18、，
所以當x>0時，f(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(x)>0.
又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，
20．8<2＝log240恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：∵a2－a＋1＝2＋>0，
∴不等式>0恒成立轉(zhuǎn)化為1＋2x＋4x·a>0恒成立．
得－a<＋＝x＋x，
而函數(shù)y＝x＋x為減函數(shù)，
故當x∈(－∞，1]時，ymin＝＋＝，
所以－a<，即a>－.
19、答案：
(一) 主干知識要記牢
函數(shù)的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．
(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)的任意一個x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期．
(二) 二級結(jié)論要用好
1．函數(shù)單調(diào)
20、性和奇偶性的重要結(jié)論
(1)當f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)為增(減)函數(shù)．
(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性．
(3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于原點對稱；
f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．
(4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)．
(5)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點，即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)：f(x)＝0.
(6)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)為奇
21、函數(shù)；
f(x)－f(－x)＝0?f(x)為偶函數(shù)．
2．抽象函數(shù)的周期性與對稱性的結(jié)論
(1)函數(shù)的周期性
①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a.
②若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a.
③若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a.
(2)函數(shù)圖象的對稱性
①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖
22、象關(guān)于點(a,0)對稱．
③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
3．函數(shù)圖象平移變換的相關(guān)結(jié)論
(1)把y＝f(x)的圖象沿x軸左右平移|c|個單位(c＞0時向左移，c＜0時向右移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù))．
(2)把y＝f(x)的圖象沿y軸上下平移|b|個單位(b＞0時向上移，b＜0時向下移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù))．
(三) 易錯易混要明了
1．求函數(shù)的定義域時，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)．列不等
23、式時，應列出所有的不等式，不能遺漏．
2．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．
3．判斷函數(shù)的奇偶性時，要注意定義域必須關(guān)于原點對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響．
4．用換元法求解析式時，要注意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問題．
[針對練1] 已知f(cos x)＝sin2x，則f(x)＝________.
解析：令t＝cos x，且t∈[－1,1]，則f(t)＝1－t2，t∈[－1，1]，即f(x)＝1－x2，x∈[－1,1]．
答案：1－x2，
24、x∈[－1,1]
5．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應法則的函數(shù)，它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．
[針對練2] 已知函數(shù)f(x)＝則f＝________.
解析：因為f＝ln＝－1，所以f＝f(－1)＝e－1＝.
答案：
A組——10＋7提速練
一、選擇題
1．(2019屆高三·杭州四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝則f(f(4))的值為( )
A．－ B．－9
C． D．9
解析：選C
25、因為f(x)＝所以f(f(4))＝f(－2)＝.
2．已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是( )
A．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
B．函數(shù)f(x)是減函數(shù)
C．函數(shù)f(x)是周期函數(shù)
D．函數(shù)f(x)的值域為[－1，＋∞)
解析：選D 由函數(shù)f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，則f(x)不是偶函數(shù)．當x>0時，f(x)＝x2＋1，則f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，且函數(shù)值f(x)>1；當x≤0時，f(x)＝cos x，則f(x)在區(qū)間(－∞，0]上不是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)值f(x) ∈[－1,1]．所以函數(shù)f(x)不是單調(diào)函
26、數(shù)，也不是周期函數(shù)，其值域為[－1，＋∞)．故選D.
3．(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為( )
解析：選D 法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，
則f′(x)＝－4x3＋2x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
則f′(x)>0的解集為∪，
f(x)單調(diào)遞增；f′(x)<0的解集為∪，f(x)單調(diào)遞減，結(jié)合圖象知選D.
法二：當x＝1時，y＝2，所以排除A、B選項．當x＝0時，y＝2，而當x＝時，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C選項．故選D.
4．已知函數(shù)f(x－1)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象可能
27、是( )
解析：選B 函數(shù)f(x－1)的圖象向左平移1個單位，即可得到函數(shù)f(x)的圖象．因為函數(shù)f(x－1)是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(－1,0)對稱，排除A、C、D，故選B.
5．(2019屆高三·鎮(zhèn)海中學測試)設f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝log2(x＋2)－3x＋a(a∈R)，則f(－2)＝( )
A．－1 B．－5
C．1 D．5
解析：選D 因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，
所以f(0)＝1＋a＝0，即a＝－1.
故f(x)＝log2(x＋2)－3x－1(x≥0)
28、，
所以f(－2)＝－f(2)＝5.故選D.
6．(2018·諸暨高三期末)已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則下列四個命題中錯誤的是( )
A．y＝g(f(x)＋1)為偶函數(shù)
B．y＝g(f(x))為奇函數(shù)
C．函數(shù)y＝f(g(x))的圖象關(guān)于直線x＝1對稱
D．y＝f(g(x＋1))為偶函數(shù)
解析：選B 由題可知
選項A，g(f(－x)＋1)＝g(－f(x)＋1)＝g(1＋f(x))，
所以y＝g(f(x)＋1)為偶函數(shù)，正確；
選項B，g(f(－x))＝g(－f(x))＝g(2＋f(x))，
所以y＝
29、g(f(x))不一定為奇函數(shù)，錯誤；
選項C，f(g(－x))＝f(g(2＋x))，所以y＝f(g(x))的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，正確；
選項D，f(g(－x＋1))＝f(g(x＋1))，所以y＝f(g(x＋1))為偶函數(shù)，正確．
綜上，故選B.
7．函數(shù)y＝＋在[－2,2]上的圖象大致為( )
解析：選B 當x∈(0,2]時，函數(shù)y＝＝，x2>0恒成立，令g(x)＝ln x＋1，則g(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，當x＝時，y＝0，則當x∈時，y＝<0，x∈時，y＝>0，∴函數(shù)y＝在(0,2]上只有一個零點，排除A、C、D，只有選項B符合題意．
8．(2018·全國卷Ⅱ)已
30、知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
解析：選C 法一：∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．
由f(x)為奇函數(shù)得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，
31、
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由題意可設f(x)＝2sin，作出f(x)的部分圖象如圖所示．由圖可知，f(x)的一個周期為4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)
32、＝2.
9．設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)的圖象經(jīng)過點A(m1，f(m1))和點B(m2，f(m2))，f(1)＝0.若a2＋[f(m1)＋f(m2)]a＋f(m1)·f(m2)＝0，則( )
A．b≥0 B．b<0
C．3a＋c≤0 D．3a－c<0
解析：選A ∵函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)，
滿足f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.
若a≤0，∵a>b>c，∴b<0，c<0，
則有a＋b＋c<0，這與a＋b＋c＝0矛盾，∴a>0成立．
若c≥0，則有b>0，a>0，
此時a＋b＋c>0，這與a＋b＋c＝0矛盾，
∴c<0成立．
33、∵a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，
∴[a＋f(m1)]·[a＋f(m2)]＝0，
∴m1，m2是方程f(x)＝－a的兩根，
∴Δ＝b2－4a(a＋c)＝b(b＋4a)＝b(3a－c)≥0，
而a>0，c<0，
∴3a－c>0，∴b≥0.故選A.
10．已知函數(shù)f(x)＝若f(x)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(1,2] B．(－∞，2]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：選A 依題意，當x≥1時，f(x)＝1＋log2x單調(diào)遞增，f(x)＝1＋log2x在區(qū)間[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函數(shù)f
34、(x)的值域是R，則需函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M?(－∞，1)．①當a－1<0，即a<1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－a＋3，＋∞)，顯然此時不能滿足M?(－∞，1)，因此a<1不滿足題意；②當a－1＝0，即a＝1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此時不能滿足M?(－∞，1)，因此a＝1不滿足題意；③當a－1>0，即a>1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M?(－∞，1)得解得1
35、
二、填空題
11．已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x<0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x>時，f＝f，則f(0)＝________，f(6)＝________.
解析：函數(shù)f(x)在[－1,1]上為奇函數(shù)，故f(0)＝0，
又由題意知當x>時，f＝f，
則f(x＋1)＝f(x)．
又當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．
又當x<0時，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.
答案：0 2
12．(2018·臺州第一次調(diào)考)若函數(shù)f(x)＝a－(a∈R)是奇函數(shù)，則a＝___
36、_____，函數(shù)f(x)的值域為____________．
解析：函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(x)是奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
∴a－＝－恒成立，
∴a＝＋＝＋＝＝－1.
∴f(x)＝－1－，當x∈(0，＋∞)時，2x>1，
∴2x－1>0，∴>0，∴f(x)<－1；
當x∈(－∞，0)時，0<2x<1，
∴－1<2x－1<0，∴<－1，
∴－>2，∴f(x)>1，
故函數(shù)f(x)的值域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：－1 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
13．(2018·紹興柯橋區(qū)模擬)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋
37、∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0，若f(x－2)>0，則x的取值范圍是________．
解析：∵偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，
且f(2)＝0，
∴f(2)＝f(－2)＝0，
則不等式f(x－2)>0，等價為f(|x－2|)>f(2)，
∴|x－2|<2，
即－21)，都有f(x－2)≤g(x)，則m的取值范圍是________．
解析：作出函數(shù)y1＝e|x－2|和y＝g(x)的圖象，如圖所示，由圖可知當x＝1時，
38、y1＝g(1)，又當x＝4時，y1＝e24時，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1，
∴1
39、(－∞，－1)，(1，＋∞)；
⑤函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)．
其中正確說法的序號為________．
解析：對于新運算“★”的性質(zhì)(3)，令c＝0，則(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★＝1＋x＋，當x>0時，f(x)＝1＋x＋≥1＋2 ＝3，當且僅當x＝，即x＝1時取等號，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值為3，故①正確；函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，故②③
40、錯誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，知函數(shù)f(x)＝1＋x＋的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正確；由④知，函數(shù)f(x)＝1＋x＋不是周期函數(shù)，故⑤正確．綜上所述，所有正確說法的序號為①④⑤.
答案：①④⑤
16．(2018·鎮(zhèn)海中學階段性測試)已知函數(shù)f(x)＝ln－2，g(x)和f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，將函數(shù)g(x)的圖象向右平移a(a>0)個單位長度，再向下平移b(b>0)個單位長度，若對于任意實數(shù)a，平移后g(x)和f(x)的圖象最多只有一個交點，則b的最小值為________．
解析：由f(x)＝ln－2，知x>0，
f(x)≥ln e－2＝－1，∴f(x)min＝－
41、1，此時x＝.
在同一直角坐標系中，作出f(x)，g(x)的圖象(圖略)，若對于任意的a，平移后g(x)和f(x)的圖象最多只有一個交點，則平移后g(x)的圖象的最高點不能在f(x)圖象的最低點的上方，則1－b≤－1，則b的最小值為2.
答案：2
17．(2017·山東高考)若函數(shù)exf(x)(e＝2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為________．
①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；
④f(x)＝x2＋2.
解析：設g(x)＝exf(x)，對于①，g(x)＝e
42、x·2－x，
則g′(x)＝(ex·2－x)′＝ex·2－x(1－ln 2)>0，
所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，故①符合要求；
對于②，g(x)＝ex·3－x，
則g′(x)＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln 3)<0，
所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，故②不符合要求；
對于③，g(x)＝ex·x3，
則g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，
顯然函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上不單調(diào)，故③不符合要求；
對于④，g(x)＝ex·(x2＋2)，
則g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋
43、1)2＋1]>0，
所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，故④符合要求．
綜上，具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為①④.
答案：①④
B組——能力小題保分練
1．(2019屆高三·浙江新高考名校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ln |x|＋x2的大致圖象是( )
解析：選A 因為f(－x)＝ln |－x|＋(－x)2＝ln |x|＋x2＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，于是其圖象關(guān)于y軸對稱，排除D；當x>0時，f(x)＝ln x＋x2，f′(x)＝＋x≥2，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，排除B；當x∈(0,1)時，f′(x)>2，且f′(x)是減函數(shù)，當x>1時，f′(x)>2
44、，且f′(x)是增函數(shù)，因此，當x趨近于0或x趨近于＋∞時，曲線較陡，因此排除C.故選A.
2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( )
A．f(－25)
45、奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，
所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，
所以f(－1)0時的圖象即
46、可．對于選項A，當x>0時，f(x)＝x2－2ln x，所以f′(x)＝2x－＝，因此f(x)在x＝1處取得極小值，故A錯誤；對于選項B，當x>0時，f(x)＝x2－ln x，所以f′(x)＝2x－＝，因此f(x)在x＝處取得極小值，故B正確；對于選項C，當x>0時，f(x)＝x－2ln x，所以f′(x)＝1－＝，因此f(x)在x＝2處取得極小值，故C錯誤；對于選項D，當x>0時，f(x)＝x－ln x，所以f′(x)＝1－＝，因此f(x)在x＝1處取得極小值，故D錯誤．故選B.
4．定義：F(x)＝max{f(t)|－1≤t≤x≤1}，G(x)＝min{f(t)|－1≤t≤x≤1}，其中
47、max{m，n}表示m，n中的較大者，min{m，n}表示m，n中的較小者．已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋bx，則下列說法一定正確的是( )
A．若F(－1)＝F(1)，則f(－1)>f(1)
B．若G(1)＝F(－1)，則F(－1)G(1)
D．若G(－1)＝G(1)，則f(－1)>f(1)
解析：選B 依據(jù)題意，由≤4可得f(x)＝2ax2＋bx的圖象的對稱軸x＝－∈[－1,1]，由F(－1)＝F(1)知f(－1)＝F(1)，F(xiàn)(1)為f(t)在t∈[－1,1]上的最大值，無法排除f(－1)＝f(1)的可能，所以A錯誤；由G(
48、1)＝F(－1)＝f(－1)知，f(t)在t∈[－1,1]上的最小值為f(－1)，所以F(－1)＝f(－1)
49、其解集A≠?時，可設A＝{m＜x＜n}．
首先，若n＝2時，則|2＋a|－2a＝4，
解得a＝－2，滿足A?B.
由函數(shù)y＝|x＋a|－2a的圖象可知，當a＜－2時，n＞2，不滿足A?B，不合題意，即可知a≥－2；考慮函數(shù)y＝|x＋a|－2a的右支與y＝x2相切時，則x＋a－2a＝x2，即x2－x＋a＝0，解得a＝.
又當a≥時，A＝?，即可知a＜.
綜上可知：－2≤a＜.
或考慮函數(shù)y＝|x＋a|和函數(shù)y＝x2＋2a進行數(shù)形結(jié)合．
答案：
6．在平面直角坐標系xOy中，設定點A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數(shù)a
50、的所有值為________．
解析：設P，則|PA|2＝(x－a)2＋2＝2－2a＋2a2－2，
令t＝x＋，則t≥2(x>0，當且僅當x＝1時取“＝”)，則|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.
①當a≤2時，(|PA|2)min＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2，
由題意知，2a2－4a＋2＝8，
解得a＝－1或a＝3(舍去)．
②當a>2時，(|PA|2)min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.
由題意知，a2－2＝8，解得a＝或a＝－(舍去)，
綜上知，a＝－1，.
答案：－1，
第二講 小題考法——基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型的應用
考
51、點(一)
基本初等函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)
主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的運算及其圖象與性質(zhì)；冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及最值問題.
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·浙江高考)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m( )
A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)
C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)
(2)(2017·全國卷Ⅰ)設x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
52、
(3)已知a>0且a≠1，loga2＝x，則ax＝________；a2x＋a－2x＝________.
[解析] (1)f(x)＝2－＋b，
①當0≤－≤1時，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，
∴M－m＝max與a有關(guān)，與b無關(guān)；
②當－<0時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，
∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a與a有關(guān)，與b無關(guān)；
③當－>1時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，
∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a與a有關(guān)，與b無關(guān)．
綜上所述，M－m與a有關(guān)，但與b無關(guān)．
(2)設2x＝3
53、y＝5z＝k>1，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝－
＝＝
＝>0，
∴2x>3y；
∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝－
＝＝
＝<0，
∴3y<5z；
∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
∴5z>2x.∴5z>2x>3y.
(3)由對數(shù)的定義知ax＝2，所以a－x＝，因此a2x＋a－2x＝(ax)2＋(a－x)2＝22＋2＝.
[答案] (1)B (2)D (3)2
[方法技巧]
3招破解指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)值的大小比較問題
(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的
54、單調(diào)性進行比較．
(2)底數(shù)相同，真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較．
(3)底數(shù)不同、指數(shù)也不同，或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個數(shù)，常引入中間量或結(jié)合圖象比較大?。?
[演練沖關(guān)]
1．(2017·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝3x－x，則f(x)( )
A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
解析：選A 因為f(x)＝3x－x，且定義域為R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．
又y＝3x在R上是增函數(shù)，y＝x在R上是減函數(shù)，所以f(x)＝
55、3x－x在R上是增函數(shù)．
2．(2018·天津高考)已知a＝log3，b＝，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：選D ∵c＝log＝log35，a＝log3，
又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
∴l(xiāng)og35＞log3＞log33＝1，
∴c＞a＞1.
∵y＝x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，
∴＜0＝1，即b＜1.
∴c＞a＞b.
3．(2019屆高三·溫州四校聯(lián)考)計算：×80.25＋(－2 018)0＝________，log23×log34＋()＝________.
解析
56、：×80.25＋(－2 018)0＝2×2＋1＝3，log23×log34＋()＝×＋3＝2＋3＝4.
答案：3 4
4．定義區(qū)間[x1，x2](x11)的定義域為[m，n](m
57、 的 零 點
主要考查利用函數(shù)零點存在性定理或數(shù)形結(jié)合法確定函數(shù)零點的個數(shù)或其存在范圍，以及應用零點求參數(shù)的值(或范圍).
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·縉云質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－2x，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋1的零點的個數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2019屆高三·寧波十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝則方程f＝1的實根個數(shù)為( )
A．8 B．7
C．6 D．5
(3)(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一
58、零點，則a＝( )
A．－ B.
C. D．1
[解析] (1)若x<0，－x>0，則f(－x)＝x2＋2x.
∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f(－x)＝x2＋2x＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－2x，x<0，
當x≥0時，由g(x)＝f(x)＋1＝0得x2－2x＋1＝0，
即(x－1)2＝0，得x＝1.
當x<0時，由g(x)＝f(x)＋1＝0得－x2－2x＋1＝0，即x2＋2x－1＝0.
即(x＋1)2＝2，得x＝－1(舍)或x＝－－1，
故函數(shù)g(x)＝f(x)＋1的零點個數(shù)是2個，故選B.
(2)令f(x)＝1，得x＝3或x＝1或x＝或x＝－
59、1，
∵f＝1，
∴x＋－2＝3或x＋－2＝1或x＋－2＝或x＋－2＝－1.
令g(x)＝x＋－2，
則當x>0時，g(x)≥2－2＝0，
當x<0時，g(x)≤－2－2＝－4，
作出g(x)的函數(shù)圖象如圖所示：
∴方程x＋－2＝3，x＋－2＝1，x＋－2＝均有兩解，方程x＋－2＝－1無解．
∴方程f＝1有6解．故選C.
(3)由f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，當且僅當x＝1時等號成立．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當且僅當x＝1時等號成立．
若a>0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(
60、x)有唯一零點，則必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，則f(x)的零點不唯一．
綜上所述，a＝.故選C.
[答案] (1)B (2)C (3)C
[方法技巧]
1．判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法
直接法
直接求零點，令f(x)＝0，則方程解的個數(shù)即為函數(shù)零點的個數(shù)
定理法
利用零點存在性定理，但利用該定理只能確定函數(shù)的某些零點是否存在，必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點
數(shù)形
結(jié)合法
對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖象的，常分解轉(zhuǎn)化為兩個能畫出圖象的函數(shù)的交點問題
2．利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法
(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建
61、不等式求解．
(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解．
(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．
[演練沖關(guān)]
1．(2018·湖州、衢州、麗水高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x|＋|x＋1|，則方程f(2x－1)＝f(x)所有根的和是( )
A. B．1
C. D．2
解析：選C 由題可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，(0，＋∞)上單調(diào)遞增．從而方程f(2x－1)＝f(x)等價于|2x－1|＝|x|，解得x＝1或x＝，所以根的和為，故選C.
2．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－1))＝________
62、；若函數(shù)y＝f(x)－a恰有一個零點，則a的取值范圍是________．
解析：∵f(－1)＝1，∴f(f(－1))＝f(1)＝2.
當x>0時，f′(x)＝4x－＝，
∴當0時，f′(x)>0，
∴f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當x＝時，f(x)取得極小值f＝－ln，
作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．
∵函數(shù)y＝f(x)－a恰有一個零點，
∴0≤a<－ln.
答案：2
3．(2018·鎮(zhèn)海中學階段性測試)已知函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的圖象如下圖所示．給出下列四個命題：
①方程f(g(x))＝0有且
63、僅有6個根；
②方程g(f(x))＝0有且僅有3個根；
③方程f(f(x))＝0有且僅有5個根；
④方程g(g(x))＝0有且僅有4個根．
其中正確的命題為________(填序號)．
解析：由題圖知方程f(t)＝0有三個根，t1∈(－2，－1)，t2＝0，t3∈(1,2)，
由題圖知方程g(x)＝t1有兩個不同的根；方程g(x)＝t2＝0有兩個不同的根，方程g(x)＝t3有兩個不同的根，則方程f(g(x))＝0有且僅有6個根．故①正確；
由題圖知方程g(u)＝0有兩個根，u1∈(－2，－1)，u2∈(0,1)，
由題圖知方程f(x)＝u1只有1個根，方程f(x)＝u2有三個不
64、同的根，則方程g(f(x))＝0有且僅有4個根．故②不正確；由題圖知方程f(x)＝t1只有1個根，方程f(x)＝t2＝0有三個不同的根，方程f(x)＝t3只有1個根，則方程f(f(x))＝0有且僅有5個根．故③正確．
由圖知方程g(x)＝u1有兩個不同的根，方程g(x)＝u2有兩個不同的根，則方程g(g(x))＝0有且僅有4個根．故④正確．故①③④正確．
答案：①③④
考點(三)
函數(shù)模型的應用
主要考查利用給定的函數(shù)模型解決簡單的實際問題.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·開封模擬)李冶(1192～1279)，真定欒城(今河北省石家莊市)人，金元時期的數(shù)學家、
65、詩人，晚年在封龍山隱居講學，數(shù)學著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑、正方形的邊長等．其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是(注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計算)( )
A．10步，50步 B．20步，60步
C．30步，70步 D．40步，80步
(2)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關(guān)系為P＝P0e－kt.如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物
66、減少19%需要花費的時間為________小時．
[解析] (1)設圓池的半徑為r步，則方田的邊長為(2r＋40)步，由題意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍去)，所以圓池的直徑為20步，方田的邊長為60步，故選B.
(2)前5小時污染物消除了10%，此時污染物剩下90%，即t＝5時，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，
∴e－k＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.當污染物減少19%時，污染物剩下81%，此時P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即需要花費10小時．
[答案] (1)B (2)10
[方法技巧]
解決函數(shù)實際應用題的2個關(guān)鍵點
(1)認真讀題，縝密審題，準確理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學地抽象概括，將實際問題歸納為相應的數(shù)學問題．
(2)要合理選取參變量，設定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學模型使實際問題獲解．
[演練沖關(guān)]
1．(2018·浙江高考)我國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：
（浙江專用）2019高考數(shù)學二輪復習 專題五 函數(shù)與導數(shù)、不等式學案
