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(全國通用版)2018-2019高中數學 第一章 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學案 新人教A版選修2-1

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1、 第一章 常用邏輯用語 1 怎樣解邏輯用語問題 1.利用集合理清關系 充分(必要)條件是高中學段的一個重要概念,并且是理解上的一個難點.要解決這個難點,將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來,看得見、想得通,才是最好的方法.本節(jié)使用集合模型對充要條件的外延與內涵作了直觀形象的解釋,實踐證明效果較好.集合模型解釋如下: (1)A是B的充分條件,即A?B. (2)A是B的必要條件,即B?A. (3)A是B的充要條件,即A=B. (4)A是B的既不充分也不必要條件, 即A∩B=?或A、B既有公共元素也有非公共元素. 或 例1 設集合S={0,a},T={x∈

2、Z|x2<2},則“a=1”是“S?T”的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析 T={x∈Z|x2<2}={-1,0,1},a=1時,S={0,1},所以S?T;反之,若S?T,則S={0,1}或S={0,-1}.所以“a=1”是“S?T”的充分不必要條件. 答案 充分不必要 2.抓住量詞,對癥下藥 全稱命題與特稱命題是兩類特殊的命題,這兩類命題的否定是這部分內容中的重要概念,解決有關此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質的量詞,理解其相應的含義,從而對癥下藥. 例2 (1)已知命題p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”與命題q

3、:“?x0∈R,x+2ax0+2+a=0”都是真命題,則實數a的取值范圍為______________. (2)已知命題p:“?x0∈[1,2],x-a≥0”與命題q:“?x0∈R,x+2ax0+2+a=0”都是真命題,則實數a的取值范圍為__________________. 解析 (1)將命題p轉化為當x∈[1,2]時, (x2-a)min≥0,即1-a≥0,即a≤1. 命題q:即方程有解,Δ=(2a)2-4×(2+a)≥0, 解得a≤-1或a≥2. 綜上所述,a的取值范圍為(-∞,-1]. (2)命題p轉化為當x0∈[1,2]時,(x-a)max≥0, 即4-a≥0,即a

4、≤4.命題q同(1). 綜上所述,a的取值范圍為(-∞,-1]∪[2,4]. 答案 (1)(-∞,-1] (2)(-∞,-1]∪[2,4] 點評 認真比較兩題就會發(fā)現,兩題形似而神異,所謂失之毫厘,謬之千里,需要我們抓住這類問題的本質——量詞,有的放矢. 2 判斷條件四策略 1.應用定義 如果p?q,那么稱p是q的充分條件,同時稱q是p的必要條件.判斷時的關鍵是分清條件與結論. 例1 設集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的__________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析 條件p

5、:x∈M或x∈P;結論q:x∈P∩M. 若x∈M,則x不一定屬于P,即x不一定屬于P∩M, 所以p?q;若x∈P∩M,則x∈M且x∈P,所以q?p. 綜上知,“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分條件. 答案 必要不充分 2.利用傳遞性 充分、必要條件在推導的過程當中具有傳遞性,即:若p?q,q?r,則p?r. 例2 如果A是B的必要不充分條件,B是C的充要條件,D是C的充分不必要條件,那么A是D的______條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析 依題意,有A?B?C?D且A ?B?C?D,由命題的傳遞性可知D?A,但A?D.于是A

6、是D的必要不充分條件. 答案 必要不充分 3.利用集合 運用集合思想來判斷充分條件和必要條件是一種行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出現,q以非空集合B的形式出現,則①若A?B,則p是q的充分條件;②若B?A,則p是q的必要條件;③若AB,則p是q的充分不必要條件;④若BA,則p是q的必要不充分條件;⑤若A=B,則p是q的充要條件. 例3 已知p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是________. 解析 設p,q分別對應集合P,Q, 則P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m}, 由題意知,p?q,但q?p,故PQ, 所以或解得m≥9. 即m的取值范圍是[9,+∞). 答案 [9,+∞) 3

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