《（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 蘇教版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 蘇教版選修1-1（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二課　圓錐曲線與方程 [體系構(gòu)建] [題型探究] 圓錐曲線的定義的應(yīng)用 圓錐曲線的定義在解題中有著重要作用，要注意靈活運(yùn)用，可以優(yōu)化解題過程，圓錐曲線的定義是相對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源”，“回歸定義”是一種重要的解題策略． 運(yùn)用定義解題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： (1)在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，如果動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件符合某種圓錐曲線的定義，則可直接根據(jù)圓錐曲線的方程寫出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； (2)涉及橢圓或雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，常常運(yùn)用圓錐曲線的定義并結(jié)合三角形中的正、余弦定理來解決； (3)在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí)，常利用定義，把拋物線上某

2、一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并結(jié)合圖形的幾何意義去解決． 　設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，若·＝0，且PF1＞PF2，求的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902159】 [思路探究] 　·＝0→ 【規(guī)范解答】　由·＝0，知PF1⊥PF2，∴F1F＝PF＋PF， 由橢圓方程＋＝1，知a2＝9，b2＝4， ∴c＝＝，F(xiàn)1F2＝2.因此PF＋PF＝20. ① 又由橢圓定義，得PF1＋PF2＝6. ② 由題意知，PF1＞PF2，聯(lián)立①、②得PF1＝4，PF2＝2.從而的值

3、為2. [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且· ＝0，PF1·PF2＝2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 【解析】　由題意可設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．由· ＝0，得PF1⊥PF2. 根據(jù)勾股定理得PF＋PF＝(2c)2，即PF＋PF＝20. 根據(jù)雙曲線定義有PF1－PF2＝2a.兩邊平方并代入PF1·PF2＝2得： 20－2×2＝4a2，解得a2＝4，從而b2＝5－4＝1，所以雙曲線方程為－y2＝1. 【答案】　－y2＝1 圓錐曲線的方程與性質(zhì)的應(yīng)用 1.本類問題主要有兩種考查類型： (1)已

4、知圓錐曲線的方程研究其幾何性質(zhì)，其中以求橢圓、雙曲線的離心率為考查重點(diǎn)； (2)已知圓錐曲線的性質(zhì)求其方程． 2．對(duì)于求橢圓和雙曲線的離心率，有兩種方法： (1)代入法就是代入公式e＝求離心率； (2)列方程法就是根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，然后把這個(gè)關(guān)系式整體轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，解方程即可求出e值． 3．求曲線方程的基本方法是待定系數(shù)法，其步驟可以概括為“先定位、后定量．” 　已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝________. [思路探究

5、] 　→→ 【規(guī)范解答】　∵e＝2，∴b2＝3a2，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，不妨設(shè)A＝，B，則AB＝p，又三角形的高為，則S△AOB＝××p＝，即p2＝4，又p>0，∴p＝2. 【答案】　2 [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902160】 【解析】　在△ABF中，由余弦定理得，cos∠ABF＝，∴BF2－16BF＋64＝0，∴BF＝8，設(shè)右焦點(diǎn)為F1，因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，∴BF1＝AF＝6，∴2

6、a＝BF＋BF1＝14，∴a＝7， ∵O為Rt△ABF斜邊AB的中點(diǎn)，∴OF＝AB＝5，∴c＝5，∴e＝. 【答案】　 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.判斷直線與二次曲線的位置關(guān)系，可把直線方程與二次方程聯(lián)立，消元后的一元二次方程的判別式大于零，則直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；等于零，則只有一個(gè)交點(diǎn)；小于零，則沒有交點(diǎn)． 2．涉及直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)問題時(shí)，一般不是求出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，而是設(shè)出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線方程和曲線方程聯(lián)立消元后的方程根的情況，使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換，這種設(shè)而不求的思想是解析幾何中處理直線和二次曲線相交問題的最基本的方法． 　設(shè)橢圓＋＝1(

7、a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若·＋·＝8，求k的值． [思路探究]　(1)利用過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線方程，根據(jù)線段的長度求出交點(diǎn)的坐標(biāo)并代入橢圓方程求出a和b，可得橢圓方程； (2)設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立得到二次方程，利用韋達(dá)定理把向量式用點(diǎn)的坐標(biāo)表示得到關(guān)于k的方程，解方程可得k的值． 【規(guī)范解答】 　(1)設(shè)F(－c,0)，由＝，知a＝c.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x＝－c， 代入橢圓方程有＋＝1，解得y＝±，于

8、是＝，解得b＝. 又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)， 由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝－，x1x2＝.因?yàn)锳(－，0)，B(，0)， 所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋.由已知得6＋＝8，解得

9、k＝±. [跟蹤訓(xùn)練] 3．已知拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)如果l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程； (2)設(shè)FA＝2BF，求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902161】 【解】　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)∵y2＝4x，∴F(1,0)，又∵直線l的斜率為1，∴直線l的方程為y＝x－1，代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，易得AB的中點(diǎn)，即圓心的坐標(biāo)為(3,2)， 又AB＝x1＋x2＋p＝8，∴圓的半徑r＝4，∴所求的圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16.

10、 (2)∵FA＝2BF，∴＝2，而＝(x1－1，y1)，＝(1－x2，－y2)，∴ 易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得 ∵x1－1＝2(1－x2)， ∴或，∴k＝±2，∴直線l的方程為y＝±2(x－1). 函數(shù)與方程思想 圓錐曲線中的許多問題，若能運(yùn)用函數(shù)與方程的思想去分析，則往往能較快地找到解題的突破口． 用函數(shù)思想求解圓錐曲線中的有關(guān)定值、最值問題，最值問題可以說是高中數(shù)學(xué)中永恒的話題，在圓錐曲線問題中也不例外，而函數(shù)思想是解決最值問題最有利的武器．我們通常

11、可用建立目標(biāo)函數(shù)的方法解有關(guān)圓錐曲線的最值問題． 方程思想是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過聯(lián)想與類比，將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組，然后通過解方程或方程組使問題獲解．方程思想是高中數(shù)學(xué)中的最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位．在求圓錐曲線方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題中經(jīng)常利用方程或方程組來解決． 　點(diǎn)A、B分別是橢圓＋＝1長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于MB，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902162】

12、 [思路探究]　→ →→ 【規(guī)范解答】　(1)由已知可得點(diǎn)A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)．設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則kAP·kPF＝－1. 由已知可得則2x2＋9x－18＝0.解得x＝，或x＝－6(舍去)． 所以x＝，由于y＞0，故y＝.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是. (2)易知直線AP的方程是x－y＋6＝0.設(shè)點(diǎn)M(m,0)，則M到直線AP的距離是. 于是＝|m－6|.又－6≤m≤6，解得m＝2.橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離的平方為：d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15. 由于－6≤x≤6，所以當(dāng)x＝時(shí)，d取得最小值. [跟蹤訓(xùn)練] 4.如圖2-1，橢圓＋＝1

13、的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作直線AF的垂線分別交橢圓，x軸于B，C兩點(diǎn)． 圖2-1 (1)若＝λ，求實(shí)數(shù)λ的值； (2)設(shè)點(diǎn)P為三角形ACF的外接圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)三角形PAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902163】 【解】　(1)由條件得F(－1,0)，A(0，)，kAF＝. ∵AB⊥AF，∴kAB＝－，AB：y＝－x＋. 令y＝0，得x＝3，∴C(3,0) 由得13x2－24x＝0， 解得x1＝0(舍)，x2＝， ∴B.∵＝λ， ∴λ＞0，且λ＝＝＝. (2)∵△ACF是直角三角形， ∴△ACF的外接圓的圓心為D(1,0)，半徑為

14、2， ∴圓D的方程為(x－1)2＋y2＝4. ∵AB長為定值， ∴當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，點(diǎn)P到直線AC的距離最大．過D作AC的垂線m，則點(diǎn)P為直線m與圓D的交點(diǎn)． 直線m：y＝(x－1)與(x－1)2＋y2＝4聯(lián)立 解得x＝2(舍)或x＝0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－)． [鏈接高考] 1．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為__________． 【解析】　由雙曲線C的一條漸近線方程為y＝x，可知＝， ① 又橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(－3,0)， ∴a2＋b2＝9.

15、 ② 由①②聯(lián)立可解得a2＝4，b2＝5，所以雙曲線C的方程為－＝1. 【答案】?。? 2．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F(－c,0)，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，c)，△EFA的面積為，則橢圓的離心率為__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902164】 【解析】　由已知可得(c＋a)c＝，又由b2＝a2－c2，可得2e2＋e－1＝0，又因?yàn)?＜e＜1，解得e＝. 【答案】　 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－y2＝1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P、Q，其焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，則四邊形F

16、1PF2Q的面積是__________． 【解析】　由雙曲線的方程得，雙曲線的右準(zhǔn)線為x＝，兩條漸近線方程為y＝±x，右準(zhǔn)線與兩條漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不妨設(shè)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，P，Q 則四邊形F1PF2Q的面積為S四邊形F1PF2Q＝|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2. 【答案】　2 4．若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902165】 【解析】　圓(x－2)2＋y2＝4的圓心為(2,0)，半徑r＝2. 不妨設(shè)雙曲線C的一條漸近線為y＝x，即bx－ay＝0

17、 因?yàn)樵摑u近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2 所以＝＝，兩邊平方得3a2＝b2，即＝3 從而e＝＝＝2. 【答案】　2 5.如圖2-2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1，過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2. 圖2-2 (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【解】　(1)設(shè)橢圓的半焦距為c. 因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8， 所以＝，＝8， 解得a＝2，c＝

18、1，于是b＝＝， 因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1. (2)由(1)知，F(xiàn)1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． 設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)镻為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，故x0>0，y0>0. 當(dāng)x0＝1時(shí)，l2與l1相交于F1，與題設(shè)不符． 當(dāng)x0≠1時(shí)， 直線PF1的斜率為，直線PF2的斜率為. 因?yàn)閘1⊥PF1，l2⊥PF2， 所以直線l1的斜率為－，直線l2的斜率為－， 從而直線l1的方程為y＝－(x＋1)， ① 直線l2的方程為y＝－(x－1)． ② 由①②，解得x＝－x0，y＝，所以Q. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓E上，由對(duì)稱性，得＝±y0， 即x－y＝1或x＋y＝1. 又點(diǎn)P在橢圓E上，故＋＝1. 由解得 無解． 因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 10