《2022年高中數(shù)學(xué)必修四 3.2 《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》示范教案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué)必修四 3.2 《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》示范教案（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 3.2 《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》示范教案 教學(xué)分析 本節(jié)主要包括利用已有的十一個(gè)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換,以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.本節(jié)的內(nèi)容都是用例題來(lái)展現(xiàn)的,通過(guò)例題的解答,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象和變換目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析,促使學(xué)生形成對(duì)解題過(guò)程中如何選擇公式,如何根據(jù)問(wèn)題的條件進(jìn)行公式變形,以及變換過(guò)程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí),從而加深理解變換思想,提高學(xué)生的推理能力. 本節(jié)把三角恒等變換的應(yīng)用放在三角變換與三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系上,從而使三角函數(shù)性質(zhì)的研究得到延伸.三角恒等變換不同于代數(shù)變換，后者往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變

2、換，變換內(nèi)容比較單一.而對(duì)于三角變換，不僅要考慮三角函數(shù)是結(jié)構(gòu)方面的差異，還要考慮三角函數(shù)式所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，它是一種立體的綜合性變換.從函數(shù)式結(jié)構(gòu)、函數(shù)種類、角與角之間的聯(lián)系等方面找一個(gè)切入點(diǎn)，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，是三角恒等變換的重要特點(diǎn). 三維目標(biāo) 1.通過(guò)經(jīng)歷二倍角的變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出積化和差與和差化積公式,體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力. 2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形,體會(huì)三角恒等變

3、換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 3.通過(guò)例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過(guò)程中如何選擇公式，如何根據(jù)問(wèn)題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過(guò)程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：1.半角公式、積化和差、和差化積公式的推導(dǎo)訓(xùn)練. 2.三角變換的內(nèi)容、思路和方法,在與代數(shù)變換相比較中,體會(huì)三角變換的特點(diǎn). 教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過(guò)程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過(guò)程的能力. 課時(shí)安排 2課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 第1課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.我們知道

4、變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對(duì)象之一，三角函數(shù)主要有以下三個(gè)基本的恒等變換：代數(shù)變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換.前面已經(jīng)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行了簡(jiǎn)單的恒等變換，本節(jié)將綜合運(yùn)用和（差）角公式、倍角公式進(jìn)行更加豐富的三角恒等變換. 思路2.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值、證明，都離不開三角恒等變換.學(xué)習(xí)了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行三角變換的新工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富和靈活，同時(shí)也為培養(yǎng)和提高我們的推理、運(yùn)算、實(shí)踐能力提供了廣闊的空間和發(fā)展的平臺(tái).對(duì)于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還會(huì)有所包含的角,

5、以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn). 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 ①α與有什么關(guān)系? ②如何建立cosα與sin2之間的關(guān)系？ ③sin2=，cos2=，tan2=這三個(gè)式子有什么共同特點(diǎn)？ ④通過(guò)上面的三個(gè)問(wèn)題，你能感覺(jué)到代數(shù)變換與三角變換有哪些不同嗎? ⑤證明(1)sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sinθ+sinφ=2sin. 并觀察這兩個(gè)式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有何不同？ 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想

6、關(guān)于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin2,將公式中的α用代替,解出sin2即可.教師對(duì)學(xué)生的討論進(jìn)行提問(wèn)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：α是的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin2α中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=1-2sin2, 所以sin2=. ① 在倍角公式cos2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得 cosα=2cos2-1, 所以cos2=. ② 將①②兩個(gè)

7、等式的左右兩邊分別相除,即得 tan2=. ③ 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的①②③式，可讓學(xué)生總結(jié)出下列特點(diǎn)： (1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù); (2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達(dá)到“降次”的目的). 教師與學(xué)生一起總結(jié)出這樣的特點(diǎn),并告訴學(xué)生這些特點(diǎn)在三角恒等變形中將經(jīng)常用到.提醒學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中引起注意.同時(shí)還要強(qiáng)調(diào),本例的結(jié)果還可表示為:sin=±,cos=±,tan=±,并稱之為半角公式(不要求記憶),符號(hào)由所在象限決定.

8、 教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)這兩種變換共同討論歸納得出：對(duì)于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異.因此，三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個(gè)角間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)，選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式，這是三角恒等變換的重要特點(diǎn).代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換. 對(duì)于問(wèn)題⑤：（1）如果從右邊出發(fā)，僅利用和（差）的正弦公式作展開合并，就會(huì)得出左式.但為了更好地發(fā)揮本例的訓(xùn)練功能，把兩個(gè)三角式結(jié)構(gòu)形式上的不同點(diǎn)作為思考的出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ

9、+cosαsinβ.從方程角度看這個(gè)等式，sinαcosβ，cosαsinβ分別看成兩個(gè)未知數(shù).二元方程要求得確定解，必須有2個(gè)方程，這就促使學(xué)生考慮還有沒(méi)有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相應(yīng)的以sinαcosβ，cosαsinβ為未知數(shù)的二元一次方程組，就容易得到所需要的結(jié)果. （2）由（1）得到以和的形式表示的積的形式后，解決它的反問(wèn)題，即用積的形式表示和的形式，在思路和方法上都與（1）沒(méi)有什么區(qū)別.只需做個(gè)變換，令α+β=θ，α-β=φ，則α=，β=,代入(1)式即得(2)式. 證明:(1)因?yàn)閟in(α+β)=sinα

10、cosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, 將以上兩式的左右兩邊分別相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ, 即sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.① 設(shè)α+β=θ,α-β=φ,那么α=,β=. 把α,β的值代入①, 即得sinθ+sinφ=2sincos. 教師給學(xué)生適時(shí)引導(dǎo)，指出這兩個(gè)方程所用到的數(shù)學(xué)思想,可以總結(jié)出在本例的證明過(guò)程中用到了換元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,從而把包含α,β

11、的三角函數(shù)式變換成θ,φ的三角函數(shù)式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y的方程,通過(guò)解方程求得x,這就是方程思想的體現(xiàn). 討論結(jié)果：①α是的二倍角. ②sin2=1-cos. ③④⑤略(見(jiàn)活動(dòng)）. 應(yīng)用示例 思路1 例1 化簡(jiǎn):. 活動(dòng)：此題考查公式的應(yīng)用，利用倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解題.教師提醒學(xué)生注意半角公式和倍角公式的區(qū)別，它們的功能各異，本質(zhì)相同，具有對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系. 解:原式==tan. 點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)基本知識(shí)的考查，重在讓學(xué)生理解倍角公式與半角公式的內(nèi)在聯(lián)系. 變式訓(xùn)練 化簡(jiǎn):sin50°(1+tan10°)

12、. 解:原式=sin50° =2sin50°· =2cos40°·=1. 例2 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值. 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用立方差公式進(jìn)行對(duì)公式變換化簡(jiǎn)，然后再求解.由于(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),∴a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此題后,教師引導(dǎo)學(xué)生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx與sinx±cosx之間的轉(zhuǎn)化.提升學(xué)生的運(yùn)算.化簡(jiǎn)能力及整體代換思想.本題也可直接應(yīng)用上述公式求之,即sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-c

13、osx)=.此方法往往適用于sin3x±cos3x的化簡(jiǎn)問(wèn)題之中. 解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=, 即1-2sinxcosx=,∴sinxcosx=. ∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x) =(1+)=. 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是公式的變形、化簡(jiǎn)、求值,注意公式的靈活運(yùn)用和化簡(jiǎn)的方法. 變式訓(xùn)練 (xx年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,則cos2θ的值是______________. 答案: 例1 已知. 活動(dòng)：此題可從多個(gè)角度進(jìn)行探究,由于所給的條件

14、等式與所要證明的等式形式一致,只是將A,B的位置互換了,因此應(yīng)從所給的條件等式入手,而條件等式中含有A,B角的正、余弦,可利用平方關(guān)系來(lái)減少函數(shù)的種類.從結(jié)構(gòu)上看,已知條件是a2+b2=1的形式,可利用三角代換. 證明一:∵, ∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos+B. ∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B, 即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B. ∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0. ∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.

15、∴sin2A=sin2B. ∴cos2B+sin2B=1. 證明二:令=sinα, 則cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα. 兩式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1. ∴B-α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z). ∴cosα=cosB,sinα=sinB. ∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B. ∴=cos2B+sin2B=1. 點(diǎn)評(píng):要善于從不同的角度來(lái)觀察問(wèn)題,本例從角與函數(shù)的種類兩方面觀察,利用平方關(guān)系進(jìn)行了合理消元. 變式訓(xùn)練 在銳角三

16、角形ABC中,ABC是它的三個(gè)內(nèi)角,記S=,求證:S<1. 證明:∵S= 又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA·tanB>1.∴S<1. 思路2 例1 證明=tan(+). 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，對(duì)于三角恒等式的證明，可從三個(gè)角度進(jìn)行推導(dǎo)：①左邊→右邊；②右邊→左邊；③左邊→中間條件←右邊.教師可以鼓勵(lì)學(xué)生試著多角度的化簡(jiǎn)推導(dǎo).注意式子左邊包含的角為x,三角函數(shù)的種類為正弦，余弦，右邊是半角，三角函數(shù)的種類為正切. 解：方法一：從右邊入手，切化弦，得 tan(+)=,由左右兩邊的角之間的關(guān)系

17、，想到分子分母同乘以cos+sin,得 方法二：從左邊入手，分子分母運(yùn)用二倍角公式的變形，降倍升冪，得 由兩邊三角函數(shù)的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得 =tan(+). 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是半角公式的靈活運(yùn)用，以及恒等式的證明所要注意的步驟與方法. 變式訓(xùn)練 已知α,β∈(0,)且滿足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin2α+2sin2β=13sin2α=1-2sin2β,即3sin2α=cos2β, ① 3sin2α-2sin2

18、β=03sinαcosα=sin2β, ② ①2+②2:9sin4α+9sin2αcos2α=1,即9sin2α(sin2α+cos2α)=1, ∴sin2α=.∵α∈(0,),∴sinα=. ∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α)=3×=1. ∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=. 解法二:3sin2α+2sin2β=1cos2β=1-2sin2β=3sin2α,

19、 3sin2α-2sin2β=0sin2β=sin2α=3sinαcosα, ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β =cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0. ∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=. 解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β, 兩式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(-2β). ∵α∈(0,),∴tanα>0.∴tan(-2β)>0. 又∵β∈(0,),∴<-2β<. 結(jié)合tan(-2β)>0,得0<-2β<. ∴由tanα=tan(-2β),得α=-2β,即α+2

20、β=. 例2 求證: 活動(dòng)：證明三角恒等式,一般要遵循“由繁到簡(jiǎn)”的原則,另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法. 證明:證法一:左邊= ==右邊.∴原式成立. 證法二:右邊=1- = ==左邊.∴原式成立. 點(diǎn)評(píng)：此題進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生三角恒等式的變形,靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式的能力以及邏輯推理能力. 變式訓(xùn)練 1.求證:. 分析：運(yùn)用比例的基本性質(zhì),可以發(fā)現(xiàn)原式等價(jià)于,此式右邊就是tan2θ. 證明:原等式等價(jià)于. 而上式左邊 ==tan2右邊.∴上式成立,即原等式得證. 2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求證:tan

21、(α+β)=tanα. 分析:仔細(xì)觀察已知式與所證式中的角,不要盲目展開,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化為結(jié)論式中的α+β與α的和,不妨將α+β作為一整體來(lái)處理. 證明:由sinβ=msin(2α+β)sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α] sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα](1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα tan(α+β)=tanα. 知能訓(xùn)練 1.若sinα=,α在第二象限,則tan的值為( ) A.5

22、 B.-5 C. D. 2.設(shè)5π<θ<6π,cos=α,則sin等于( ) A. B. C. D. 3.已知sinθ=,3π<θ<,則tan_________________. 解答: 1.A 2.D 3.-3 課堂小結(jié) 1.先讓學(xué)生自己回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):和、差、倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用,半角公式、代數(shù)式變換與三角變換的區(qū)別與聯(lián)系.積化和差與和差化積公式及其推導(dǎo),三角恒等式與條件等式的證明. 2.教師畫龍點(diǎn)睛總結(jié):本節(jié)學(xué)習(xí)了公式的使用,換元

23、法,方程思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化,三角恒等變形的基本手段. 作業(yè) 課本習(xí)題3.2 B組2. 設(shè)計(jì)感想 1.本節(jié)主要學(xué)習(xí)了怎樣推導(dǎo)半角公式、積化和差、和差化積公式以及如何利用已有的公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.在解題過(guò)程中，應(yīng)注意對(duì)三角式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇合適公式，進(jìn)行公式變形.還要思考一題多解、一題多變，并體會(huì)其中的一些數(shù)學(xué)思想，如換元、方程思想，“1”的代換，逆用公式等. 2.在近幾年的高考中，對(duì)三角變換的考查仍以基本公式的應(yīng)用為主，突出對(duì)求值的考查.特別是對(duì)平方關(guān)系及和角公式的考查應(yīng)引起重視，其中遇到對(duì)符號(hào)的判斷是經(jīng)常出問(wèn)題的地方，同時(shí)要注意結(jié)合誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)符號(hào)

24、問(wèn)題也是常出錯(cuò)的地方.考試大綱對(duì)本部分的具體要求是：用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，體會(huì)向量方法的作用.從兩角差的余弦公式進(jìn)而推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換. 第2課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.(問(wèn)題導(dǎo)入)三角化簡(jiǎn)、求值與證明中，往往會(huì)出現(xiàn)較多相異的角，我們可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問(wèn)題獲得解決，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(+α)-(-α)，+α=-(-α)等，你能總結(jié)出三角變換的哪些策略？由此探

25、討展開. 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)前面已經(jīng)學(xué)過(guò)如何把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)，本節(jié)主要研究函數(shù)y=asinx+bcosx的周期、最值等性質(zhì).三角函數(shù)和代數(shù)、幾何知識(shí)聯(lián)系密切，它是研究其他各類知識(shí)的重要工具.高考題中與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，大都以恒等變形為研究手段.三角變換是運(yùn)算、化簡(jiǎn)、求值、證明過(guò)程中不可缺少的解題技巧，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡(jiǎn)的方法和技能. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 ①三角函數(shù)y=sinx，y=cosx的周期,最大值和最小值是多少？ ②函數(shù)y=asinx+bcosx的變形與應(yīng)用是怎樣的

26、？ ③三角變換在幾何問(wèn)題中有什么應(yīng)用？ 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)前面已學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行復(fù)習(xí)與回顧，我們知道正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象都具有周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì).而且正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的周期都是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期都是2π.三角函數(shù)的定義與變化時(shí)，會(huì)對(duì)其周期性產(chǎn)生一定的影響，例如，函數(shù)y=sinx的周期是2kπ（k∈Z且k≠0），且最小正周期是2π，函數(shù)y=sin2x的周期是kπ（k∈Z且k≠0），且最小正周期是π.正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的最大值是1，最小值是-1，所以這兩個(gè)函數(shù)的值域都是[-1，1]. 函數(shù)y=asinx+bcosx=（cosx）,

27、 ∵(φ, 則有asinx+bcosx=（sinxcosφ+cosxsinφ） =sin（x+φ）. 因此，我們有如下結(jié)論：asinx+bcosx=sin（x+φ），其中tanφ=.在以后的學(xué)習(xí)中可以用此結(jié)論進(jìn)行求幾何中的最值問(wèn)題或者角度問(wèn)題. 我們知道角的概念起源于幾何圖形，從而使得三角函數(shù)與平面幾何有著密切的內(nèi)在聯(lián)系.幾何中的角度、長(zhǎng)度、面積等幾何問(wèn)題，常需借助三角函數(shù)的變換來(lái)解決，通過(guò)三角變換來(lái)解決幾何中的有關(guān)問(wèn)題，是一種重要的數(shù)學(xué)方法. 討論結(jié)果：①y=sinx，y=cosx的周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1. ②—③

28、(略)見(jiàn)活動(dòng). 應(yīng)用示例 思路1 例1 如圖1,已知OPQ是半徑為1,圓心角為的扇形,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記∠COP=α,求當(dāng)角α取何值時(shí),矩形ABCD的面積最大?并求出這個(gè)最大面積. 活動(dòng)：要求當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積S最大，先找出S與α之間的函數(shù)關(guān)系，再求函數(shù)的最值. 找S與α之間的函數(shù)關(guān)系可以讓學(xué)生自己解決，得到： S=AB·BC=(cosαsinα)sinα=sinαcosα-sin2α. 求這種y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函數(shù)的最值，應(yīng)先降冪，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函數(shù)求最值. 教師

29、引導(dǎo)學(xué)生思考：要求當(dāng)角α取何值時(shí),矩形ABCD的面積S最大,可分兩步進(jìn)行: 圖1 (1)找出S與α之間的函數(shù)關(guān)系; (2)由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值. 解:在Rt△OBC中,BC=cosα,BC=sinα, 在Rt△OAD中,=tan60°=, 所以O(shè)A=DA=BC=sinα. 所以AB=OB-OA=cosαsinα. 設(shè)矩形ABCD的面積為S,則 S=AB·BC=(cosαsinα)sinα=sinαcosαsin2α =sin2α+cos2α-=(sin2α+cos2α)- =sin(2α+)-. 由于0<α<,所以當(dāng)2α+=,即α=時(shí),S最大=-=. 因

30、此,當(dāng)α=時(shí),矩形ABCD的面積最大,最大面積為. 點(diǎn)評(píng)：可以看到,通過(guò)三角變換,我們把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù),從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.這個(gè)過(guò)程中蘊(yùn)涵了化歸思想.此題可引申即可以去掉“記∠COP=α”,結(jié)論改成“求矩形ABCD的最大面積”，這時(shí)，對(duì)自變量可多一種選擇，如設(shè)AD=x,S=x(),盡管對(duì)所得函數(shù)還暫時(shí)無(wú)法求其最大值，但能促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)模型多樣性的理解，并能使學(xué)生感受到以角為自變量的優(yōu)點(diǎn). 變式訓(xùn)練 (xx年高考遼寧卷,19) 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)+sin(ωx-)-2cos2,x∈R(其中ω>0).

31、 (1)求函數(shù)f(x)的值域; (2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間. 解:(1)f(x)=sinωx+cosωx+sinωx-cosωx-(cosωx+1) =2(sinωx-cosωx)-1=2sin(ωx-)-1. 由-1≤sin(ωx-)≤1,得-3≤2sin(ωx-)-1≤1, 可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?3,1］. (2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì),可知y=f(x)的周期為π,又由ω>0,得=π,即得ω=2. 于是有f(x)=2sin(2x-)-1,再由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得

32、 kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ-,kπ+］(k∈Z). 點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)公式,三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力. 例1 求函數(shù)y=sin4x+23sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并寫出該函數(shù)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間. 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用公式解題，本題主要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等基礎(chǔ)知識(shí).先用二倍角公式把函數(shù)化成最簡(jiǎn)形式,然后再解決與此相關(guān)的問(wèn)題. 解:y=sin4x+2sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2

33、x-cos2x)+sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-). 故該函數(shù)的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上單調(diào)增區(qū)間是[0, ],[,π]. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等基礎(chǔ)知識(shí). 變式訓(xùn)練 已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x, (1)求f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,],求f(x)的最大、最小值. 解：f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+),

34、 所以，f(x)的最小正周期T==π. (2)因?yàn)閤∈[0,]，所以2x+∈[，]. 當(dāng)2x+=時(shí)，cos(2x+)取得最大值, 當(dāng)2x+=π時(shí)，cos(2x+)取得最小值-1. 所以，在[0,]上的最大值為1，最小值為-. 思路2 例1 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)M(,0)對(duì)稱,且在區(qū)間[0,]上是單調(diào)函數(shù),求φ和ω的值. 活動(dòng)：提醒學(xué)生在解此題時(shí),對(duì)f(x)是偶函數(shù)這一條件的運(yùn)用不在問(wèn)題上,而在對(duì)“f(x)的圖象關(guān)于M(,0)對(duì)稱”這一條件的使用上,多數(shù)考生都存在一定問(wèn)題.一般地:定義在R上的函數(shù)y=f(x)

35、對(duì)定義域內(nèi)任意x滿足條件:f(x+a)=2b-f(a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱,反之亦然.教師在這類問(wèn)題的教學(xué)時(shí)要給予充分的提示與總結(jié)，多做些這種類型的變式訓(xùn)練. 解：由f(x)是偶函數(shù),得f(-x)=f(x), 即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx對(duì)任意x都成立. 又ω>0,所以,得cosφ=0. 依題設(shè)0≤φ≤π,所以,解得φ=. 由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,得f(-x)=-f(+x). 取x=0,得f()=-f(),所以f()=0. ∵f()=sin(+)=cos,∴cos=0. 又ω>0,得=+

36、kπ,k=0,1,2,…. ∴ω=(2k+1),k=0,1,2,…. 當(dāng)k=0時(shí),ω=,f(x)=sin(x+)在[0,]上是減函數(shù); 當(dāng)k=1時(shí),ω=2,f(x)=sin(2x+)在[0,]上是減函數(shù); 當(dāng)k≥2時(shí),ω≥,f(x)=sin(ωx+)在[0,]上不是單調(diào)函數(shù). 所以,綜合得ω=或ω=2. 點(diǎn)評(píng)：本題是利用函數(shù)思想進(jìn)行解題，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行變換然后進(jìn)而解決此題. 變式訓(xùn)練 已知如圖2的Rt△ABC中,∠A=90°,a為斜邊,∠B、∠C的內(nèi)角平分線BD、CE的長(zhǎng)分別為m、n,且a2=2mn.問(wèn):是否能在區(qū)間(π,2π］中找到角θ,恰使

37、等式cosθ-sinθ=4(cos-cos)成立?若能,找出這樣的角θ;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:在Rt△BAD中,=cos,在Rt△BAC中,=sinC, ∴mcos=asinC. 圖2 同理,ncos=asinB. ∴mncoscos=a2sinBsinC. 而a2=2mn, ∴coscos=2sinBsinC=8sin·coscossin.∴sinsin=. 積化和差,得4(cos-cos)=-1, 若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(cos-cos)成立,則cos(θ+)=-1, ∴cos(θ+)=.而π<θ≤2π, ∴<θ+≤.∴這樣的θ不存在.

38、 點(diǎn)評(píng):對(duì)于不確定的開放式問(wèn)題,通常稱之為存在性問(wèn)題.處理這類問(wèn)題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論是肯定的,再進(jìn)行演繹推理,若推證出現(xiàn)矛盾,即可否定假設(shè);若推出合理結(jié)果,即假設(shè)成立.這個(gè)探索結(jié)論的過(guò)程可概括為假設(shè)——推證——定論. 例2 已知tan(α-β)=，tanβ=，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=， ∴tan2(α-β)==. 從而tan(2α-β)=tan［2(α-β)+β］==. 又∵tanα=tan［(α-β)+β］==<1. 且0<α<π，∴0<α<.∴0<2α<. 又tanβ=<0，且β∈(0,π)， ∴<β<

39、π，-π<-β<. ∴-π<2α-β<0.∴2α-β=. 點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為已知三角函數(shù)值求角的問(wèn)題，關(guān)鍵在于對(duì)角的范圍的討論，注意合理利用不等式的性質(zhì)，必要時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)值，縮小角的范圍，從而求出準(zhǔn)確角.另外，求角一般都通過(guò)三角函數(shù)值來(lái)實(shí)現(xiàn)，但求該角的哪一種函數(shù)值，往往有一定的規(guī)律，若α∈(0,π)，則求cosα;若α∈(,)，則求sinα等. 變式訓(xùn)練 若α,β為銳角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求證：α+2β=. 證明：已知兩個(gè)等式可化為3sin2α=cos2β，

40、 ① 3sinαcosα=sin2β， ② ①÷②，得=，即cosαcos2β-sinαsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0. ∵0<α<，0<β<，∴0<α+2β<. ∴α+2β=. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí)4. 解答:4.(1)y=sin4x.最小正周期為,遞增區(qū)間為[](k∈Z),最大值為; (2)y=cosx+2.最小正周期為2π,遞增區(qū)間為[π+2kπ,2π+2kπ](k∈Z),最大值為3; (3)y=2sin(4x+).最小正周期為,遞增區(qū)間為[](k∈

41、Z),最大值為2. 課堂小結(jié) 本節(jié)課主要研究了通過(guò)三角恒等變形,把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù),從而能順利考查函數(shù)的若干性質(zhì),達(dá)到解決問(wèn)題的目的,充分體現(xiàn)出生活的數(shù)學(xué)和“活”的數(shù)學(xué). 作業(yè) 課本復(fù)習(xí)參考題A組10、11、12. 設(shè)計(jì)感想 1.本節(jié)課主要是三角恒等變換的應(yīng)用，通過(guò)三角恒等變形,把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù),從而能順利考查函數(shù)的若干性質(zhì),達(dá)到解決問(wèn)題的目的.在教學(xué)中教師要強(qiáng)調(diào)：分析、研究三角函數(shù)的性質(zhì)，是三角函數(shù)的重要內(nèi)容.如果給出的三角函數(shù)的表達(dá)式較為復(fù)雜，我們必

42、須先通過(guò)三角恒等變換，將三角函數(shù)的解析式變形化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)化簡(jiǎn)后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì).因此，三角恒等變換是求解三角函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)基本步驟.但需注意的是，在三角恒等變換過(guò)程中，由于消項(xiàng)、約分、合并等原因，函數(shù)的定義域往往會(huì)發(fā)生一些變化，從而導(dǎo)致變形化簡(jiǎn)后的三角函數(shù)與原三角函數(shù)不等價(jià).因此，在對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行三角恒等變換后，還要確定原三角函數(shù)的定義域，并在這個(gè)定義域內(nèi)分析其性質(zhì). 2.在三角恒等變化中，首先是掌握利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，并由此導(dǎo)出角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和積化差、和差化積及半角公式，以此作為基本訓(xùn)練.其次要搞清楚各公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，自己畫出知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.第三就是在三角恒等變換中，要結(jié)合第一章的三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)三角知識(shí)有整體的把握. 3.今后高考對(duì)三角變換的考查估計(jì)仍以考查求值為主.和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式、同角關(guān)系的運(yùn)用仍然是重點(diǎn)考查的地方，應(yīng)該引起足夠重視，特別是對(duì)角的范圍的討論，從而確定符號(hào).另外，在三角形中的三角變換問(wèn)題，以及平面向量為模型的三角變換問(wèn)題將是高考的熱點(diǎn).對(duì)三角函數(shù)綜合應(yīng)用的考查，估計(jì)仍然以三角與數(shù)列、不等式、平面向量、解析幾何、三角與解三角形的實(shí)際應(yīng)用為主，題型主要是選擇題、填空題，也可能以解答題形式出現(xiàn)，難度不會(huì)太大.應(yīng)注意新情景立意下的三角綜合應(yīng)用也是考試的熱點(diǎn).