《（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 理（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　等差數(shù)列與等比數(shù)列 高考定位　高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)數(shù)列的概念是A級要求，了解數(shù)列、數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和等概念，一般不會單獨(dú)考查；(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩種重要且特殊的數(shù)列，要求都是C級. 真 題 感 悟 1.(2016·江蘇卷)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________. 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，由題意可得： 解得則a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20. 答案　20 2.(2017·江蘇卷)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝，S6＝，則a8＝_____

2、___. 解析　設(shè)數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠1)，則 解得所以a8＝a1q7＝×27＝32. 答案　32 3.(2013·江蘇卷)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________. 解析　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由已知條件得q＋q2＝3，即q2＋q－6＝0，解得q＝2，或q＝－3(舍去)，an＝a5qn－5＝×2n－5＝2n－6，a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)，a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝2，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，可知 2n－5－2－5>2

3、，由2n－5－2－5>2，可求得n的最大值為12，而當(dāng)n＝13時(shí)，28－2－5<213，所以n的最大值為12. 答案　12 4.(2017·江蘇卷)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”. (1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”； (2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列. 證明　(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， 則an＝a1＋(n－1)d，從而，當(dāng)n≥4時(shí)， an

4、－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3， 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”. (2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此， 當(dāng)n≥3時(shí)，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，① 當(dāng)n≥4時(shí)，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an).④ 將③④代入②，得

5、an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4， 所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′. 在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′， 在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5＝4a3， 所以a1＝a3－2d′，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 考 點(diǎn) 整 合 1.等差數(shù)列 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)求和公式：Sn＝＝na1＋d. (3)性質(zhì)：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；特別地，若m＋n＝2k，則am＋an＝2ak； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3

6、m－S2m，…成等差數(shù)列. 2.等比數(shù)列 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1(q≠0). (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝. (3)性質(zhì)：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；特別地，若m＋n＝2k，則aman＝a； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比數(shù)列. 熱點(diǎn)一　等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 【例1】 (1)(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2＋a4＝2，S2＋S4＝1，則a10＝________. (2)(2017·北京卷)若

7、等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________. (3)(2017·南京師大附中模擬)在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和為________. 解析　(1)設(shè)公差為d，則解得所以a10＝a1＋9d＝8. (2){an}為等差數(shù)列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2. {bn}為等比數(shù)列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3， ∴q＝－2，∴b2＝b1·q＝2.則＝＝1. (3)由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an

8、＝， 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－2，公差為的等差數(shù)列， 所以S10＝10×(－2)＋×＝. 答案　(1)8　(2)1　(3) 探究提高　(1)等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算是利用通項(xiàng)公式、求和公式求解首項(xiàng)a1和公差d(公比q)，在列方程組求解時(shí)，要注意整體計(jì)算，以減少計(jì)算量. (2)在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法. 【訓(xùn)練1】 (1)(2014·江蘇卷)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________. (2)(2018·全國Ⅰ卷改編)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若3S3＝S2＋

9、S4，a1＝2，則a5＝________. (3)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為________. 解析　(1)因?yàn)閍8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4. (2)法一　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. 法二　設(shè)等差數(shù)列{a

10、n}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. (3)設(shè){an}的公差為d，由得解得d＝4. 答案　(1)4　(2)－10　(3)4 熱點(diǎn)二　等差、等比數(shù)列的判定與證明 【例2】 (2017·蘇州調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝，且Sn＝Sn－1＋an－1＋(n∈N*，且n≥2)，數(shù)列{bn}滿足：b1＝－，且3bn－bn－1＝n(n≥2，且n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證：數(shù)列{bn－an}為等比數(shù)列. (

11、1)解　由Sn＝Sn－1＋an－1＋，得Sn－Sn－1＝an－1＋，即an－an－1＝(n∈N*，n≥2)， 則數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，又a1＝，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－. (2)證明　∵3bn－bn－1＝n(n≥2)，∴bn＝bn－1＋n(n≥2)， ∴bn－an＝bn－1＋n－n＋＝bn－1－n＋＝(n≥2). bn－1－an－1＝bn－1－(n－1)＋＝bn－1－n＋(n≥2)， ∴bn－an＝(bn－1－an－1)(n≥2)，∵b1－a1＝－30≠0，∴＝(n≥2). ∴數(shù)列{bn－an}是以－30為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. 探究提高　判斷和證明數(shù)列是等

12、差(比)數(shù)列的兩種方法 (1)定義法：對于n≥1的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an＋1－an為同一常數(shù). (2)中項(xiàng)公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數(shù)列；②若a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等比數(shù)列. 【訓(xùn)練2】 (2018·全國Ⅰ卷)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項(xiàng)公式. 解　(1)由條件可得an＋1＝an.將n＝1代入得，a2＝4a1， 而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，

13、a3＝3a2， 所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.理由如下：由條件可得＝， 即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列. (3)由(2)可得＝1×2n－1，所以an＝n·2n－1，n∈N*. 熱點(diǎn)三　等差與等比數(shù)列的綜合問題 【例3】 已知{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{(－1)nb}的前2n項(xiàng)和. 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公

14、比為q.由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1. 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1. 所以an＝2n－1，n∈N*. (2)由題意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－， 即{bn}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列{(－1)nb}的前n項(xiàng)和為Tn，則T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝n＝2n2. 探究提高　1.等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便. 2.數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作

15、關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題. 【訓(xùn)練3】 已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn； (2)將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若存在m∈N*，使對任意n∈N*，總有Sn＜Tm＋λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍. 解　(1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，∴an＝4＋(n－1)×(－1)＝5－n， 從而Sn＝＝. (2)由題意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝，

16、∴Tm＝＝8，m∈N*，∵隨m增大而遞減， ∴{Tm}為遞增數(shù)列，得4≤Tm＜8. 又Sn＝＝－(n2－9n)＝－，故(Sn)max＝S4＝S5＝10， 若存在m∈N*，使對任意n∈N*總有Sn＜Tm＋λ， 則10＜8＋λ，得λ＞2，即實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(2，＋∞). 1.在等差(比)數(shù)列中，a1，d(q)，n，an，Sn五個(gè)量中知道其中任意三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè).解這類問題時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a1和公差d(公比q)這兩個(gè)基本量的有關(guān)運(yùn)算. 2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意

17、性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形. 一、填空題 1.(2018·連云港期末)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a3a11＝16，則log2a2＋log2a12＝________. 解析　因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，a3a11＝16，所以a2a12＝a3a11＝16，所以log2a2＋log2a12＝log2(a2a12)＝log216＝4. 答案　4 2.(2018·江蘇沖刺卷)設(shè)公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為________. 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q≠1，由a1a2a3＝a＝－，得a2＝－.由

18、a2，a4，a3成等差數(shù)列，得a2＋a3＝2a4，即a2＋a2q＝2a2q2，解得q＝－，故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1－＋－＝. 答案　 3.若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大. 解析　根據(jù)題意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴當(dāng)n＝8時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大. 答案　8 4.(2017·無錫模擬)已知各項(xiàng)都為正的等差數(shù)列{an}中，若a2＋a3＋a4＝15，a1＋2，a3＋4，a6＋16成等比數(shù)列，則a10＝________. 解析　設(shè)公差

19、為d(d>0)，因?yàn)閍2＋a3＋a4＝3a3＝15，所以a3＝a1＋2d＝5，所以a1＝5－2d.又(a1＋2)(a6＋16)＝(a3＋4)2，所以(a1＋2)(a1＋5d＋16)＝(7－2d)(3d＋21)＝81，整理得2d2＋7d－22＝0，解得d＝2或d＝－(舍).所以a1＝1，故a10＝1＋9×2＝19. 答案　19 5.(2018·南通一調(diào))設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6的值為________. 解析　法一(通項(xiàng)公式法)　設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q.顯然q≠1，由題意得，解得或所以S6＝＝＝63或S6＝＝＝63. 法二(數(shù)列的

20、性質(zhì))　由等比數(shù)列的性質(zhì)得，q2＝＝4，所以q＝±2.由S2＝3解得或所以S6＝＝＝63或S6＝＝＝63. 法三(數(shù)列的性質(zhì))　由S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列可得(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，所以S6＝63. 答案　63 6.(2017·全國Ⅱ卷改編)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈________盞. 解析　設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則依題意S7＝381，公比q＝2

21、.∴＝381，解得a1＝3. 答案　3 7.(2018·無錫期末)已知等比數(shù)列{an}滿足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差數(shù)列，則a1·a2·…·an的最大值為________. 解析　法一　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a5＝a3a4＝2a3，由于a3≠0，可得a4＝2.因?yàn)閍4，，2a7成等差數(shù)列，所以2×＝a4＋2a7，可得a7＝，由a7＝a4q3可得q＝，由a4＝a1q3可得a1＝16，從而an＝a1qn－1＝16×(也可直接由an＝a4qn－4得出)，令bn＝a1·a2·…·an，則＝an＋1＝16×，令16×≥1，可得n≤4，故b1＜b2＜…

22、＜b4＝b5＞b6＞…＞bn，所以當(dāng)n＝4或5時(shí)，a1·a2·…·an的值最大，為1 024. 法二　同法一得an＝16×，令an≥1可得n≤5，故當(dāng)1≤n≤5時(shí)，an≥1，當(dāng)n≥6時(shí)，0＜an＜1，所以當(dāng)n＝4或5時(shí)，a1·a2·…·an的值最大，為1 024. 法三　同法一得an＝16×＝25－n，令Tn＝a1·a2·…·an＝24×23×22×…×25－n＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝2＝2.因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)且僅當(dāng)n＝4或5時(shí)，取得最大值10，從而Tn取得最大值T10＝210＝1 024. 答案　1 024 8.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25

23、，則nSn的最小值為________. 解析　設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差分別為a1，d，則 則nSn＝n＝－n2.設(shè)函數(shù)f(x)＝－x2，則f′(x)＝x2－x， 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)min＝f， 但6＜＜7，且f(6)＝－48，f(7)＝－49，因?yàn)椋?8＞－49，所以最小值為－49. 答案?。?9 二、解答題 9.(2018·全國Ⅱ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值. 解　(1)設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－1

24、5.由a1＝－7得d＝2. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以當(dāng)n＝4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為－16. 10.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1， (1)證明{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明＋＋…＋<. 證明　(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3.又a1＋＝， 所以{an＋}是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列.an＋＝， 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知＝.因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n－1＝3×3n－1－1≥2×3n－1， 所以≤.于是＋＋…＋≤

25、1＋＋…＋＝<. 所以＋＋…＋<. 11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且對任意正整數(shù)n，點(diǎn)(an＋1，Sn)在直線2x＋y－2＝0上. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由. 解　(1)由題意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.① 當(dāng)n≥2時(shí)，2an＋Sn－1－2＝0.② ①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，所以＝(n≥2). 因?yàn)閍1＝1，2a2＋a1＝2，所以a2＝. 所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知，Sn＝＝2－.若為等差數(shù)列， 則S1＋λ＋，S2＋2λ＋，S3＋3λ＋成等差數(shù)列， 則2＝S1＋＋S3＋，即2＝1＋＋＋， 解得λ＝2.又λ＝2時(shí)，Sn＋2n＋＝2n＋2， 顯然{2n＋2}成等差數(shù)列，故存在實(shí)數(shù)λ＝2，使得數(shù)列{Sn＋λn＋}成等差數(shù)列. 10