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1、2022高考數(shù)學(xué) 狠抓基礎(chǔ)題 專題05 不等式 文 1．不等關(guān)系 (1)用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，叫做不等式． (2)不等式的性質(zhì) ①實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)的關(guān)系 a>b?； ； ab，b>c?；(單向性) 可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性) a>b，c>d?；(單向性) 可乘性：；(單向性) a>b，c<0?acb>0，c>d>0?；(單向性) 乘方法則：；(單向性) 開方法則：a>b>0?(n

2、N，n≥2)．(單向性) 注意：（1）應(yīng)用傳遞性時，若兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號，則等號無法傳遞. （2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號. 2．一元二次不等式及其解法 (1)我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式，有三種形式： 一般式：； 頂點式：； 兩根式：. (2)三個“二次”之間的關(guān)系 判別式 的圖象 一元二次方程的根 有兩相異實根 有兩相等實根 沒有實數(shù)根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 (3)一元二次不等式的解法： 一化：把不等式

3、變形為二次項系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式． 二判：計算對應(yīng)方程的判別式． 三求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根． 四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集． (4) 一元二次不等式恒成立問題 ①恒成立的充要條件是：且． ②恒成立的充要條件是：且． ③恒成立的充要條件是：且． ④恒成立的充要條件是：且． ⑤恒成立的充要條件是：且或且． ⑥恒成立的充要條件是：且或且． 3．二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題 (1)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式表示直線某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等

4、式表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實線．能夠通過取特殊點，由不等式的符號來確定不等式表示的平面區(qū)域.通常情況下取，若不等式相應(yīng)的直線過，則可在坐標(biāo)軸上取或. (2)簡單的線性規(guī)劃 ①解不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題的一般步驟：根據(jù)給定的約束條件畫出相應(yīng)的可行域，考察目標(biāo)函數(shù)的特征，并根據(jù)其幾何意義確定使其取得最值時的點的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求最值. 通常情況下，給定的約束條件多為二元一次不等式組，常見的目標(biāo)函數(shù)有：型的線性目標(biāo)函數(shù)；型的斜率型目標(biāo)函數(shù)；型的兩點間距離型目標(biāo)函數(shù)等. ②使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點一般是可行域邊界的交點，求出交點坐標(biāo)，并代入目標(biāo)函數(shù)，可以快捷、準(zhǔn)確地計算最值，但要注意可

5、行域的邊界是否是實線. ③解含參數(shù)的線性規(guī)劃問題通常有以下兩種類型： i)條件不等式組中含有參數(shù)，此時不能明確可行域的形狀，因此增加階梯式畫圖分析的難度.求解這類問題時，要有全局觀，要能夠結(jié)合目標(biāo)函數(shù)取得最值的情況進(jìn)行逆向分析，利用目標(biāo)函數(shù)取得最值時所得的直線與約束條件所對應(yīng)的直線形成交點，求解參數(shù). ii)目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參數(shù)，旨在增加探索問題的動態(tài)性和開放性.要能夠從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，多圖形的動態(tài)分析，對變化過程中的相關(guān)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確定位，以此解決問題. 4．利用基本不等式求最值問題 (1)基本不等式：， 成立的條件： ①. ②當(dāng)且僅當(dāng)時取等號． (2)利用基本不等式求最值問題

6、 ①如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，x＋y有最小值是.(簡記：積定和最小) ②如果和x＋y是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大) (3)常用的不等式模型： ①基本不等式鏈：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立. ②若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立. 一、不等式的性質(zhì)與一元二次不等式 【例1】設(shè)，若1≤≤2,2≤≤4，則的取值范圍是________． 【答案】 【解析】設(shè)=m＋n (m、n為待定系數(shù))， 則4a?2b=m(a?b)＋n(a＋b)，即4a?2b=(m＋n)a＋(n?m)b， 于是得，解得. ∴=3＋． 又∵1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤1

7、0， 即5≤≤10. 【名師點睛】（1）此類問題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過“一次性”使用不等式的運算求得整體范圍；（2）求范圍問題如果多次利用不等式的性質(zhì)有可能擴大變量取值范圍． 【例2】已知全集=，集合，則 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題知，，，∴=， ∴，故選D． 【名師點睛】一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a與ax2＋bx＋c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號，則其解集在兩根之間．簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間．求解時注意對二次

8、項系數(shù)進(jìn)行討論. 【例3】不等式的解集是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式移項得：，即， 可化為：或，解得， 則原不等式的解集為.故選B. 【名師點睛】對于分式不等式和高次不等式，它們都可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解. 二、線性規(guī)劃 【例4】已知點x,y滿足約束條件,則z=3x+y的最大值與最小值之差為 A．5 B．6 C．7

9、 D．8 【答案】C 【解析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示， 作直線并平移知，當(dāng)直線經(jīng)過點A時,z取得最大值；當(dāng)直線經(jīng)過點B時,z取得最小值. 由,得,即A(2,3),故zmax=9. 由,得,即B(0,2),故zmin=2, 故z的最大值與最小值之差為7,選C. 【名師點睛】求解時需要注意以下幾點： （1）在可行解中，只有一組(x,y)使目標(biāo)函數(shù)取得最值時，最優(yōu)解只有1個.如邊界為實線的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線不與邊界平行時，會在某個頂點處取得最值. （2）同時有多個可行解取得一樣的最

10、值時，最優(yōu)解有多個.如邊界為實線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線與某一邊界線平行時，會有多個最優(yōu)解. （3）可行域一邊開放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時也就不存在最優(yōu)解. （4）形如z=Ax＋By(B≠0)，即，為該直線在y軸上的截距，z的幾何意義就是該直線在y軸上截距的B倍，至于z與截距能否同時取到最值，還要看B的符號． 【例5】已知不等式組表示的平面區(qū)域為,若直線：與區(qū)域D有公共點，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 因為，所以直線過定點（1，），且斜率為，

11、如圖所示，當(dāng)直線過點時，取得最小值； 當(dāng)直線過點時，取得最大值， 所以的取值范圍是，故選A. 【名師點睛】求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問題的基本方法有兩種： 一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍； 二是先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù). 【例6】已知實數(shù)滿足約束條件則的取值范圍為 . 【答案】 【解析】依題意，. 作出約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示（含邊界）. 表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點連線的斜率

12、， 觀察可知，，則，所以，所以， 故的取值范圍為. 【名師點睛】斜率問題是線性規(guī)劃延伸變化的一類重要問題，其本質(zhì)仍然是二元函數(shù)的最值問題，不過是用模型形態(tài)呈現(xiàn)的.因此有必要總結(jié)常見模型或其變形形式. 三、基本不等式 【例7】若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，則的最小值為_______________． 【答案】 【解析】因為x＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號． 故的最小值為． 【名師點睛】利用基本不等式求最值的注意點： （1）要能夠通過恒等變形及配湊，使其“和”或“積”為定值； （2）要注意在正數(shù)范圍內(nèi)應(yīng)用基本不等式，同時等號成立的條件要驗證.

13、 【例8】若實數(shù)，且，則的最小值為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由基本不等式得 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故選擇D． 【名師點睛】基本不等式的常用變形 (1)a＋b≥2(a>0，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． (2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． (3)＋≥2(a，b同號且均不為零)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． (4)a＋≥2(a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時，等號成立；a＋≤－2(a<0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－1時，等號成立． 1．若a>b>0，c

14、 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為cb>0，所以.故選C. 2．已知函數(shù)的定義域為集合，集合，則為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題可知 所以故選B． 3．不等式≤0的解集為 A．(-∞,-3] B．(1,2] C．(-∞,-3]∪[1,2] D．(-∞,-3]∪(1,2] 【答案】D 【解析】由≤0得,解得或,故選D. 4．若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍是 A．[

15、2，＋∞) B．(－∞，－6] C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞) 【答案】D 【解析】因為關(guān)于的不等式的解集不是空集，所以，解得 或， 所以實數(shù)的取值范圍是.故選D. 5．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前9項和，則的最小值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即， 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故選B． 6．已知動點滿足，則的最大值是 A．50 B．60 C．70 D．100 【答案】D 【解析

16、】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示， 由得，平移直線， 易知當(dāng)直線經(jīng)過點C時，直線的縱截距最大，此時最大． 易得，所以． 故目標(biāo)函數(shù)的最大值為．故選D． 7．已知函數(shù)，，則的最小值是______________． 【答案】 【解析】因為，所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立， 故的最小值是．故填． 8．已知實數(shù)滿足記點圍成的封閉區(qū)域為，若的最大值為8，則的面積為___________． 【答案】12 【解析】依題意，區(qū)域是以點，，為頂點的三角形區(qū)域（包含邊界）， 由圖易得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時，z有最大值8，即，解得，故點到直線的距離為， 而，故的面積為．

17、 9．已知實數(shù)滿足約束條件，記該不等式組所表示的平面區(qū)域為，且，，，現(xiàn)有如下說法： ①；②；③. 則上述說法正確的有__________.（橫線上填寫所有正確命題的序號） 【答案】①② 【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示. 對于，平移直線，可知在點處取得最大值，為； 在點處取得最小值，為，則 . 對于，它表示平面區(qū)域內(nèi)的點與連線的斜率，易知. 對于，它表示平面區(qū)域內(nèi)的點與的距離的平方，易知， 故①②正確，③錯誤. 1．（2016新課標(biāo)全國Ⅱ文科）已知集合，則 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，所以， 因為

18、，所以，故選D. 2．（2017新課標(biāo)全國Ⅱ文科）設(shè)滿足約束條件則的最小值是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】繪制不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示， 結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點處取得最小值，最小值為．故選A. 3．（2018新課標(biāo)全國Ⅰ文科）若，滿足約束條件，則的最大值為_____________． 【答案】6 【解析】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示： 由可得，畫出直線， 將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過點A時，z取得最大值， 由，解得， 此時，故答案為6. 4．（2018新課標(biāo)全國Ⅱ文科）若滿足約束條件 則的最大值為__________． 【答案】9 【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示， 則目標(biāo)函數(shù)可化為， 由圖可知，當(dāng)直線過點A時，取得最大值，由得A（5,4）， 則. 5．（2018新課標(biāo)全國Ⅲ文科）若變量滿足約束條件則的最大值是________． 【答案】3 【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示： 目標(biāo)函數(shù)，即， 平移直線，可知在點A處，取得最大值. 由解得. 則.