《（江蘇專用）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第七章 不等式 第44講 不等式的綜合應用學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第七章 不等式 第44講 不等式的綜合應用學案（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第44講　不等式的綜合應用 考試要求　掌握解決不等式綜合問題的方法(C級要求). 診 斷 自 測 1.(必修5P102習題7改編)函數(shù)y＝x＋(x≠0)的值域是________. 解析　當x>0時，y＝x＋≥2＝4； 當x<0時，y＝x＋＝－≤ －2＝－4. 答案　(－∞，－4]∪[4，＋∞) 2.(必修5P106復習題16改編)已知x>0，y>0且滿足＋＝1，則x＋y的最小值是________ . 解析　∵ x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)＝2＋8＋＋，x>0，y>0，∴>0，>0，x＋y≥10＋2＝18，當且僅當＝時等號成立，又＋＝1，∴當x＝6，y＝12時，x

2、＋y有最小值18. 答案　18 3.(必修5P98練習2(2)改編)若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________. 解析　由a，b∈R*，得a＋b≥2，則ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0?(－3)(＋1)≥0?≥3，∴ ab≥9. 答案　[9，＋∞) 4.設x∈R，f(x)＝，若不等式f(x)＋f(2x)≤k對于任意的x∈R恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是________. 解析　不等式化為k≥＋，因為∈(0，1]，所以k≥2. 答案　k≥2 5.(必修5P102習題9改編)某種產品按下列三種方案兩次提價.方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；

3、方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；方案丙：第一次提價%，第二次提價%.其中p>q>0，上述三種方案中提價最多的是________. 解析　設原來價格為A，方案甲：經兩次提價后價格為A＝A；方案乙：經兩次提價后價格為A；方案丙：經兩次提價后價格為A＝A.因為>，所以方案丙提價最多. 答案　方案丙 考點一　含參數(shù)的不等式問題 【例1】 若不等式組的解集中所含整數(shù)解只有－2，求k的取值范圍. 解　由x2－x－2>0有x＜－1或x＞2， 由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0， 因為－2是原不等式組的解，所以k＜2. 由(2x＋5)(x＋k)＜0有－＜

4、x＜－k. 因為原不等式組的整數(shù)解只有－2， 所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2， 故k的取值范圍是[－3，2). 【訓練1】 已知函數(shù)f(x)＝lg[(m2－3m＋2)x2＋(m－1)x＋1]的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍. 解　∵函數(shù)f(x)的定義域為R，∴對于任意x∈R，恒有(m2－3m＋2)x2＋(m－1)x＋1>0. ①若m2－3m＋2＝0，則m＝2或1. 當m＝1時，不等式即為1>0，符合題意； 當m＝2時，不等式即為x＋1>0，對任意x∈R不恒成立， ∴ m＝2不合題意，舍去. ②若m2－3m＋2≠0，由題意得 解得即m<1或m>. 綜上可得，m的取

5、值范圍是(－∞，1]∪. 考點二　基本不等式的靈活運用 【例2】 設x，y均為正實數(shù)，且＋＝1，則xy的最小值為________. 解析　由＋＝1，得xy＝8＋x＋y. ∵ x，y均為正實數(shù)，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16.故xy的最小值為16. 答案　16 【訓練2】 設實數(shù)n≤6，若不等式2xm＋(2－x)n－8≥0對任意x∈[－4，2]都成立，則的最小值為________. 解析　設f(x)＝2xm＋(2－x)n－8＝(2m－n)x＋(2n－8)為關于x的一次函數(shù). 由題設得即 作出不等式組所表示的可行

6、域如圖所示， 設＝t，則t表示可行域內的點與坐標原點所連線段的斜率，可得≤t≤3. g(t)＝＝－t3在≤t≤3上為減函數(shù)， 所以－≤g(t)≤－. 故的最小值為－. 答案?。? 考點三　多元最值問題 【例3】 (1)已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則的取值范圍為________. (2)設a，b，c均為正數(shù)，滿足a－2b＋3c＝0，則的最小值是________. 解析　(1)由已知及三角形三邊關系得 ∴ ∴ 兩式相加得0<2×<4， ∴的取值范圍為(0，2). (2)∵a－2b＋3c＝0，∴b＝， ∴＝≥＝3， 當且僅當a＝3c時取

7、“＝”. 答案　(1)(0，2)　(2)3 考點四　不等式與函數(shù)、三角、向量等知識的結合 【例4】 (一題多解)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B＝C且7a2＋b2＋c2＝4，則△ABC面積的最大值為________. 解析　 如圖，在△ABC中，設D為BC的中點，則AD⊥BC. 法一　由題知b＝c， 則7a2＋2b2＝4， 所以b2＝2－a2， 所以△ABC的面積S＝a＝a ＝·· ≤·＝，當且僅當a2＝2－a2， 即a2＝時取等號，所以△ABC的面積最大值為. 法二　設BD＝CD＝m，AD＝n， 則由已知得7(2m)2＋2(m2＋n2)

8、＝4， 所以15m2＋n2＝2≥2mn， 所以mn≤，當且僅當15m2＝n2時取等號， 此時m2＝，所以△ABC面積的最大值為. 答案　 一、必做題 1.已知常數(shù)a>0，函數(shù)f(x)＝x＋(x>1)的最小值為3，則a的值為________. 解析　f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，則a＝1. 答案　1 2.若實數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，則的最小值為________. 解析　由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，則的最小值為4.當且僅當x＝＋1，y＝－1時取等號. 答案　4 3.(2017·鎮(zhèn)江期末)函數(shù)y＝asi

9、n(ax＋θ)(a＞0，θ≠0)圖象上的一個最高點和其相鄰最低點的距離的最小值為________. 解析　函數(shù)的周期T為，則＝，最高點和其相鄰最低點的距離為2＝≥＝2. 答案　2 4.設正項等差數(shù)列{an}的前2 011項和等于2 011，則＋的最小值為________. 解析　由題意得S2 011＝＝2 011， ∴a1＋a2 011＝2.又a2＋a2 010＝a1＋a2 011＝2， ∴＋＝(a2＋a2 010) ＝＋1≥2. 答案　2 5.(2017·蘇北四市三模)若對于任意x＞0，≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析?。?， 因為x＞0，所以x＋

10、≥2(當且僅當x＝1時取等號)， 則≤＝， 即的最大值為，故a≥. 答案　 6.(一題多解)設P(x，y)為函數(shù)y＝x2－1(x>)圖象上一動點，記m＝＋，則當m取最小值時，點 P的坐標為________. 解析　法一　m＝＋＝6＋＋，因為x>，所以x2－3>0，x－1>0， 所以m≥6＋2＝8. 當且僅當＝，即x＝2時，m取得最小值，此時點P的坐標為(2，3). 法二　m＝＋＝6＋＋，因為x>，所以y>2， 所以y－2>0，x－1>0，所以m≥8. 當且僅當＝時，m取得最小值，下同法一. 答案　(2，3) 7.函數(shù)f(x)＝ax2－2(a－3)x＋a－2中，a為負整數(shù)

11、，則使函數(shù)至少有一個整數(shù)零點的所有a值的和為________. 解析　由ax2－2(a－3)x＋a－2＝0得a(x－1)2＝2－6x，顯然x＝1不成立，所以x≠1，所以a＝.因為a為負整數(shù)，所以x>且(x－1)2<6x－2，解得4－

12、x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為12，則＋的最小值為________. 解析　不等式組在直角坐標系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示.由z＝ax＋by得y＝－x＋，當z變化時，它表示經過可行域的一組平行直線，其斜率為－，在y軸上的截距為，由圖可知當直線經過點A(4，6)時，在y軸上的截距最大，從而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝≥4，當且僅當a＝，b＝1時等號成立.所以＋的最小值為4. 答案　4 10.已知1≤lg xy≤4，－1≤lg≤2，求lg的取值范圍. 解　由1≤lg xy≤4，－1≤lg ≤2， 得

13、1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2， 而lg ＝2lg x－lg y＝(lg x＋lg y)＋(lg x－lg y)， 所以－1≤lg ≤5， 即lg 的取值范圍是[－1，5]. 二、選做題 11.北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件. (1)據(jù)市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最高為多少元？ (2)為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定

14、立即對該商品進行技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元，公司擬投入(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量a至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價. 解　(1)設每件定價為t元， 依題意得(8－×0.2)t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最高為40元. (2)依題意知x>25， 且ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x， 等價于a≥＋x＋(x>25).

15、由于＋x≥2＝10， 當且僅當＝，即x＝30時等號成立，所以a≥10.2. 當該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元. 12.(2017·大同期末)已知關于x的不等式ax2＋(a－2)·x－2≥0，a∈R. (1)若不等式的解集為(－∞，－1]∪[2，＋∞)，求實數(shù)a的值； (2)若不等式ax2＋(a－2)x－2≥2x2－3對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (3)解關于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≥0. 解　(1)因為ax2＋(a－2)x－2≥0的解集為(－∞，－1]∪[2，＋∞)

16、， 所以方程ax2＋(a－2)x－2＝0的兩根為x＝－1或x＝2， 所以－1×2＝，解得a＝1. (2)若不等式ax2＋(a－2)x－2≥2x2－3對任意x∈R恒成立，即(a－2)x2＋(a－2)x＋1≥0對任意x∈R恒成立.因此，①當a＝2時，不等式變?yōu)?≥0，顯然成立；②當a≠2時，解得20時，－1<，所以(x＋1)(ax－2)≥0?x≤－1或x≥； 當a<－2時，－1<，所以(x＋1)(ax－2)≥0?－1≤x≤； 當a＝－2時，－1＝，所以(x＋1)(ax－2)≥0?(x＋1)2≤0?x＝－1； 當－2，所以(x＋1)(ax－2)≥0?≤x≤－1. 綜上可得，當a＝0時，原不等式的解集為{x|x≤－1}； 當a>0時，原不等式的解集為； 當－2