(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積學(xué)案 文 新人教A版
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1、 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 最新考綱 了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式. 知 識(shí) 梳 理 1.多面體的表(側(cè))面積 多面體的各個(gè)面都是平面,則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和,表面積是側(cè)面積與底面面積之和. 2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面展開(kāi)圖 側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)=2πrl S圓錐側(cè)=πrl S圓臺(tái)側(cè)=π(r1+r2)l 3.空間幾何體的表面積與體積公式 名稱 幾何體 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積=S側(cè)+2S底 V=S底h 錐體(棱錐和圓錐)
2、 S表面積=S側(cè)+S底 V=S底h 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積=S側(cè)+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2 V=πR3 [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.正方體與球的切、接常用結(jié)論 正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R, ①若球?yàn)檎襟w的外接球,則2R=a; ②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球,則2R=a; ③若球與正方體的各棱相切,則2R=a. 2.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=. 3.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)錐體的體積等于底面面積與高之
3、積.( ) (2)球的體積之比等于半徑比的平方.( ) (3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.( ) (4)已知球O的半徑為R,其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a,則R=a.( ) 解析 (1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一,故不正確. (2)球的體積之比等于半徑比的立方,故不正確. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(必修2P27練習(xí)1改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,則底面圓的半徑為( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm 解析 由題意,得S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r
4、=3πr2=12π,解得r2=4,所以r=2(cm). 答案 B 3.(2016·全國(guó)Ⅱ卷)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為( ) A.12π B.π C.8π D.4π 解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則a3=8,解得a=2.設(shè)球的半徑為R,則2R=a,即R=.所以球的表面積S=4πR2=12π. 答案 A 4.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為( ) A.π B. C. D. 解析 如圖畫出圓柱的軸截面ABCD,O為球心.球半徑R=OA=1,球心到底面圓的距離為
5、OM=. ∴底面圓半徑r==,故圓柱體積V=π·r2·h=π·×1=. 答案 B 5.(2018·天津河西區(qū)質(zhì)檢)已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示(單位:m),則該四棱錐的體積為_(kāi)_______m3. 解析 根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長(zhǎng)為2 m,高為1 m的平行四邊形,四棱錐的高為3 m.故該四棱錐的體積V=×2×1×3=2 (m3). 答案 2 考點(diǎn)一 空間幾何體的表面積 【例1】 (1)(2016·全國(guó)Ⅱ卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( ) A.20π B.24π C.28π D.
6、32π (2)(2017·全國(guó)Ⅰ卷)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為( ) A.10 B.12 C.14 D.16 解析 (1)幾何體是圓錐與圓柱的組合體,設(shè)圓柱底面圓半徑為r,周長(zhǎng)為c,圓錐母線長(zhǎng)為l,圓柱高為h. 由三視圖知r=2,c=2πr=4π,h=4. 所以l==4. 故該幾何體的表面積S表= πr2+ch+cl=4π+16π+8π=28π. (2)由三視圖可畫出直觀圖,該直觀圖各面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面,S梯=×
7、(2+4)×2=6,S全梯=6×2=12. 答案 (1)C (2)B 規(guī)律方法 1.由幾何體的三視圖求其表面積:(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小.(2)還原幾何體的直觀圖,套用相應(yīng)的面積公式. 2.(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理. (2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用. 【訓(xùn)練1】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于( ) A.8+2 B.11+2 C.14+2 D.15 (2)(2016·全國(guó)Ⅰ卷)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互
8、相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是( ) A.17π B.18π C.20π D.28π 解析 (1)由三視圖知,該幾何體是一個(gè)直四棱柱,上、下底面為直角梯形,如圖所示. 直角梯形斜腰長(zhǎng)為=,所以底面周長(zhǎng)為4+,側(cè)面積為2×(4+)=8+2,兩底面的面積和為2××1×(1+2)=3.所以該幾何體的表面積為8+2+3=11+2. (2)由題知,該幾何體的直觀圖如圖所示,它是一個(gè)球(被過(guò)球心O且互相垂直的三個(gè)平面)切掉球所剩的組合體, 其表面積是球面面積的和三個(gè)圓面積. 設(shè)球的半徑為R,則×πR3=,R=2. 故幾何體的表面積S=×4πR2+πR2
9、=17π. 答案 (1)B (2)A 考點(diǎn)二 空間幾何體的體積 【例2】 (1)如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,D為BC中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為( ) A.3 B. C.1 D. (2)(2016·山東卷)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為( ) A.+π B.+π C.+π D.1+π 解析 (1)如題圖,在正△ABC中,D為BC中點(diǎn),則有AD=AB=, 又∵平面BB1C1C⊥平面ABC,AD⊥BC,AD?平面ABC,由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面BB1C1C,
10、即AD為三棱錐A-B1DC1的底面B1DC1上的高, ∴VA-B1DC1=S△B1DC1·AD=××2××=1. (2)由三視圖知該四棱錐是底面邊長(zhǎng)為1,高為1的正四棱錐,結(jié)合三視圖可得半球半徑為,從而該幾何體的體積為×12×1+×π×=+π. 答案 (1)C (2)C 規(guī)律方法 1.求三棱錐的體積:等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)換原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上. 2.求不規(guī)則幾何體的體積:常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解. 3.若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解. 【訓(xùn)練2】 (1)某幾何體的
11、三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是3,則正視圖中的x的值是( ) A.2 B. C. D.3 (2)(2018·鄭州質(zhì)檢)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是________. 解析 (1)由三視圖知,該幾何體是四棱錐,底面是直角梯形,且S底=(1+2)×2=3.∴V=x·3=3,解得x=3. (2)由題可知,∵三棱錐每個(gè)面都是腰為2的等腰三角形,由正視圖可得如右俯視圖,且三棱錐高為h=1, 則體積V=Sh=××1=. 答案 (1)D (2) 考點(diǎn)三 多面體與球的切、接問(wèn)題(典例遷移) 【例3】 (經(jīng)典母
12、題)(2016·全國(guó)Ⅲ卷)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( ) A.4π B. C.6π D. 解析 由AB⊥BC,AB=6,BC=8,得AC=10. 要使球的體積V最大,則球與直三棱柱的部分面相切,若球與三個(gè)側(cè)面相切,設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r. 則×6×8=×(6+8+10)·r,所以r=2. 2r=4>3,不合題意. 球與三棱柱的上、下底面相切時(shí),球的半徑R最大. 由2R=3,即R=. 故球的最大體積V=πR3=π. 答案 B 【遷移探究 】 若本例中的條件變?yōu)?/p>
13、“直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,求球O的表面積. 解 將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC-A1B1E1C1, 則球O是長(zhǎng)方體ABEC-A1B1E1C1的外接球. ∴體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑. 因此2R==13. 故S球=4πR2=169π. 規(guī)律方法 1.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題,一種是內(nèi)切,一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題,球與多面體的組合,通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心,或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖,把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題. 2.若球面上四點(diǎn)P,A,B,C中PA,PB,PC兩兩垂直或
14、三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題. 【訓(xùn)練3】 (1)(2017·全國(guó)Ⅰ卷)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9.則球O的表面積為_(kāi)_______. (2)(2018·佛山一中月考)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 解析 (1)如圖,連接OA,OB,因?yàn)镾A=AC,SB=BC,所以O(shè)A⊥S
15、C,OB⊥SC. 因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面SBC,平面SAC∩平面SBC=SC,且OA?平面SAC,所以O(shè)A⊥平面SBC. 設(shè)球O的半徑為r,則OA=OB=r,SC=2r, 所以VA-SBC=×S△SBC×OA=××2r×r×r=r3, 所以r3=9?r=3,所以球O的表面積為4πr2=36π. (2)因?yàn)椤鰽OB的面積為定值,所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí),三棱錐O-ABC的體積取得最大值.由×R2×R=36,得R=6.從而球O的表面積S=4πR2=144π. 答案 (1)36π (2)C 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、選擇題 1.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)《九章算
16、術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析 設(shè)米堆的底面半徑為r尺,則r=8,所以r=. 所以米堆的體積為V=×π·r2·5=··5≈(立方尺). 故堆放的米約有÷1.62≈22(斛). 答案 B 2.(2018·北京燕博園研究中心)
17、某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( ) A.π B.2π C.3π D.8π 解析 由三視圖知,該幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐. ∴該幾何體的體積V=3×π×12-·π×12×3=2π. 答案 B 3.(2018·衡陽(yáng)聯(lián)考)如圖所示,某空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖相同,則此幾何體的表面積為( ) A.6π B.π+ C.4π D.2π+ 解析 此幾何體為一個(gè)組合體,上為一個(gè)圓錐,下為一個(gè)半球組合而成.表面積為S=+×2×2π=4π. 答案 C 4.(2016·全國(guó)Ⅲ卷)如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某
18、多面體的三視圖,則該多面體的表面積為( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 解析 由幾何體的三視圖可知,該幾何體是底面為正方形的斜平行六面體. 由題意可知該幾何體底面邊長(zhǎng)為3,高為6,所以側(cè)棱長(zhǎng)為=3.故該幾何體的表面積S=32×2+(3×6)×2+(3×3)×2=54+18. 答案 B 5.(2018·商丘模擬)一塊硬質(zhì)材料的三視圖如圖所示,正視圖和俯視圖都是邊長(zhǎng)為10 cm的正方形,將該材料切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑最接近( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 解析 由題意,知
19、該硬質(zhì)材料為三棱柱(底面為等腰直角三角形),所以最大球的半徑等于側(cè)視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑,設(shè)為r cm,則10-r+10-r=10. ∴r=10-5≈3. 答案 A 二、填空題 6.(2017·全國(guó)Ⅱ卷)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為_(kāi)_______. 解析 ∵長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球O的球面上, ∴長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度就是其外接球的直徑. 設(shè)球的半徑為R,則2R==. ∴球O的表面積為S=4πR2=4π×=14π. 答案 14π 7.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作
20、成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為_(kāi)_______. 解析 設(shè)新的底面半徑為r,由題意得πr2·4+πr2·8=π×52×4+π×22×8,解得r=. 答案 8.(2017·江蘇卷)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是________. 解析 設(shè)球半徑為R,則圓柱底面圓半徑為R,母線長(zhǎng)為2R. 又V1=πR2·2R=2πR3,V2=πR3, 所以==. 答案 三、解答題 9.(2016·江蘇卷改編)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上
21、部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍,若AB=6 m,PO1=2 m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少? 解 由PO1=2 m,知O1O=4PO1=8 m.因?yàn)锳1B1=AB=6 m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=·A1B·PO1=×62×2=24(m3); 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積 V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3), 所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3). 故倉(cāng)庫(kù)的容積是312 m3. 10.(2015·全國(guó)Ⅱ卷
22、)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過(guò)點(diǎn)E,F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由); (2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值. 解 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示. (2)如圖,作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH==6,AH=10,HB=6. 故S四邊形A1EHA=×(4+10)×8=56
23、, S四邊形EB1BH=×(12+6)×8=72. 因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱, 所以其體積的比值為. 能力提升題組 (建議用時(shí):20分鐘) 11.(2018·衡水中學(xué)調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的表面積為( ) A.π B.π C.4π D. 解析 由三視圖知該幾何體為四棱錐,側(cè)面PBC為側(cè)視圖,PE⊥平面ABC,E,F(xiàn)分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn),底面ABCD是邊長(zhǎng)是2的正方形,如圖所示. 設(shè)外接球的球心到平面ABCD的距離為h, 則h2+2=12+(2-h(huán))2,∴h=,R2=. ∴幾何體的外接球的表面積S=4πR2=
24、π. 答案 B 12.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=________. 解析 該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體,球的半徑為r,圓柱的底面半徑為r,高為2r,如圖. 則表面積S=×4πr2+πr2+(2r)2+πr·2r=(5π+4)r2, 又S=16+20π,所以(5π+4)r2=16+20π,解得r=2. 答案 2 13.(2018·沈陽(yáng)質(zhì)檢)在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且點(diǎn)O為AC中點(diǎn). (1)證明:A1O⊥平面ABC; (2)求三棱錐C1-ABC的體積. (1)證明 因?yàn)锳A1=A1C,且O為AC的中點(diǎn), 所以A1O⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC, 且A1O?平面AA1C1C,∴A1O⊥平面ABC. (2)解 ∵A1C1∥AC,A1C1?平面ABC,AC?平面ABC, ∴A1C1∥平面ABC,即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離. 由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O==, ∴VC1-ABC=VA1-ABC=S△ABC·A1O=××2××=1. 16
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