[-1,3],則f(x2)的定義域是[0,2]; (4)若曲線y=|3-x2|和直線y=a(a∈R)的公共點(diǎn)個數(shù)是m,則m的值不可能是1. A.1 B.2 C.3 D.4 5.如果二次函數(shù)f(x)=3x2+2(a-1)x+b在區(qū)間(-∞,1)上是減函數(shù),則(  ) A.a(chǎn)=-2 B.a(chǎn)=2 C.a(chǎn)≤-2 D.a(chǎn)≥2 6.若函數(shù)f(x)滿足“對任

19、意x1,x2∈(0,+∞),當(dāng)x1f(x2)”,則f(x)的解析式可以是(  ) A.f(x)=(x-1)2 B.f(x)=ex C.f(x)= D.f(x)=ln(x+1) 7.已知函數(shù)f(x)=log(x2-ax+3a)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C. D. 8.(2018·長春調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=,若f(a)=,則f(-a)=(  ) A. B.-

20、 C. D.- 二、填空題 9.f(x)=asin x-blog3(-x)+1(a,b∈R),若f(lg(log310))=5,則f(lg(lg 3))=________. 10.設(shè)a為實(shí)常數(shù),y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=9x++7,若f(x)≥a+1對一切x≥0成立,則a的取值范圍為________. 11.設(shè)f(x)=x3+log2(x+),則對任意實(shí)數(shù)a,b,a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的________條件(填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要). 12.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同

21、時滿足以下條件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③當(dāng)0≤x<1時,f(x)=2x-1,則f+f(1)+f+f(2)+f=________. 三、解答題 13.設(shè)函數(shù)f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1). (1)求f(x)的解析式;(2)畫出f(x)的圖象. 14.設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x. (1)求f(π)的值;(2)當(dāng)-4≤x≤4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積. 高考研究課:一

22、)函數(shù)的定義域、解析式及分段函數(shù) 全國卷5年命題分析 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 函數(shù)的概念 5年1考 函數(shù)定義問題 分段函數(shù) 5年3考 分段函數(shù)求值及不等式恒成立問題 題型一、函數(shù)的定義域問題 [典例] (1)(2018·長沙模擬)函數(shù)y=的定義域是(  ) A.(-1,+∞)   B.[-1,+∞) C.(-1,2)∪(2,+∞) D.[-1,2)∪(2,+∞) (2)若函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為________. 方法技巧 函數(shù)定義域問題的3種??碱愋图扒蠼獠呗? (1)已知函數(shù)的解析式:構(gòu)建使解析式

23、有意義的不等式(組)求解. (2)抽象函數(shù): ①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出. ②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]時的值域. (3)實(shí)際問題:既要使構(gòu)建的函數(shù)解析式有意義,又要考慮實(shí)際問題的要求.   即時演練 1、函數(shù)f(x)=+lg 的定義域?yàn)?  ) A.(2,3) B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6] 2、已知函數(shù)f(2-x)=,則函數(shù)f()的定義域?yàn)?  ) A.[0

24、,+∞) B.[0,16] C.[0,4] D.[0,2] 題型二、函數(shù)解析式的求法 函數(shù)的解析式是函數(shù)的基礎(chǔ)知識,高考中重視對待定系數(shù)法、換元法、利用函數(shù)性質(zhì)求解析式的考查.題目難度不大,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). [典例](1)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為(  ) A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x (2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+

25、1)=2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x(1-x),則當(dāng)-1≤x≤0時,f(x)=________. (3)(2018·合肥模擬)已知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},滿足3f(x)+5f=+1,則函數(shù)f(x)的解析式為________. 方法技巧 求函數(shù)解析式的常見方法 待定系數(shù)法 若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),根據(jù)函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式,根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,解出待定系數(shù)即可 換元法 已知f(h(x))=g(x),求f(x)時,往往可設(shè)h(x)=t,從中解出x,代入g(x)進(jìn)行換元,求出f(t)的解析式,再將t替換為x即可 構(gòu)造法 已知f(h(x)

26、)=g(x),求f(x)的問題,往往把右邊的g(x)整理構(gòu)造成只含h(x)的式子,用x將h(x)替換 函數(shù)方程法 已知f(x)滿足某個等式,這個等式除f(x)是未知量外,還有其他未知量,如f(-x),f,則可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組,通過解方程組求出f(x) 即時演練 1.如果f=,則當(dāng)x≠0且x≠1時,f(x)等于(  ) A. B. C. D.-1 2.已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,則f(x)=________. 題型三、分段函數(shù) 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù),是高考的

27、命題熱點(diǎn),多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),試題難度不大,多為低檔題或中檔題. 常見的命題角度有: (1)分段函數(shù)求值問題; (2)求參數(shù)值或自變量的取值范圍; (3)研究分段函數(shù)的性質(zhì). 角度一:分段函數(shù)求值問題 1、已知函數(shù)f(x)=則f[f(ln 2)]=________. 角度二:求參數(shù)或自變量的取值范圍 2、設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________. 3、已知函數(shù)f(x)=若f(f(m))≥0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  ) A.[-2,2] B.[-2,2]∪[4,+∞) C.[-2,2+] D.[-

28、2,2+]∪[4,+∞) 角度三:研究分段函數(shù)的性質(zhì) 4、已知函數(shù)f(x)=則下列結(jié)論正確的是(  ) A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是增函數(shù) C.f(x)是周期函數(shù) D.f(x)的值域?yàn)閇-1,+∞) 5、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)=若方程f(x)=x+a有兩個不同實(shí)根,則a的取值范圍為(  ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(0,1) D.(-∞,+∞) 方法技巧 分段函數(shù)問題的3種類型及求解策略 (1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值 首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間

29、,其次選定相應(yīng)的解析式代入求解. (2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍 應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍. (3)研究分段函數(shù)的性質(zhì) 可根據(jù)分段函數(shù)逐段研究其性質(zhì),也可根據(jù)選項(xiàng)利用特殊值法作出判斷.   高考真題演練 1.(2016·全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lg x的定義域和值域相同的是(  ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 2.(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(-2)+f(log212)=( 

30、 ) A.3    B.6     C.9     D.12 3.(2015·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=且f(a)=-3,則f(6-a)=(  ) A.- B.- C.- D.- 4.(2013·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是(  ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 高考達(dá)標(biāo)檢測 一、選擇題 1.(2018·廣東模擬)設(shè)函數(shù)f(x)滿足f=1+x,則f(x)的表達(dá)式為(  ) A. 

31、     B. C. D. 2.函數(shù)f(x)=的定義域是(  ) A. B.∪(0,+∞) C. D.[0,+∞) 3.設(shè)函數(shù)f:R→R滿足f(0)=1,且對任意x,y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,則f(2 017)=(  ) A.0 B.1 C.2 017 D.2 018 4.若f(x)對于任意實(shí)數(shù)x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,則f(1)=(  ) A.2 B.0

32、 C.1 D.-1 5.若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)=1,g(-1)=5,且圖象過原點(diǎn),則g(x)的解析式為(  ) A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x 6.(2018·青島模擬)已知函數(shù)f(x)=則使f(x)=2的x的集合是(  ) A. B. C. D. 7.(2018·萊蕪模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇3,6],則函數(shù)y=的定義域?yàn)?  ) A.

33、 B. C. D. 8.(2018·武漢調(diào)研)函數(shù)f(x)=滿足f(1)+f(a)=2,則a的所有可能取值為(  ) A.1或- B.- C.1 D.1或 二、填空題 9.已知函數(shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇-,],則函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)開_______. 10.已知函數(shù)y=lg(kx2+4x+k+3)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 11.具有性質(zhì):f=-f(x)的函數(shù),我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù).下列函數(shù): ①f(x)=

34、x-;②f(x)=x+;③f(x)=其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是________.(填序號) 12.(2016·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)= ①若a=0,則f(x)的最大值為________; ②若f(x)無最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 三、解答題 13.已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))與g(f(2));(2)求f(g(x))與g(f(x))的表達(dá)式. 14.水庫的儲水量隨時間而變化,現(xiàn)用t表示時間,以月為單位,以年初為起點(diǎn),根據(jù)歷年數(shù)據(jù),某水庫的儲水量(單位:億立方米)關(guān)于t的近似

35、函數(shù)關(guān)系式為:v(t)= (1)該水庫的儲水量小于50的時期稱為枯水期,問:一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期? (2)求一年內(nèi)該水庫的最大儲水量.(取的值為4.6計(jì)算,e3的值為20計(jì)算) 能力提高訓(xùn)練題 1.已知函數(shù)f(x)=在定義域[0,+∞)上單調(diào)遞增,且對于任意a≥0,方程f(x)=a有且只有一個實(shí)數(shù)解,則函數(shù)g(x)=f(x)-x在區(qū)間[0,2n](n∈N*)上的所有零點(diǎn)的和為(  ) A. B.22n-1+2n-1 C. D.2n-1 2.設(shè)函數(shù)f(x)=其中[

36、x]表示不超過x的最大整數(shù),如[-1.5]=-2,[2.5]=2,若直線y=k(x-1)(k<0)與函數(shù)y=f(x)的圖象只有三個不同的交點(diǎn),則k的取值范圍為(  ) A. B. C. D. 高考研究課(二)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及周期性 全國卷5年命題分析 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 函數(shù)的單調(diào)性 5年4考 利用單調(diào)性解不等式、比較大小、求最值 函數(shù)的奇偶性 5年5考 奇偶性的判斷及應(yīng)用求值 函數(shù)的周期性 未考查 題型一、函數(shù)的單調(diào)性 高考對函數(shù)單調(diào)性的考查多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時也應(yīng)用于解答

37、題中的某一問中.,常見的命題角度有: (1)確定函數(shù)的單調(diào)性; (2)求函數(shù)的值域或最值; (3)比較兩個函數(shù)值; (4)解函數(shù)不等式; (5)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍. 角度一:確定函數(shù)的單調(diào)性 1.(2018·昆明調(diào)研)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減的是(  ) A.y=-x       B.y=x2-x C.y=ln x-x D.y=ex-x 2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是(  ) A.y= B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5x 3.(2018·廣東佛山聯(lián)考)討論函數(shù)f(x)=(a>0)在(-1,1)上

38、的單調(diào)性. 方法技巧 確定函數(shù)單調(diào)性的常用方法 定義法 先確定定義域,再根據(jù)取值、作差、變形、定號的順序得結(jié)論 圖象法 若函數(shù)是以圖象形式給出的,或者函數(shù)的圖象可作出,可由圖象的升、降寫出它的單調(diào)性 導(dǎo)數(shù)法 先求導(dǎo),再確定導(dǎo)數(shù)值的正負(fù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的單調(diào)性 [提醒] 復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))的單調(diào)性可以利用口訣——“同增異減”來判斷,即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時,為增函數(shù);單調(diào)性不同時為減函數(shù). 角度二:求函數(shù)的值域或最值 4.函數(shù)y=2x2+2x的值域?yàn)?  ) A. B.[2,+∞)

39、 C. D.(0,2] 5.(2016·北京高考)函數(shù)f(x)=(x≥2)的最大值為________. 方法技巧 利用單調(diào)性求函數(shù)的最值的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷其單調(diào)性,而判斷方法常用定義法及導(dǎo)數(shù)法.   角度三:比較兩個函數(shù)值 6.(2017·天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為(  ) A.a(chǎn)

40、已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,當(dāng)x2>x1>1時,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,設(shè)a=f,b=f(2),c=f(e),則a,b,c的大小關(guān)系為(  ) A.c>a>b B.c>b>a C.a(chǎn)>c>b D.b>a>c 方法技巧 比較函數(shù)值的大小,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.   角度四:解函數(shù)不等式 8.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,則滿足f(2x-1)

41、-2,3] D.(-∞,-3)∪(2,+∞) 9.已知函數(shù)f(x)=若f(a)>f(2-a),則a的取值范圍是________. 方法技巧 在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時,往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.   角度五:利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 10.(2018·濟(jì)寧模擬)函數(shù)f(x)=滿足對任意的實(shí)數(shù)x1≠x2都有>0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________. 方法技巧 利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的策略 (1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù); (2

42、)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.   題型二、函數(shù)的奇偶性 [典例] (1)(2018·重慶適應(yīng)性測試)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(  ) A.y=x3+3x2 B.y= C.y=xsin x D.y=log2 (2)(2018·湖北武漢十校聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ex,則g(x)=(  ) A.ex-e-x B.(ex+e-x) C.(e-x-ex) D.(ex-

43、e-x) (3)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函數(shù),則a=________. 方法技巧 應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的4類問題 (1)判定函數(shù)奇偶性 ①定義法:    ②圖象法: ③性質(zhì)法: 設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. (2)求解析式 先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式. (3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)

44、的恒等式,由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值. (4)利用函數(shù)的奇偶性求值 首先判斷函數(shù)解析式或解析式的一部分的奇偶性,然后結(jié)合已知條件通過化簡、轉(zhuǎn)換求值. 即時演練 1.若函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),則使f(x)>3成立的x的取值范圍為(  ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) 2.已知函數(shù)f(x)=asin x-btan x+4cos ,且f(-1)=1,則f(1)=(  ) A.3 B.-3 C.0

45、 D.4-1 3.已知f(x)=3ax2+bx-5a+b是偶函數(shù),且其定義域?yàn)閇6a-1,a],則a+b=(  ) A. B.-1 C.1 D.7 題型三、函數(shù)的周期性 [典例] (1)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=2x-x2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018)=________. (2)(2018·煙臺模擬)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù),且在[0,2]上的解析式為f(x)=則f+f=________. 方法技巧 函數(shù)周期性問題的

46、求解策略 (1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題. (2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),在解決具體問題時,要注意結(jié)論:若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期.   即時演練 1.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x-1)=f(x+1)=f(1-x),當(dāng)x∈[-1,0]時,f(x)=e-x,設(shè)a=f(-),b=f(3),c=f(8),則a,b,c的大小關(guān)系為(  ) A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>b C

47、.b>a>c D.c>b>a 2.(2016·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f=f,則f(5a)的值是________. 題型四、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 高考對于函數(shù)性質(zhì)的考查,一般不會單純地考查某一個性質(zhì),而是對奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查. 常見的命題角度有: (1)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合; (2)周期性與奇偶性結(jié)合; (3)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合. 角度一:單調(diào)性與奇偶性結(jié)合 1.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=-f(x),且在[0,1]上是增函數(shù),則有(  ) A.f

48、

49、]上是增函數(shù),則(  ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)

50、期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.   高考真題演練 1.(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是(  ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 2.(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(  ) A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C.f(x)|g

51、(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 3.(2015·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)=xln(x+)為偶函數(shù),則a=________. 4.(2014·全國卷Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,f(2)=0.若f(x-1)>0,則x的取值范圍是________. 5.(2014·全國卷Ⅱ)偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,f(3)=3,則f(-1)=________. 高考達(dá)標(biāo)檢測 一、選擇題 1.(2017·北京高考)已知函數(shù)f(x)=3x-x,則f(x)(  ) A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)

52、 C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù) 2.(2018·遼寧階段測試)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)+mln (1-x)是偶函數(shù),則(  ) A.m=1,且f(x)在(0,1)上是增函數(shù) B.m=1,且f(x)在(0,1)上是減函數(shù) C.m=-1,且f(x)在(0,1)上是增函數(shù) D.m=-1,且f(x)在(0,1)上是減函數(shù) 3.已知x,y∈R,且x>y>0,則(  ) A.->0     B.sin x-sin y>0 C.x-y<0 D.ln x+ln y>0 4.(2016·山東高考)已知函數(shù)f(x)的

53、定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時,f(x)=x3-1;當(dāng)-1≤x≤1時,f(-x)=-f(x);當(dāng)x>時,f=f,則f(6)=(  ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 5.(2018·湖南聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,若a=f,b=f,c=f,則a,b,c的大小關(guān)系為(  ) A.b

54、范圍是(  ) A. B.[-6,-4] C.[-3,-2] D.[-4,-3] 7.設(shè)函數(shù)f(x)=ln (1+|x|)-,則使f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是(  ) A. B.∪(1,+∞) C. D.∪ 8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x)=f(x+4),且當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)=2x+,則f(log220)=(  ) A.1 B. C.-1 D.- 二、填空題 9.(201

55、6·天津高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-),則a的取值范圍是________. 10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時,f(x)=4x,則f+f(1)=________. 11.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),且對于任意x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,均有>0.若f=,2f<1,則x的取值范圍為________. 12.(2017·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若f(a-1)+f(2a2)≤0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

56、是________. 三、解答題 13.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(0)=0,當(dāng)x>0時,f(x)=logx. (1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2-1)>-2. 14.(2018·湖南長郡中學(xué)測試)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2,且當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=. (1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)證明:f(x)在(0,1)上是減函數(shù). 能力提高訓(xùn)練題 1.已知奇函數(shù)f(x)(x∈D),當(dāng)x>0時,f(x)≤f(1)=2.給出下列命題: ①D=[-1,1];②對?x∈D,|f(x)|≤2;③?x0∈D,使得f(x0)=0;④?x1∈D,使得f(x1)=1. 其中所有正確命題的個數(shù)是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2),若?x∈R,f(x-1)≤f(x),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  ) A. B. C. D.

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