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1、2022年高中數(shù)學必修四 《任意角的三角函數(shù)》2教案
教學目標 知識
與技能 1.理解并掌握有向線段的概念;
2.正確利用與單位圓有關的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來,即用正弦線、余弦線、正切線表示出來.
過程
與方法 畫出正弦線,余弦線,正切線,觀察體會
情感態(tài)度價值觀 培養(yǎng)數(shù)形結合思想
重 點 正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何表示.
難 點 正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何表示.
關 鍵 正切線的正確畫法
教學方法
及課前準備
教學流程 多媒體輔助
教學內容
一、問題情境
1.情境引入:我們已學過任意角三角函數(shù),給
2、出了任意角的正弦、余弦、正切的定義.
2.提出問題:能不能用幾何元素表示三角函數(shù)值?例如,能不能用線段表示三角函數(shù)值?
二、學生活動
學生思考,討論,回答.討論可能沿著下面的方向進行:
1.通過聯(lián)想,可以提出
問題1:在初中,我們知道銳角三角函數(shù)可以看成線段的比,那么,任意角的三角函數(shù)是否可以也看成是線段的比呢?
2.明確問題,可以提出
問題2:問題1的實際意義是什么?什么叫做三角函數(shù)?任意角的三角函數(shù)是怎樣定義的?
由此可以進一步明確問題1的意義.具體地,以正弦函數(shù)為例,當前的問題就是怎樣用幾何元素表示.(這里的是角終邊上任一點的坐標)
2.簡化問題,可以提出
問題3
3、:能進一步簡化問題嗎?是否可以在角的終邊上取一個特殊點,使得三角函數(shù)值的表達式更為簡單?
結論是,當點在以原點為圓心,半徑為1的圓(單位圓)上時,,而的函數(shù)值分別為點的縱坐標和橫坐標.
三、建構數(shù)學
1.有向線段
(1)提出解決問題1的關鍵就這樣解決
問題4:怎樣表示點的縱,橫坐標?能不能用線段表示坐標?
圍繞著如下問題進行討論:
問題5:坐標是什么?
問題6:能不能用線段表示坐標?能不能用線段表示數(shù)?怎樣才能做到這點?
問題7:和初中的銳角三角函數(shù)相比,我們現(xiàn)在面臨的情況有什么不同?
通過討論,得到以下共識:為了用線段表示數(shù),我們需要規(guī)定線段的方向.
(2)
4、給出有向線段、有向線段的數(shù)量、有向線段的長度的概念.
下圖軸上,的數(shù)量分別是多少?
。
。
。
。
。
。
A
C
B
有向線段的數(shù)量:.
1
O
x
y
M
P
角的終邊
2.正弦線和余弦線
(1)問題8:怎樣用有向線段表示正弦函數(shù)值?
圍繞著問題8,作出表示正弦值的有向線段,得到正弦線的概念.
(2)由學生仿照正弦線,得到余弦線.
.
有向線段分別叫做角的正弦線、余弦線.
小結:我們已經(jīng)得到角的正弦線、余弦線、正切線,它們都是與單位圓的弦有關的線段.
3.正切線
(1)探索討論
問題9:能不能用有向線段表示
5、角的正切呢?
問題10:正切函數(shù)值是怎樣定義的?怎樣才能簡化定義中的表達式?這個表達式和正弦函數(shù)值的表達式有什么不同?怎樣才能使表達式的分母為1?
(2)先解決問題的一部分
當角的終邊上存在橫坐標為1的點時(這時角的終邊在軸的右側),怎樣用有向線段表示正切函數(shù)值?
(3)再解決剩余的問題.
當角的終邊上不存在橫坐標為1的點時(這時角的終邊在軸的左側),怎樣用有向線段表示正切函數(shù)值?
通過討論,得到下面的結論.
(4)正切線
正切線一般可按如下方法作出:如下圖所示,過點作單位圓的切線(軸的垂線),它與角終邊所在直線交于點,則有向線段即為角的正切線.
1
O
x
y
A
6、
T
角的終邊
1
O
x
y
角的終邊
A
T
,因此,我們把有向線段叫做角的正切線.
3.三角函數(shù)線:
課堂同步練習:
練習:可以討論課本P16練習第7題.
例1.比較下列各組數(shù)的大?。?
(1)和 (2)和
(3)和 (4)和
分析:三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn),從三角函數(shù)線的方向看出三角函數(shù)值的正負,其長度是三角函數(shù)值的的絕對值.比較兩個三角函數(shù)值的大小可以借助三角函數(shù)線
思考:根據(jù)單位圓中三角函數(shù)線,探究:
(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值域;
(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間上的單調性;
(3)正切函數(shù)在區(qū)間上的單調性
課堂要求學生掌握的內容:五、總結反思
單位圓和三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的幾何工具,它是數(shù)形結合思想在三角函數(shù)中的體現(xiàn),我們應掌握三角函數(shù)線的作法,并能運用它們解決一些有關三角函數(shù)的問題,注意在用字母表示有向線段時,要分清起點和終點,書寫順序要正確.
板書
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課后
作業(yè) 課本P23習題1.2第2題.
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與
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