《2022年高中數(shù)學學科會議專題講座 解析幾何 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高中數(shù)學學科會議專題講座 解析幾何 新人教版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高中數(shù)學學科會議專題講座 解析幾何 新人教版 1、考試內容與要求（考試大綱） （1）直線與方程 ①在平面直角坐標系中，結合具體圖形，確定直線位置的幾何要素； ② 理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。 ③ 能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。 ④ 掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關系。 ⑤ 能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標。 ⑥ 掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。 （2）圓與方程 ① 掌握確定圓的幾何要

2、素，掌握圓的標準方程與一般方程。 ② 能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系，能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系。 ③ 能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。 ④ 初步了解代數(shù)方法處理幾何問題的思想。 （3）空間直角坐標系 ① 了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系表示點的位置。 ② 會推導空間兩點間的距離公式。 （4）圓錐曲線與方程 ①了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。 ②掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質。 ③了解雙曲線的定義、幾何圖形好標準方程，知道它的簡單性質。 ④了解圓錐曲

3、線的簡單應用（課標與考試說明要求：掌握直線與圓錐曲線的關系；能解決圓錐曲線的簡單應用問題）。 ⑤（課標：進一步體會）理解數(shù)形結合的思想。 （2）曲線與方程 了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系（課標：進一步感受數(shù)形結合的基本思想）。 2、高考考點分析 （1）解析幾何問題的重點在于通過對定義、概念、公式、定理等基礎知識的學習，逐步感受、體會、理解和掌握數(shù)形結合的基本思想；特點是利用代數(shù)的方法研究并解決幾何問題；難點是數(shù)形結合、運算與轉化。 （2）解析幾何是高中數(shù)學的主干知識，是高考的重點。從各地和福建近幾年高考數(shù)學試卷來看，小題要求比較基本，通常作為壓軸題的解答題的第一問起點低，后面

4、的難度較大。直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線是每年高考必考的知識點；?？嫉挠谢靖拍?、基礎知識、基本運算與基本方法，直線與圓以及圓錐曲線的關系，與其他內容的知識交匯等。 （3）考情分析 ①、直線的傾斜角和斜率、直線的方程以及兩直線的位置關系是高考的熱點。高考題主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目。直線也常和圓錐曲線結合，以解答題的形式出現(xiàn)，屬中高檔題。 ②、直線的交點坐標與距離公式重點體現(xiàn)轉化與化歸的數(shù)學思想，這種數(shù)學思想是高考的熱點之一，在高考中主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目。 ③、利用待定系數(shù)法求圓的方程和已知圓的方程確定圓心和半徑是考查的重點。在高考中常以

5、選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題。 ④、直線與圓、圓與圓的位置關系一直是高考考查的重點和熱點問題。在高考試題中多為選擇題和填空題，有時在解答題中考查直線與圓位置關系的綜合問題。 ⑤、橢圓的定義、標準方程和幾何性質是高考重點考查的內容；直線和橢圓的位置關系是高考考查的熱點。各種題型都有涉及，作為選擇題、填空題屬中低檔題，作為解答題則屬于中高檔題。 ⑥、雙曲線的定義、標準方程和離心率、漸近線等知識是高考考查的重點；直線與雙曲線的位置關系有時也考查，但不作為重點。主要以選擇、填空題的形式考查，屬于中低檔題目。 ⑦、拋物線的定義、標準方程及性質是高考考查的重點，直線與拋物線的位置關系是考

6、查的熱點?？碱}以選擇、填空題為主，多為中低檔題。 ⑧、直線與橢圓、拋物線的位置關系是高考的重點，以直線與橢圓、拋物線相交、相切為背景命題，常以解答的形式出現(xiàn)，屬中高檔題。 ⑨、曲線與方程一直是高考的熱點，多為中低檔題。 ⑩、數(shù)形結合思想是解析幾何的核心內容，始終貫穿在高考試題當中。 3、典型例題分析 高考福建卷xx---xx年考題、考點、知識點分析： 文科 理科 xx 第4題（雙曲線）；第22題（直線與橢圓） 第13題（拋物線）；19（直線與圓、橢圓） xx 第11題（橢圓）；13（雙曲線）；19（直線與拋物線） 第2題（拋物線）；7（雙曲線）；17（直線與橢圓）

7、 xx 第11題（離心率：橢圓、雙曲線）；18（直線、圓、拋物線） 第7題（離心率：橢圓、雙曲線）；17（直線圓拋物線） xx 第5題（雙曲線）；7（圓）；21（直線與拋物線） 第8題（雙曲線）；19（直線與橢圓） 基本題型一：利用幾何法、直接（譯）法解題 解析幾何問題首先是幾何問題，對于解析幾何問題首先要從幾何的角度出發(fā)尋求解題思路（幾何法），其次做為數(shù)學問題要從定義、公式、定理等基本概念、基礎知識出發(fā)尋求解題思路（直譯法）。 例1、（xx湖北文）過點的直線,將圓形區(qū)域分兩部分,使得這兩部分的面積之差最大,則該直線的方程為 （　?。? A． B． C． D． 【解析】要使

8、直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大,必須使過點的圓的弦長達到最小,所以需該直線與直線垂直即可。又已知點,則,故所求直線的斜率為-1.又所求直線過點,故由點斜式得,所求直線的方程為,即，故選A。 例2、（xx·四川卷） 橢圓＋＝1的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點A、B.當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是________． 【解析】 如圖，設橢圓右焦點為F′，直線x＝m與x軸相交于C， 由橢圓第一定義，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a＝4， 而|AB|＝|AC|＋|BC|≤|AF′|＋|BF′|， ∴當且僅當AB過F′時，△ABF周長最大． 此時，由

9、c＝1，得A，B，即|AB|＝3，∴S△ABF＝|AB||FF′|＝3. 例3、（xx湖南文）已知雙曲線C :-=1的焦距為10 ,點P (2,1)在C 的漸近線上,則C的方程為 A．-=1 B．-=1 C．-=1 D．-=1 【解析】設雙曲線C :-=1的半焦距為,則 又C 的漸近線為 ,點P (2,1)在C 的漸近線上,所以 又,,C的方程為-=1 例4、（xx·湖北卷） 如圖1－5所示，雙曲線－＝1(a，b>0)的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D.則 (

10、1)雙曲線的離心率e＝________； (2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值＝________. 圖1－5 【解析】 (1)　(2)　[解析] (1)由圖可知，點O到直線F1B2的距離d與圓O的半徑OA1相等，又直線F1B2的方程為＋＝1，即bx－cy＋bc＝0. 所以d＝＝a，整理得b2(c2－a2)＝a2c2，即(c2－a2)2＝a2c2，得c2－a2＝ac. 所以e2－e－1＝0，解得e＝(負值舍去)． (2)連結OB，設BC與x軸的交點為E，由勾股定理可求得|BF1|＝. 由等面積法可求得|BE|＝＝， 所以|OE|＝＝.所以S2

11、＝2|OE|·2|EB|＝. 而S1＝|F1F2||B1B2|＝2bc, 所以＝＝e3＝. 圖1－5 （2）解法二：連結OB，設BC與x軸的交點為E， 在Rt⊿OBF1中，cos∠F1OB=,∴sin∠F1OB=. 在Rt⊿OBF1中，BE=OB sin∠F1OB=,OE=OB cos∠F1OB= ∴S2=4×OE×BE=,而S1=2bc, ∴ 基本題型二：利用解析幾何的通性通法解題 解析幾何的特點是用代數(shù)的方法解決幾何問題，做為數(shù)學問題其解題思路有特點也有常規(guī)的思路（通性通法） 例5：（xx年大綱理）橢圓的中心在原點,焦距為4,一條準線為,則該橢圓的方程為 （　?。? A．

12、 B． C． D． 【解析】因為,由一條準線方程為可得該橢圓的焦點在軸上縣,所以.故選答案C 例6、（xx福建理）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于 （　?。? A． B． C．3 D．5 【解析】∵拋物線的焦點是,∴雙曲線的半焦距,,故雙曲線的漸近線的方程為 ∴雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于，選A 例7、（xx·四川卷）已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)，若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 【解析】由于拋物線關于x軸對

13、稱，且經(jīng)過的點M的橫坐標2＞0，可知拋物線開口向右， 設方程為y2＝2px，準線為x＝－，而M點到準線距離為3，可知＝1，即p＝2， 故拋物線方程為y2＝4x.當x＝2時，可得y0＝±2，∴|OM|＝＝2.選B 例8、（xx·安徽卷理）如圖1－5，點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線x＝于點Q. (1)如果點Q的坐標是(4,4)，求此時橢圓C的方程； (2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點． 圖1－5 【解析】解：(1)(方法一)由條件知，P，故

14、直線PF2的斜率為kPF2＝＝－. 因為PF2⊥F2Q，所以直線F2Q的方程為y＝x－，故Q. 由題設知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.故橢圓方程為＋＝1. (方法二)設直線x＝與x軸交于點M，由條件知，P. 因為△PF1F2∽△F2MQ，所以＝. 即＝，解得＝2a. 所以a＝2，c＝1，故橢圓方程為＋＝1. (方法三)點代入得: ① 又 ② ③ 由①②③得: 既橢圓的方程為 （1）（方法四）由上述求得P（-c, ）,Q（4,4），F(xiàn)2（c,0） ∴,=(4-c,4)，由FP⊥FQ得 ·=2c(c-4)+ =0；又由已知得b2=4c-c2，代入2c(

15、c-4)+ =0 得2ac(c-4)+4(4c-c2)=0，消去（4-c）得a=2，c=1.故橢圓方程為＋＝1. (2)證明：直線PQ的方程為＝， 即y＝x＋a.將上式代入橢圓方程得，x2＋2cx＋c2＝0. 解得x＝－c，y＝，所以直線PQ與橢圓C只有一個交點． （2）將橢圓變成雙曲線：，命題也成立。證明如下： ，，易求得Q（）。 ∴PQ的直線方程為：即：， 而雙曲線中， 整理得，PQ的直線方程為：，代入雙曲線得：，解得x＝－c，y＝，所以直線PQ與雙曲線只有一個交點． 基本題型三：直線與圓錐曲線的位置關系 此類試題一般是高考的中難題甚至是壓軸題，主要考查圓錐曲線的標

16、準方程，直線與圓錐曲線的位置關系。處理此類問題，主要是在“算”上下工夫，是典型的用代數(shù)的方法解決幾何問題，涉及運算求解能力、推理論證能力、函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想、特殊與一般思想等數(shù)學思想方法。有時借助二次方程根與系數(shù)的關系，用“設而不求”的方法解決問題。解題時，也要特別注意特殊情況(如斜率不存在的情況)的處理。 例9、（xx年高考上海）已知雙曲線 (1)求與雙曲線有相同的焦點,且過點的雙曲線的標準方程; (2)直線分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點.當時,求實數(shù)的值. 【解析】(1)雙曲線的焦點坐標為,設雙曲線的標準方程為,則,所以雙曲線的標準方程為. (2

17、)雙曲線的漸近線方程為,設 由,由 又因為,而 所以. 例10、（xx高考廣東文20）在平面直角坐標系中，已知橢圓：（）的左焦點為，且點在上. （1）求橢圓的方程； （2）設直線同時與橢圓和拋物線：相切，求直線的方程. 【解析】（1）因為橢圓的左焦點為，所以， 點代入橢圓，得，即， 所以，所以橢圓的方程為. （2）直線的斜率顯然存在，設直線的方程為， ，消去并整理得， 因為直線與橢圓相切，所以， 整理得 ① ，消去并整理得。 因為直線與拋物線相切，所以， 整理得 ② 綜合①②，解得或。 所以直線的方程為或。 例11、（xx高考山東文21） (本

18、小題滿分13分) 如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8. (Ⅰ)求橢圓M的標準方程； (Ⅱ) 設直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值. 【解析】(21)(I)……① 矩形ABCD面積為8，即……② 由①②解得：，∴橢圓M的標準方程是. (II)， 設，則， 由得. . 當過點時，，當過點時，. ①當時，有， ， 其中，由此知當，即時，取得最大值. ②由對稱性，可知若，則當時，取得最大值. ③當時，，， 由此知，當時，取得最大值. 綜上可知，當和0時，取得最大值. 例12、（x

19、x年高考福建理）如圖,橢圓的左焦點為,右焦點為,離心率.過的直線交橢圓于兩點,且的周長為8. (Ⅰ)求橢圓的方程. (Ⅱ)設動直線與橢圓有且只有一個公共點,且與直線相較于點.試探究:在坐標平面內是否存在定點,使得以為直徑的圓恒過點?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由. 【解析】 (1)因為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2.又因為e＝， 即＝，所以c＝1，所以b＝＝.故橢圓E的方程是＋＝1. (2) （解法一）：由得(4k2＋3)x2＋8

20、kmx＋4m2－12＝0. 因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0， 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡得4k2－m2＋3＝0.(*) 此時x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.由得Q(4,4k＋m)． 假設平面內存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上． 設M(x1,0)，則·＝0對滿足(*)式的m、k恒成立． 因為＝，＝(4－x1,4k＋m)，由·＝0， 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式對滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.

21、 故存在定點M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M. (解法二：)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0， 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡得4k2－m2＋3＝0.(*) 此時x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P. 由得Q(4,4k＋m)． 假設平面內存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上． 取k＝0，m＝，此時P(0，)，Q(4，)，以PQ為直徑的圓為(x－2)2＋(y－)2＝4，交x軸于點M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，

22、此時P，Q(4,0)，以PQ為直徑的圓為2＋2＝，交x軸于點M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合條件的點M存在，則M的坐標必為(1,0)． 以下證明M(1,0)就是滿足條件的點： 因為M的坐標為(1,0)，所以＝，＝(3,4k＋m)， 從而·＝－－3＋＋3＝0， 故恒有⊥，即存在定點M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M. 基本題型四：圓錐曲線的綜合問題 例13、（xx年高考天津理）設,,若直線與圓相切,則的取值范圍是 （　?。? A． B． C． D． 【解析】∵直線與圓相切,∴圓心到直線的距離為,所以,設, 則,解得. 選D 例14、（xx·陜西卷理） 圖

23、1－4是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬________米． 圖1－4 【解析】 本小題主要考查了拋物線的知識，解題的關鍵是建立坐標系求出拋物線的方程．以拱頂為坐標原點建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為：x2＝－2py(p>0)，由題意知拋物線過點(2，－2)，代入方程得p＝1，則拋物線的方程為：x2＝－2y，當水面下降1米時，為y＝－3，代入拋物線方程得x＝，所以此時水面寬為2米． 例15、（xx福建文） 如圖，等邊三角形的邊長為，且其三個頂點均在拋物線：（）上。 （I）求拋物線的方程； （II）設動直線與拋物線相切

24、于點，與直線相交于點， 證明以為直徑的圓恒過軸上某定點。 【解析】 （I）依題意，|OB|=8，∠BOy=30°，設B（x，y），則x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12 ∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上， ∴ ∴p=2，∴拋物線E的方程為x2=4y； （II）由（I）知，， 設P（x0，y0），則x0≠0．l：即 由得，∴ 取x0=2，此時P（2，1），Q（0，﹣1），以PQ為直徑的圓為（x﹣1）2+y2=2， 交y軸于點M1（0，1）或M2（0，﹣1）， 取x0=1，此時P（1，），Q（﹣，﹣1），以PQ為直徑的圓為（x﹣）2

25、+（y+）2=2， 交y軸于點M3（0，1）或M4（0，﹣） 故若滿足條件的點M存在，只能是M（0，1），證明如下 ∵ ∴=2y0﹣2﹣2y0+2=0， 故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M（0，1） （Ⅱ）解法二：設Q（0，y1），則， 由得，，而， ∴對任意恒成立。即且 解得，故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M（0，1） 4、復習建議和要求 近幾年福建高考解析幾何試題情況：每年的試題相對比較穩(wěn)定，一般是一?。ㄟx擇或填空）一大（解答題），選擇題、填空題主要考查有關直線、圓、圓錐曲線的概念及直線與直線、直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關系等；解答題考查的主要內容有：求曲

26、線（軌跡）方程，坐標法及運用曲線方程研究曲線性質，直線與圓錐曲線的位置關系等。命題的著眼點看上去是考查知識，關注與其他知識的交匯，但主要是檢測在一定數(shù)學思想和方法下學生綜合學習的能力。因此在復習時要注意不能簡單地反復練習，而應該多從例題解法的探索、思路的總結、規(guī)律的應用等方面入手，從例題的典型性中體會到數(shù)學思想、數(shù)學方法，從而達到知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡化。并通過模擬習題學會舉一反三、觸類旁通，做到以例題輻射整體，實現(xiàn)由課本內到課本外的突破。2、2、 （1）、夯實基礎，掌握通性通法 ①、熟練掌握以下知識點：①直線的斜率、方程、位置關系的判定、點到直線的距離公式；②圓的方程、幾何性質；③圓錐曲線的定

27、義、標準方程、幾何性質、弦長公式。 ②、掌握通性通法：如直接法與幾何法；直線與圓的位置關系問題通常轉化為圓心到直線的距離問題；直線與圓錐曲線的位置關系問題，通常采用設而不求法及方程的思想，將問題轉化為二次方程的有關問題來求解；利用直譯法、定義法、相關點法、參數(shù)法求軌跡方程等。 ③、注意思維的縝密性，避免如下常犯的錯誤：求直線方程時，忽視斜率不存在的情況； 求軌跡方程時忽視“純粹性”、“完備性”；混淆“直線與曲線只有一個公共點”與“直線與曲線相切”這兩個不同的概念；輕率運用“點差法”，忽視這種方法適用的前提是直線與曲線相交。 （2）、重視書面表達的規(guī)范訓練，使學生養(yǎng)成良好的思維習慣，逐步

28、形成規(guī)范的解題；重視基本量的幾何解釋及其幾何意義，使學生逐步加深對數(shù)形結合的了解，使學生進一步體會數(shù)形結合的基本數(shù)學思想，整體提升學生的思維品質。 （3）、注重知識整合，加強綜合訓練 ①、重視命題的條件和結論的等價轉化，注重發(fā)散思維的訓練。 ②、溝通題設與題設、題設與結論間相互聯(lián)系，重視解題思路的設計。 （4）、加強運算訓練，力求避繁就簡 運算繁雜是解析幾何最突出的特點。首先，解題中要指導學生克服只重視思路輕視動手運算的缺點。運算能力差是學生普遍存在的問題，不僅在解析幾何問題中要加強訓練，而且在其他板塊中也要注意加強訓練；其次，要培養(yǎng)學生運算的求簡意識，突出解析幾何設而不求的運算本色，充分發(fā)揮圓錐曲線的定義和利用平面幾何知識化難為易、化繁為簡的作用。 （5）、加強學法指導，注重學生心理疏導 身處畢業(yè)班的高三學生，面臨諸多的壓力，在高強度的學習過程中極易產(chǎn)生畏懼心理。 在復習過程中有用教師的熱情和愛心關愛學生，通過學法指導使學生逐步進入良好的學習狀態(tài)，提高學習信心，進一步通過復習效率。