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2022年高中數(shù)學(xué)必修四 1.2《任意角的三角函數(shù)》教案(3)

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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 1.2《任意角的三角函數(shù)》教案(3) 教學(xué)目的: 知識(shí)目標(biāo): 1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義; 2.已知角α終邊上一點(diǎn),會(huì)求角α的各三角函數(shù)值; 3.記住三角函數(shù)的定義域、值域,誘導(dǎo)公式(一)。 能力目標(biāo):(1)理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義; (2)樹立映射觀點(diǎn),正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù); (3)通過對(duì)定義域,三角函數(shù)值的符號(hào),誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo),提高學(xué)生分析、探究、 解決問題的能力。 德育目標(biāo): (1)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的,三角函數(shù)就是角度(自變量)與比值(函數(shù)值)的一種聯(lián)系方式; (2)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想,培養(yǎng)

2、學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神; 教學(xué)重點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)),以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)。 教學(xué)難點(diǎn):利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表示出來. 授課類型:新授課 教學(xué)模式:?jiǎn)l(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué). 教 具:多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程: 一、復(fù)習(xí)引入: 初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的? 在Rt△ABC中,設(shè)A對(duì)邊為a,B對(duì)邊為b,C對(duì)邊為c,銳角A的正弦、余弦、正切依次為 . 角推廣后,這樣的三角函數(shù)的定義不再適用,我

3、們必須對(duì)三角函數(shù)重新定義。 二、講解新課: 1.三角函數(shù)定義 在直角坐標(biāo)系中,設(shè)α是一個(gè)任意角,α終邊上任意一點(diǎn)(除了原點(diǎn))的坐標(biāo)為,它與原點(diǎn)的距離為,那么 (1)比值叫做α的正弦,記作,即; (2)比值叫做α的余弦,記作,即; (3)比值叫做α的正切,記作,即; (4)比值叫做α的余切,記作,即; (5)比值叫做α的正割,記作,即; (6)比值叫做α的余割,記作,即. 說明:①α的始邊與軸的非負(fù)半軸重合,α的終邊沒有表明α一定是正角或負(fù)角,以及α的大小,只表明與α的終邊相同的角所在的位置; ②根據(jù)相似三角形的知識(shí),對(duì)于確定的角α,六個(gè)比值不以點(diǎn)在α的終邊上的位置

4、的改變而改變大??; ③當(dāng)時(shí),α的終邊在軸上,終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于,所以與無意義;同理,當(dāng)時(shí),與無意義; ④除以上兩種情況外,對(duì)于確定的值α,比值、、、、、分別是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角為自變量,一比值為函數(shù)值的函數(shù),以上六種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。 2.三角函數(shù)的定義域、值域 函 數(shù) 定 義 域 值 域 注意: (1)以后我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)研究角的問題,其頂點(diǎn)都在原點(diǎn),始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合. (2) α是任意角,射線OP是角α的終邊,α的各三角函數(shù)值(或是否有意義)與ox轉(zhuǎn)了

5、幾圈,按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關(guān). (3)sin是個(gè)整體符號(hào),不能認(rèn)為是“sin”與“α”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣. (4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別: 銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例,它們的基礎(chǔ)共建立于相似(直角)三角形的性質(zhì),“r”同為正值. 所不同的是,銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的,任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實(shí)質(zhì)上,由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過程. (5)為了便于記憶,我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性,將直角三角形置于平

6、面直角坐標(biāo)系的第一象限,使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合,利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶. 3.例題分析 例1.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn),求α的六個(gè)函數(shù)制值。 解: 例2.求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值: (1); (2); (3). 解: 例3.已知角α的終邊過點(diǎn),求α的六個(gè)三角函數(shù)值。 解: 4.三角函數(shù)的符號(hào) 由三角函數(shù)的定義,以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào),我

7、們可以得知: ①正弦值對(duì)于第一、二象限為正(),對(duì)于第三、四象限為負(fù)(); ②余弦值對(duì)于第一、四象限為正(),對(duì)于第二、三象限為負(fù)(); ③正切值對(duì)于第一、三象限為正(同號(hào)),對(duì)于第二、四象限為負(fù)(異號(hào)). 說明:若終邊落在軸線上,則可用定義求出三角函數(shù)值 為正 全正 為正 為正 5.誘導(dǎo)公式 由三角函數(shù)的定義,就可知道:終邊相同的角三角函數(shù)值相同。 即有: , ,其中. , 這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0~2π間角的三角函數(shù)值問題. 三、鞏固與練習(xí) 1 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào): (1); (2); (3); (4). 2 求函數(shù)的值域 解: 四、小 結(jié):本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容: 1.任意角的三角函數(shù)的定義; 2.三角函數(shù)的定義域、值域; 3.三角函數(shù)的符號(hào)及誘導(dǎo)公式。 五、課后作業(yè): 補(bǔ)充:1已知點(diǎn),在角的終邊上,求、、的值。 2已知角a的終邊經(jīng)過P(4,-3),求2sina+cosa的值

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