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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題31 橢圓及其性質(zhì) 理
一、考綱要求:
1.了解橢圓的實(shí)際背景,了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.
2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).
3.理解數(shù)形結(jié)合思想.
4.了解橢圓的簡單應(yīng)用.
二、概念掌握和解題上注意點(diǎn):
1.橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面:一是判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓;二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等.
2.橢圓的定義式必須滿足2a>|F1F2|.
3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法有定義法與待定系數(shù)法,但基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先
2、定位,再定量,即首先確定焦點(diǎn)所在的位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組,若焦點(diǎn)位置不確定,可把橢圓方程設(shè)為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式.
4.求橢圓離心率的方法
①直接求出a,c的值,利用離心率公式直接求解.
②列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.
5.利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路
求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時(shí),要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí),要理清它們之間的關(guān)系.建立關(guān)于a、b、c的方程或不等式.
6.直線與橢圓的位置關(guān)系的解題策略
(
3、1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決,往往會(huì)更簡單.
(2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),
則|AB|==(k為直線斜率).
三、高考考題題例分析
例1.(2018課標(biāo)卷I)設(shè)橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).
(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB.
【答案】(1)y=﹣x+,y=x﹣,
(
4、2)見解析
證明:(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí),∠OMA=∠OMB=0°,
當(dāng)l與x軸垂直時(shí),OM為AB的垂直平分線,∴∠OMA=∠OMB,
當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x﹣1),k≠0,
A(x1,y1),B(x2,y2),則x1<,x2<,
直線MA,MB的斜率之和為kMA,kMB之和為kMA+kMB=+,
由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得kMA+kMB=,
將y=k(x﹣1)代入+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=(4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4
5、k)=0
從而kMA+kMB=0,
故MA,MB的傾斜角互補(bǔ),
∴∠OMA=∠OMB,
綜上∠OMA=∠OMB.
例7.(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)A,B是橢圓C:+=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)
【答案】A
【解析】法一:設(shè)焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)M(x,y).
過點(diǎn)M作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)N,
則N(x,0).
故tan∠AMB=tan(∠AMN+∠BMN)
==.
又tan∠AMB=tan 120°=
6、-,
且由+=1可得x2=3-,
則==-.
解得|y|=.
又0<|y|≤,即0<≤,結(jié)合0<m<3解得0<m≤1.
對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的情況,同理亦可得m≥9.
則m的取值范圍是(0,1]∪[9,+∞).
故選A.
例8.(2017課標(biāo)卷I)已知橢圓C:(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)見解析
試題解析:(1)由于,兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題
7、設(shè)知C經(jīng)過,兩點(diǎn).
又由知,C不經(jīng)過點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在C上.
因此,解得.
故C的方程為.
由題設(shè)可知.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.
而
.
由題設(shè),故.
即.
解得.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,欲使l:,即,
所以l過定點(diǎn)(2,)
例9.(2017·課標(biāo)卷Ⅲ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
例10.(2017課標(biāo)卷II)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:上,過M作
8、x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足。
(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上,且。證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。
【答案】(1) 。
(2)證明略。
試題解析:(1)設(shè),設(shè),。
由得。
因?yàn)樵贑上,所以。
因此點(diǎn)P的軌跡方程為。
(2)由題意知。設(shè),則
,
。
由得,又由(1)知,故
。
所以,即。又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F。
橢圓及其性質(zhì)練習(xí)題
一、選擇題
1.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于,則C的方程是( )
A.+=1 B.+=1
9、
C.+=1 D.+=1
【答案】D
【解析】橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,c=1.
又離心率為=,
故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,
故橢圓的方程為+=1.
2.橢圓C:+=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),則△F1AB的周長為 ( )
A.12 B.16
C.20 D.24
【答案】C
3.直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為
10、 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如圖,|OB|為橢圓中心到l的距離,則|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·,所以e==.
19.已知橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上,若橢圓右焦點(diǎn)到橢圓E的中心的距離是.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+1(k≠0)與該橢圓交于不同的兩點(diǎn)B,C,若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求△BOC的面積.
【答案】(1) +y2=1.
(2) .
(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y
11、2),將直線方程與橢圓聯(lián)立整理得(3k2+1)x2+6kx=0,
由原點(diǎn)O到直線l的距離為=,得k2=,
又|BC|=
==2,
∴S△BOC=×|BC|×=,
∴△BOC的面積為.
20.已知曲線C的方程是mx2+ny2=1(m>0,n>0),且曲線過A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)是曲線C上兩點(diǎn),向量p=(x1,y1),q=(x2,y2),且p·q=0,若直線MN過點(diǎn),求直線MN的斜率.
【答案】(1) y2+4x2=1.
(2) ±.
21.已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O,離心率等于
12、,以橢圓E的長軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長為4.直線l:y=kx+m與y軸交于點(diǎn)P,與橢圓E相交于A,B兩個(gè)點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若=3,求m2的取值范圍.
【答案】(1) x2+=1
(2) (1,4).
(2)根據(jù)已知得P(0,m),設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由得,
(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.
由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,即k2-m2+4>0,
且x1+x2=,x1x2=.
由=3得x1=-3x2.
∴3(x1+x2)2+4x1x2=12x-12x=0.
∴+=0,即m2k2+m2
13、-k2-4=0.
當(dāng)m2=1時(shí),m2k2+m2-k2-4=0不成立,
∴k2=.
∵k2-m2+4>0,∴-m2+4>0,
即>0.∴1<m2<4.
∴m2的取值范圍是(1,4).
22.對(duì)于橢圓,有如下性質(zhì):若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為.利用此結(jié)論解答下列問題.點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),并且橢圓在點(diǎn)處的切線斜率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)在直線上,經(jīng)過點(diǎn)的直線,與橢圓相切,切點(diǎn)分別為,.求證:直線必經(jīng)過一定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)直線必經(jīng)過一定點(diǎn)
(2)設(shè),,,
則切線,切線.·
∵都經(jīng)過點(diǎn),
∴,.
即直線的方程為.
又,
∴直線必經(jīng)過一定點(diǎn).