《（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.4.3 第2課時(shí) 圓、橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修4-4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.4.3 第2課時(shí) 圓、橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修4-4（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2課時(shí)　圓、橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用 1．能用曲線的參數(shù)方程去研究曲線的性質(zhì)． 2．會(huì)用參數(shù)法解決圓錐曲線中的最值、定值等問(wèn)題． [基礎(chǔ)·初探] 1．圓的參數(shù)方程 圓的參數(shù)方程的常見(jiàn)形式為(α為參數(shù))．其中，參數(shù)α的幾何意義是以圓心A(a，b)為頂點(diǎn)，且與x軸同向的射線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圓上一點(diǎn)P所在半徑成的角． 2．橢圓的參數(shù)方程 橢圓的參數(shù)方程的常見(jiàn)形式為(θ為參數(shù))． [思考·探究] 1．橢圓的參數(shù)方程與圓的參數(shù)方程有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 【提示】　橢圓＋＝1(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝r2普通方程都是平方和等于1的形式，故參數(shù)方程都運(yùn)用了三角代換法，只是

2、參數(shù)方程的常數(shù)不同． 2．橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)φ的幾何意義是什么？ 【提示】　從幾何變換的角度看，通過(guò)伸縮變換，令 橢圓＋＝1可以變成圓x′2＋y′2＝1. 利用圓x′2＋y′2＝1的參數(shù)方程 (φ是參數(shù))可以得到橢圓＋＝1的參數(shù)方程(φ是參數(shù))．因此，參數(shù)φ的幾何意義應(yīng)是橢圓上任意一點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓的半徑OA(或OB)的旋轉(zhuǎn)角(稱為離心角)，而不是OM的旋轉(zhuǎn)角，如圖． [質(zhì)疑·手記](méi) 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問(wèn)1：_____________________________________________________ 解惑：_____

3、________________________________________________ 疑問(wèn)2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問(wèn)3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問(wèn)4：____________

4、_________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 圓的參數(shù)方程的應(yīng)用 　在圓x2＋2x＋y2＝0上求一點(diǎn)，使它到直線2x＋3y－5＝0的距離最大． 【自主解答】　圓的方程x2＋2x＋y2＝0可化為(x＋1)2＋y2＝1，所以設(shè)圓的參數(shù)方程為 設(shè)P(－1＋cos θ，sin θ)，則點(diǎn)P到直線2x＋3y－5＝0的距離為 d＝ ＝ ＝(其中sin α＝， cos α＝)． 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝， 即θ＝－

5、α?xí)r，d取到最大值，此時(shí)x＝－1＋cos θ＝－1－，y＝sin θ＝－， 即點(diǎn)P(－1－，－)即為所求． [再練一題] 1．已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值． 【解】　圓x2＋y2＝1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． ∴x2＋2xy＋3y2＝cos2α＋2cos αsin α＋3sin2α ＝＋sin 2α＋3× ＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋sin(2α－)． 則當(dāng)α＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，x2＋2xy＋3y2取最大值為2＋， 當(dāng)α＝kπ－(k∈Z)時(shí)，x2＋2xy＋3y2取最小值為2－. 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 　已知實(shí)

6、數(shù)x，y滿足3x2＋2y2＝6x，求： (1)x＋y的最大值； (2)x2＋y2的取值范圍． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990035】 【思路探究】　本題表面上看是代數(shù)題，但由于方程3x2＋2y2＝6x可以表示一個(gè)橢圓，故可以用橢圓的參數(shù)方程來(lái)解． 【自主解答】　方程3x2＋2y2＝6x，即(x－1)2＋＝1.設(shè) (1)x＋y＝1＋cos θ＋ sin θ ＝1＋ sin(θ＋α)(其中tan α＝，θ∈[0,2π))． 所以x＋y的最大值為1＋. (2)x2＋y2＝(1＋cos θ)2＋(sin θ)2 ＝1＋2cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝－cos2θ＋2cos θ＝－(co

7、s θ－2)2＋， 因?yàn)閏os θ∈[－1,1]，所以0≤x2＋y2≤4. 利用橢圓的參數(shù)方程(φ是參數(shù))，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題處理． [再練一題] 2．在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a>b>0)．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsin＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______． 【解析】　由已知可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)． 由ρsin＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直線的普通

8、方程為x＋y＝m.又圓的普通方程為x2＋y2＝b2，不妨設(shè)直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)(c,0)，則得c＝m.又因?yàn)橹本€l與圓O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)．整理，得＝，故橢圓C的離心率為e＝. 【答案】　 [真題鏈接賞析] 　(教材第47頁(yè)例1)如圖4-4-5，已知M是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上在第一象限的點(diǎn)，A(a,0)和B(0，b)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求四邊形MAOB的面積的最大值． 圖4-4-5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)． 【

9、命題意圖】　知識(shí)：考查直線與橢圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化以及直線與橢圓的位置關(guān)系等．能力：通過(guò)參數(shù)方程與普通方程的互化及求線段AB長(zhǎng)的過(guò)程，考查了運(yùn)算求解能力． 【解】　橢圓C的普通方程為x2＋＝1. 將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0， 解得t1＝0，t2＝－.所以AB＝|t1－t2|＝. 1．已知圓的方程為x2＋y2＝4x，則它的參數(shù)方程是________． 【解析】　x2＋y2＝4x可化為(x－2)2＋y2＝4， ∴圓心為(2,0)，半徑r＝2. ∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π)． 【答案】　(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π)

10、 2．橢圓(φ為參數(shù))的焦距是________． 【解析】　根據(jù)參數(shù)方程，可知a＝3，b＝2. ∴c＝ ＝＝， ∴焦距為2c＝2. 【答案】　2 3．橢圓＋y2＝1上的點(diǎn)到直線x－y＋6＝0的距離的最小值為_(kāi)_______． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990036】 【解析】　設(shè)P(cos θ，sin θ)是橢圓上的點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x－y＋6＝0的距離 d＝＝， 當(dāng)cos(θ＋)＝－1時(shí)，d取到最小值，最小值為2. 【答案】　2 4．點(diǎn)P(x，y)在圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上運(yùn)動(dòng)，則3x＋4y的最大值為_(kāi)_______，的最小值為_(kāi)_______． 【解析】　設(shè)x＝1＋

11、cos θ，y＝1＋sin θ， 所以3x＋4y＝7＋3cos θ＋4sin θ＝7＋5sin(θ＋α)(其中sin α＝，cos α＝)， 所以當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，3x＋4y取到最大值12. 設(shè)t＝＝，則sin θ－tcos θ＝t－1， 從而sin(θ－α)＝t－1(其中sin α＝， cos α＝)，＝sin(θ－α)， 所以≤1，解得t≥0，即的最小值為0. 【答案】　12　0 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 6