10、2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，C到直線y＝x＋2a的距離為d＝＝.又由|AB|＝2，得＋
＝a2＋2，解得a2＝2，所以圓的面積為π(a2＋2)＝4π.
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x＝2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切線方程為x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
綜上，切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0.
答案 (1)4π (2
11、)x＝2或4x－3y＋4＝0
規(guī)律方法 1.弦長的兩種求法
(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程.在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長.
(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2.
2.圓的切線方程的兩種求法
(1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.
(2)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.
【訓(xùn)練2】 (1)(2018·合肥測
12、試)過點(diǎn)(3，1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________.
(2)過原點(diǎn)O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P，Q，則線段PQ的長為________.
解析 (1)設(shè)P(3，1)，圓心C(2，2)，則|PC|＝，半徑r＝2，由題意知最短的弦過P(3，1)且與PC垂直，所以最短弦長為2＝2.
(2)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝5，則圓心為(3，4)，半徑長為.
由題意可設(shè)切線的方程為y＝kx，則圓心(3，4)到直線y＝kx的距離等于半徑長，即＝，解得k＝或k＝，則切線的方程為y＝x或y＝x.聯(lián)立切線方程與
13、圓的方程，解得兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(4，2)，，此即為P，Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式得|PQ|＝4.
答案 (1)2 (2)4
考點(diǎn)三 圓與圓的位置關(guān)系
【例3】 (2017·鄭州調(diào)研)已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值時兩圓外切？
(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？
(3)當(dāng)m＝45時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.
解 因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
所以兩圓的圓心分別為(1，3)，(5，6)，半徑分別為，，
(1)當(dāng)兩圓外切時，由＝＋，得m＝
14、25＋10.
(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時，因?yàn)槎▓A半徑小于兩圓圓心之間的距離5，所以－＝5，解得m＝25－10.
(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.
故兩圓的公共弦的長為2＝2.
規(guī)律方法 1.判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.
2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到.
【訓(xùn)練3】 (1)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)
15、2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是( )
A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離
(2)(2018·九江模擬)已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1 相外切，則ab的最大值為( )
A. B. C. D.2
解析 (1)∵圓M：x2＋(y－a)2＝a2，∴圓心坐標(biāo)為M(0，a)，半徑r1為a，圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝，由幾何知識得＋()2＝a2，解得a＝2.∴M(0，2)，r1＝2.又圓N的圓心坐標(biāo)N(1，1)，半徑r2＝1，
∴|MN|＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r
16、2，∴兩圓相交，故選B.
(2)由圓C1與圓C2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，
根據(jù)均值不等式可知ab≤＝，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立.
答案 (1)B (2)C
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時：40分鐘)
一、選擇題
1.(2016·全國Ⅱ卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝( )
A.－ B.－ C. D.2
解析 由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圓心坐標(biāo)為(1，4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝＝1，解之得a＝－.
答案 A
2.(2017·長春模擬)過點(diǎn)(3，1)作圓(x－1)
17、2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為( )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
解析 ∵過點(diǎn)(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，∴點(diǎn)(3，1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圓心與切點(diǎn)連線的斜率k＝＝，
∴切線的斜率為－2，
則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
答案 B
3.(2018·洛陽一模)直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則“k＝1”是“|AB|＝”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充
18、要條件 D.既不充分也不必要條件
解析 依題意，因|AB|＝，則圓心O到直線l的距離等于＝，即有＝，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要條件，選A.
答案 A
4.圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為的點(diǎn)共有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
解析 圓的方程化為(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圓心(－1，－2)到直線距離d＝＝，半徑是2，結(jié)合圖形可知有3個符合條件的點(diǎn).
答案 C
5.(2018·福州模擬)過點(diǎn)P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為
19、( )
A.y＝－ B.y＝－ C.y＝－ D.y＝－
解析 圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1，0)，半徑為1，以|PC|＝＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－.
答案 B
二、填空題
6.(2016·全國Ⅲ卷) 已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|＝________.
解析 由圓x2＋y2＝12知圓心O(0，0)，半徑r＝2，
∴圓心(0，0)到直線x－y＋6＝0的距離d＝＝3，|AB|＝2＝2.過C
20、作CE⊥BD于E.
如圖所示，則|CE|＝|AB|＝2.
∵直線l的方程為x－y＋6＝0，
∴直線l的傾斜角∠BPD＝30°，從而∠BDP＝60°，因此|CD|＝＝＝4.
答案 4
7.已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸.過點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝________.
解析 由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，
則圓心C(2，1)滿足直線方程x＋ay－1＝0，
所以2＋a－1＝0，解得a＝－1，
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(－4，－1).
從而|AC|2＝36＋4＝40.
21、
又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.
即|AB|＝6.
答案 6
8.(2018·濟(jì)南月考)點(diǎn)P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點(diǎn)Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是________.
解析 把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得
(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.
圓C1的圓心坐標(biāo)是(4，2)，半徑長是3；圓C2的圓心坐標(biāo)是(－2，－1)，半徑是2.
圓心距d＝＝3>5.故圓C1與圓C2相離，所以，|PQ|的最小值是3－5.
答案 3－5
三、解答題
9.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，和
22、直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上.
(1)求圓C的方程；
(2)已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程.
解 (1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a，－2a)，
則＝.
化簡，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，
半徑r＝|AC|＝＝.
故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，此時直線l被圓C截得的弦長為2，滿足條件.
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx，
由題意得＝1，解得k＝－，
則直線l的方程為y＝－x.
綜上所述，直線l的方程為x＝0或
23、3x＋4y＝0.
10.(2015·全國Ⅰ卷)已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn).
(1)求k的取值范圍；
(2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.
解 (1)易知圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑r＝1，
由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，
因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1.
解得
24、1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由題設(shè)可得＋8＝12，
解得k＝1，所以l的方程為y＝x＋1.
故圓心C在l上，所以|MN|＝2.
能力提升題組
(建議用時：20分鐘)
11.(2018·衡水中學(xué)模擬)已知圓C：(x－1)2＋y2＝25，則過點(diǎn)P(2，－1)的圓C的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是( )
A.10 B.9
C.10 D.9
解析 易知P在圓C內(nèi)部，最長弦為圓的直徑10，
又最短弦所在直線與最長弦垂直，且|PC|＝，
∴最短弦的長為2＝2＝2，
故所求四邊形的面積S＝×10×2＝10.
答案
25、 C
12.(2018·湖北四地七校聯(lián)考)過點(diǎn)A(1，)的直線l將圓C：(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝________.
解析 易知點(diǎn)A(1，)在圓(x－2)2＋y2＝4的內(nèi)部，
圓心C的坐標(biāo)為(2，0)，當(dāng)直線l被圓截得的弦的弦心距最長時，劣弧所對的圓心角最小，此時l⊥CA，如圖所示，
所以k＝－＝－＝.
答案
13.(2017·全國Ⅲ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1).當(dāng)m變化時，解答下列問題：
(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓
26、在y軸上截得的弦長為定值.
(1)解 不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：
設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，
則x1，x2滿足方程x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐標(biāo)為(0，1)，
故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－，
所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況.
(2)證明 BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂線方程為x＝－.
聯(lián)立
又x＋mx2－2＝0，③
由①②③解得x＝－，y＝－.
所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r＝.
故圓在y軸上截得的弦長為2＝3，
即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.
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（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案 理 新人教B版
